第六章 重点突破1 排列的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦有限制条件的排列问题，系统梳理“在”与“不在”“相邻与不相邻”“定序”三类核心题型，通过例题解析、变式探究及方法提炼（如捆绑法、插空法）构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料以一题多解（如“甲不在首位”的元素法、位置法、间接法）和情境化问题设计为亮点，培养数学运算与逻辑推理核心素养。课中辅助教师清晰呈现解题策略，课后助力学生通过方法总结与对点练习巩固知识，提升解决实际问题的能力。

学习目标 1.进一步理解排列的概念，掌握几种有限制条件的排列，提升数学运算的核心素养.　2.会应用排列知识解决简单的实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 题型一　“在”与“不在”问题 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲在最中间的排法有多少种？ (2)(一题多解)甲不在首位的排法有多少种？ (3)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：(1)依题意，甲在最中间，则甲一定被选中，再从剩下的6名同学中选4名放到除中间位置的其余四个位置，有＝360种排法. (2)法一：把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法. 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160(种)排法. 法二：把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法. 由分步乘法计数原理知，共有·＝2 160(种)排法. 法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有－＝2 160(种). (3)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有·＝1 800(种)方法. [变式探究] 1.(变设问)本例中的问题变为：甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：从7人中选出5人进行排列，总的情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回种排法，所以共有－2＋＝1 860(种)排法. 2.(变设问)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有·＝1 200(种)排法. 学生用书⬇第12页 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先，一般从以下三种思路考虑： 1.以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素. 2.以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置. 3.用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数. 对点练1.(1)已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为(　　) A.24 B.26 C.32 D.40 (2)暑假期间，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位.家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有 　　　　种不同的乘坐方式. 答案：(1)D　(2)54 解析：(1)按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙、丙等四人有＝24(种)；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有×＝12(种)；③甲排第三，则乙、丙排最后2位，有×＝4(种).故共有24＋12＋4＝40(种).故选D. (2)第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有＝3种；第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，坐法有＝3种；第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有＝6种.根据分步乘法计数原理，一共有：3×3×6＝54种不同的乘坐方式. 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 解：(1)先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有×＝24×24＝576(种)排法. (2)先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插入4名女生，共有种排法，再由分步乘法计数原理，可得共有×＝6×24＝144(种)排法. (3)先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法，最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人产生的5个空隙中，共有种排法，由分步乘法计数原理，可得共有××＝24×2×20＝960(种)排法. “相邻与不相邻”问题处理策略 处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则. 1.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素进行全排列. 2.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 对点练2.(1)七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有(　　) A.96种 B.120种 C.192种 D.240种 (2)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有　　　　种. 答案：(1)C　(2)604 800 解析：(1)依题意可知，丙排在第4位，则甲、乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有4＝4×2×24＝192种.故选C. (2)先将6个歌唱节目全排列，有种排法，再从7个空格中选出4个舞蹈节目插入，有种排法，故有·＝604 800种排法. 题型三　定序问题 (一题多解)某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 解：法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有种.因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20种. 法二(插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾可选前4位嘉宾形成的5个空档(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法. 法三(空位法)：假设出场顺序依次为1到5的5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故共有×1＝20种方法. 学生用书⬇第13页 　　在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题.解决这类问题的基本方法有三个： 1.倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即. 2.插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素逐个地插空，其排列数为1×(m＋1)×(m＋2)×…×n＝. 3.空位法：先把n－m个元素排在n个位置上有种排法，再在剩下的m个位置排m个元素，只有一种排法，故排列数为×1＝. 对点练3.(1)现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则不同的排法共有(　　) A.15 120种 B.30 240种 C.40 480种 D.50 640种 (2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是　　　　. 答案：(1)B　(2)120 解析：(1)先将10人全排列，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排列，即为，故有＝30 240种排法.故选B. (2)6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有种排法，再排甲、乙、丙，有1种排法，所以一共有×1＝120种排法. 任务再现 1.有限制条件的排列问题.2.“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题 方法提炼 捆绑法、插空法、倍缩法、间接法 易错警示 分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当 1.在0，1，2，3，4中不重复地选取4个数字，共能组成　　　　个不同的四位数(　　) A.96 B.18 C.120 D.84 答案：A 解析：法一：先排首位，有种方法，再排剩余三位，有种方法，最后根据分步乘法计数原理，共有＝96个不同的四位数.故选A. 法二：四位数首位不能为零，故为－＝96个不同的四位数.故选A. 2.学校里获奖的3名同学和1名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有(　　) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 答案：B 解析：领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，则不同的站位顺序共有2＝12种.故选B. 3.某节体育课上，胡老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有　　　　种. 答案：72 解析：依题意知，2名女生不相邻，则有＝6×12＝72种. 4.将A，B，C，D，E，F，G七本书排在书架上，要求A与B相邻，并且C在D的左边，E在D的右边，则不同的排放种数为　　　　.(用数字作答) 答案：240 解析：依题意知，A与B相邻，则将A与B捆绑，然后要求C在D的左边，E在D的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排放种数为＝＝240种. 学科网（北京）股份有限公司 $