6.2.1-6.2.2 排列 排列数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列的核心知识点，在计数原理基础上，通过车牌号扩容、合影留念等实际问题抽象出排列概念，系统梳理排列数的乘积式与阶乘式公式，构建从具体情境到抽象概念再到公式应用的学习支架。 该资料以情境化实例（如车牌号编排、乒联代表团合影）引入，培养数学抽象素养，通过任务驱动（概念理解、公式推导、综合应用）提升数学运算与建模能力，结合树状图法等直观教学方法。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后通过对点练与任务再现帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

单元学习二　排列与组合 [单元整体设计]　本单元是两类特殊而重要的计数问题，是计数原理的典型应用，而解决它们的基本思想和工具是两个计数原理.本单元在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学建模，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.学习计划4课时. 本单元内容重点是排列的概念、排列数与排列数公式，组合的概念、组合数与组合数公式.难点是推导组合数公式，排列与组合的应用.在研究的过程中，提升数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 6.2.1　排列　　6.2.2　排列数 学习目标 1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　排列的概念 (阅读教材P14－16，完成探究问题1、2) 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容. 问题1.鲁H·G1234与鲁H·G4321一样吗？ 提示：不一样，数字顺序不一样，号码就不同. 学生用书⬇第8页 问题2.如果再增加一个字母(字母O，I除外，与数字0，1难以区分)，能建立一个数学模型来算出有多少个车牌号吗？ 提示：可以，建立如下模型：从24个字母与10个数字中选出2个字母4个数字，按顺序填入下列表格，有多少种填法，就有多少个车牌号. 1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是： (1)两个排列的元素完全相同； (2)元素的排列顺序也相同. [微思考]　在一个排列中，若交换某两个元素位置，则该排列是否发生了变化？ 提示：该排列发生了变化，已经不是原来的排列了. 角度1　排列概念的理解 (多选)下列问题属于排列问题的是(　　) A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B.从10人中选2人去游泳 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 答案：AD 解析：对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.故选AD. 排列概念的理解 判断一个问题是不是排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑： 1.“取”：检验取出的m个元素是否重复. 2.“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，是排列问题，无变化就是无顺序，不是排列问题. 角度2　求出所有排列 (链教材P14问题2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 解：由题意作“树状图”，如下. 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. “树状图”法解决简单排列问题 1.适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方法. 2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 对点练1.(1)(多选)下列问题不是排列问题的是(　　) A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B.会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 D.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 答案：AC 解析：对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题；对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题；对于C，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题；对于D，确定向量涉及顺序问题，是排列问题.故选AC. (2)从0，1，2，3这4个数字中，每次取出3个数排成一个三位数，写出所有的三位数. 解：(“树状图”法) 所有的三位数有102，103，120，123，130，132， 201，203，210，213，230，231， 301，302，310，312，320，321，共18个. 学生用书⬇第9页 任务二　排列数及排列数公式 (阅读教材P17－19，完成探究问题3、4) 2024年国际乒联混合团体世界杯在成都顺利举行，国乒选手发挥出色，以十一场全胜的战绩成功卫冕冠军.由运动员、教练员和后勤保障人员组成36人的某代表团为了记录这历史性一刻，要在会场站成一排合影留念. 问题3.这36人的排列顺序有多少种？ 提示：36×35×34×…×2×1. 问题4.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，如何计算？ 提示：n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1). 排列数及排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 排列数 乘积式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 公式 阶乘式 ＝ 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 性质 ＝1；0！＝1 备注 m，n∈N*，m≤n [微提醒]　(1)乘积是m个连续正整数的乘积.(2)第一个数最大，是的下标n.