第八章 成对数据的统计分析 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义通过步骤框架和对比表格系统构建统计案例知识体系，梳理线性回归分析的相关系数计算、回归方程应用，以及独立性检验的列联表构建、χ²统计量计算等要点，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“情境化问题+步骤化指导”的设计，如用氮氧化物排放量折线图分析线性相关性，引导学生用数学眼光观察数据规律，通过“问题-步骤-应用”链条培养数学思维与数据观念。对点练和真题溯源助力分层提升，教师可据此实施精准复习教学。

章末综合提升 探究点一　线性回归分析 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2016年至2024年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1～9分别对应年份2016～2024. 已知yi≈12 000，≈1 100， ≈7.7，tiyi≈51 800. (1)可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明. (2)若根据所给数据建立回归模型＝－138t＋2 023，可否用此模型来预测2026年和2036年我国的氮氧化物排放量？请说明理由. 附：相关系数r＝. 解：(1)从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系，依题意，知＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5， 相关系数r＝≈＝－≈－0.97. 故可以用线性回归模型拟合y与t的关系. (2)可以预测2026年的氮氧化物排放量，但不可以预测2036年的氮氧化物排放量. 理由如下： ①2026年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2036年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的. 学生用书⬇第98页 解决回归分析问题的一般步骤 第1步：画散点图.根据已知数据画出散点图； 第2步：判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程； 第3步：实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题. 对点练1.某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分x(单位：分)及该年对应的新驾驶员数量y(单位：万人)，得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分x(分) 3 4 5 6 7 新驾驶员数量y(万人) 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知x与y线性相关. (1)求y关于x的线性回归方程； (2)求y与x的相关系数(精确到0.01). 参考数据：＝135，＝12.91，xiyi＝41.7，≈0.493. 参考公式：相关系数r＝，对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－. 解：(1)由＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(1＋1.1＋1.5＋1.9＋2.2)＝1.54， 有＝＝0.32，＝1.54－0.32×5＝－0.06， 故y关于x的线性回归方程为＝0.32x－0.06. (2)y与x的相关系数 r＝ ＝ ＝≈2×0.493≈0.99. 探究点二　独立性检验 为了解某校男生1 000米测试成绩与身高的关系，从该校2 000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示： 　　身高范围 (cm) 测试成绩　　 [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 (1)该校2 000名男生中身高在175 cm及以上的人数约为多少？ (2)根据表中数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在[170，180)范围内是否有关. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)样本中，身高在175 cm及以上的频率为＝0.51， 用该频率估计该校男生身高在175 cm及以上的概率， 则该校2 000名男生中身高在175 cm及以上的人数约为2 000×0.51＝1 020(人). (2)列2×2列联表如下： 身高在[170，180) 身高不在[170，180) 合计 合格 40 30 70 不合格 10 20 30 合计 50 50 100 零假设为H0：体育成绩合格与身高在[170，180)范围内无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈4.762＞3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以推断H0不成立，因此可以认为体育成绩合格与身高在[170， 180)范围内有关，此判断犯错误的概率不大于0.05. 独立性检验问题的一般步骤 第1步：认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表； 第2步：根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2； 第3步：通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小. 学生用书⬇第99页 对点练2.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名. (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男生 女生 合计 (2)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关. 参考公式及数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)根据已知条件，填写2×2列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男生 100 400 500 女生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为＝， 女生有报考军事类院校意向的概率为＝. (2)零假设为H0：学生有报考军事类院校的意愿与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈3.214＞2.706＝x0.10， 根据小概率值α＝0.10的独立性检验，推断H0不成立，因此可以认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关，此判断犯错误的概率不大于0.10. (2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 答案：A 解析：选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近.故选项A中的线性相关系数最大.故选A. 溯源：(人教A版P100图8.1-5) 点评：教材中图8.1-5旨在通过相关系数大小之间的关系让学生感悟散点图的直观显示，而真题直接抛弃了数据关系，直接给出变量间的直观显示，反推相关系数的大小之间的关系，二者考查本质几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材的命题规则. (2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　　) A.气候温度高，海水表层温度就高 B.气候温度高，海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 答案：C 解析： 对于A，B，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故A，B错误.对于C，D，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选C. 溯源：(人教A版P96T3)下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？ 学生用书⬇第100页 地区 A B C D E F G H I J K 海拔高度/m 1 250 1 158 1 067 457 701 731 610 670 1 493 762 549 鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 点评：教材习题让学生观察到随着海拔高度的降低，鸟的种类数量有减少的趋势，两变量正相关，而真题考查气候问题与海水温度之间的相关关系，二者都是研究变量间的相关关系，是教材习题的变式的典范. (2024·全国甲卷(理))某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 χ2＝＝4.687 5. 因为χ2＝4.687 5＞3.841，所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为χ2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 溯源：(人教A版P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. (P134练习T1)对于例3中的抽样数据，采用小概率值α＝0.05的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 点评：教材例题与习题采用不同的小概率值，研究同一对成对数据之间的关联性，而真题也同样从95％的把握和99％的把握研究两个变量之间关联性问题，典型的换汤不换药，这也是教材习题的另一种变式. 学科网（北京）股份有限公司 $