(3)第m个数最小，是n－m＋1. (链教材P19例3)(1)(x－2)(x－3)(x－4)…(x－16)(x∈N*，x＞16)可表示为(　　) A. B. C. D. (2)若＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)因为(x－2)－(x－16)＋1＝15，x∈N*且x＞16，所以＝(x－2)(x－3)(x－4)…(x－16).故选B. (2)＝＝＝＝. 排列数的计算方法 乘积公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 乘积公式的逆用 连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数 排列数公式的阶乘形式 主要用来解方程(或不等式)及证明恒等式 对点练2.(1)计算：2－＋＝　　　　. 答案：230 解析：2－＋＝2×5×4×3×2－4×3×2×1＋＝230. (2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55). 解：因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝. 学生用书⬇第10页 任务三　排列、排列数与排列数公式的应用 角度1　与排列数有关的不等式、方程与恒等式问题 (1)(多选)下列等式中，成立的有(　　) A.＝n B.＝m C.＝ D.＋m＝ (2)不等式3＋12≤11，其中x∈N*的解集为　　　　. 答案：(1)ACD　(2){2，3} 解析：(1)对于A，＝＝＝n，故A正确；对于B，＝，而m＝m·＝，故B错误；对于C，＝·＝＝，故C正确；对于D，＋m＝＋＝＝＝，故D正确.故选ACD. (2)依题意知，x≥2，且x∈N*，又3＋12≤11⇔3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，即2x2－7x＋3≤0，解得≤x≤3，故x＝2或x＝3，所以原不等式的解集为{2，3}. 1.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算，特别地，在排列数公式中注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”. 2.常见技巧 (1)n·n！＝(n＋1)！－n！. (2)＝－. (3)＝n. 角度2　排列数公式的简单应用 (1)由1，2，5，7，9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为(　　) A.20 B.25 C.30 D.21 (2)一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有　　　　种. 答案：(1)A　(2)120 解析：(1)任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为＝20.故选A. (2)依题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数，故有＝6×5×4＝120种. 1.无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n(n≥m)个位置上，排列数为，从n个元素中选m个(m≤n)排列到m个位置上，排列数也是. 2.排列问题中的元素不能重复选取，若有重复元素时，便只能用乘法原理解决. 对点练3.(1)已知3＝4，则x等于(　　) A.6 B.13 C.6或13 D.12 (2)5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有　　　　种. (3)先证明：－＝；再化简：＋＋＋…＋. 答案：(1)A　(2)120 解析：(1)依题意，得3×＝4×，化简可得3＝4×，解得x＝13或6，因为所以x≤8且x∈N*，故x＝6.故选A. (2)分步计数法：第一位同学有5种选择，第二位同学有4种选择，第三位同学有3种选择，第四位同学有2种选择，故5×4×3×2＝120. 排列数法：5本读物任取4种分给4个人，则有＝5×4×3×2＝120. (3)证明：左边＝－＝－＝＝右边. 化简：原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－. 任务再现 1.排列的概念.2.排列数及排列数公式.3.排列、排列数与排列数公式的综合应用 方法提炼 列举法、公式法、直接法 易错警示 排列不只是与元素有关，还与元素的顺序有关；排列数公式中的隐含条件“m，n∈N*，m≤n”易忽略 1.下列问题是排列问题的是(　　) A.10名同学聚会，每两人握手一次，一共握多少次手 B.10个人互相通信一次，共写了多少封信 C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种 答案：B 解析：对于A，握手次数与顺序无关，因而不是排列问题；对于B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题；对于C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点，即可确定1条直线，这2个点不分顺序，所以不是排列问题；对于D，从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，因为加法满足交换律，所以2个数字不分顺序，所以不是排列问题.故选B. 学生用书⬇第11页 2.(多选)满足不等式－n＜7(n∈N＋，n≥3)的n的值可以为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：AB 解析：因为－n＜7，所以(n－1)(n－2)－n＜7，即n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5，又n∈N＋，n≥3，所以n的值为3，4.故选AB. 3.已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有　　　　种. 答案：24 解析：由题意可得不同的采访顺序有＝24种. 4.求证：＝＝(n＋1). 证明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， ＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2， (n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， 综上，＝＝(n＋1). 学科网（北京）股份有限公司 $