7.2 离散型随机变量及其分布列-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，从射击环数、掷骰子等实例抽象出随机变量概念，明确离散型定义，梳理分布列的表示与性质，结合两点分布模型，通过摸球、抽奖等应用问题构建从概念到应用的学习支架。 该资料以问题探究驱动教学，通过“实例引入-概念抽象-性质应用-变式拓展”链条，结合射击环数等实例培养数学抽象，通过分布列性质计算、摸球最小号码问题提升数学运算与建模能力。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后任务再现和对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

单元学习五　离散型随机变量及其分布列 [单元整体设计]　本单元内容是本章的基础与核心.离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量取值的概率规律；离散型随机变量的数字特征是用均值刻画随机变量取值的平均水平，是用方差刻画随机变量取值相对于其均值的离散程度；二项分布与超几何分布是两类重要的概率模型，归纳概括出n重伯努利试验的特征、探究出二项分布的均值和方差、抽象出超几何分布的特征、推导出超几何分布的均值、讨论二项分布与超几何分布的联系与区别，并进行简单应用.学习计划6课时. 本单元内容重点是离散型随机变量及其分布列的概念；离散型随机变量均值和方差的意义、性质及应用；n重伯努利试验、二项分布及其数字特征、超几何分布及其均值、简单应用.难点是对随机变量概念的理解、用随机变量描述随机现象的规律；对离散型随机变量均值、方差的意义的理解；在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布和超几何分布.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养. 7.2　离散型随机变量及其分布列 学习目标 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.　2.理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　3.通过具体实例，了解两点分布.　4.通过对随机变量、离散型随机变量及分布列的有关概念的学习，培养数学抽象、数学建模的核心素养；通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算的核心素养. 任务一　离散型随机变量 (阅读教材P56－57，完成探究问题1) 问题1.(1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…10中的某一个数； (2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数； (3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数. 上述现象有哪些共同特点？ 提示：题述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系. 学生用书⬇第41页 1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. [微思考]　1.所有离散型随机变量的取值必须是有限个吗？ 提示：不一定.离散型随机变量的取值可以是无限个，如1，2，3，…，n，…. 2.随机变量与函数有异同点吗？ 提示：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，不同之处在于Ω不一定是数集. (多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数 B.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 D.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 答案：AB 解析：对于A，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故A正确；对于B，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球，1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故B正确；对于C，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，故C错误；对于D，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，故D错误.故选AB. 判断离散型随机变量的方法 1.明确随机试验的所有可能结果. 2.将随机试验的结果数量化. 3.确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 对点练1.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A.连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B.南京长江大桥一天经过的车辆数X C.某型号彩电的寿命X D.连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 答案：C 解析：因为选项B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量；因为选项A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故A中X为离散型随机变量；而选项C中X的取值不能一一列举出来，故C中的X不是离散型随机变量.故选C. 任务二　离散型随机变量的分布列 (阅读教材P58，完成探究问题2) 问题2.掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：X的取值有1，2，3，4，5，6.因为骰子质地均匀，符合古典概型，其概率P(X＝i)＝(i＝1，2，…，6). 1.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. [微提醒]　离散型随机变量的分布列的三种表示形式 (1)定义表示：P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. (2)表格表示：(这是表示离散型随机变量的分布列的主要形式) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)图形表示：(若pi＝) 学生用书⬇第42页 (1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是(　　) X 0 1 2 P 0.36 1－2q q2 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 (2)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P(＜X＜)＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1) 由已知得0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8(舍去).故选B. (2)因为随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝m(＋＋＋＋)＝1，解得m＝，所以P(＜X＜)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×(＋)＝. 离散型随机变量性质的应用 1.利用分布列求未知字母的值时，先确定字母的范围，再利用pi＝1求值. 2.利用分布列公式求概率时，关键是确定随机变量xi的取值，再利用分布列求出相应的概率. 对点练2.(1)设随机变量ξ等可能取值为1，2，3，…，n(n∈N*)，如果P(ξ＜5)＝，那么(　　) A.n＝6 B.n＝12 C.n＝15 D.n＝18 (2)某一射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则P(ξ≤8)＝　　　　. 答案：(1)B　(2)0.5 解析：(1)依题意，得P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，n)，(n∈N*)，所以P(ξ＜5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＝，解得n＝12.故选B. (2)依题意，得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21＝1，解得m＝0.29，P(ξ≤8)＝1－P(ξ＞8)＝1－0.29－0.21＝0.5. 任务三　两点分布 (阅读教材P59，完成探究问题3) 问题3.购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中这三个试验，其试验结果有什么共同特点？ 提示：都只有两个结果. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. [微思考]　掷一枚骰子，出现正面向上的点数X有6个结果，如何规定X才能说X服从两点分布？ 提示：令X＝0表示偶数点向上，X＝1表示奇数点向上. (链教材P59例1)袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列. 解：从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： 当X＝0时，两个球非全红；当X＝1时，两个球全红. 则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝＝，所以P(X＝0)＝1－＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 两点分布的4个特点 1.两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的. 2.两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0. 3.由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 4.在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它. 学生用书⬇第43页 对点练3.(1)若X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32，则P(X＝0)为(　　) A.0.32 B.0.34 C.0.66 D.0.68 (2)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)依题意，得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32，所以P(X＝0)＝＝0.34. 故选B. (2)依题意，知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a2＋a＝1⇒a＝或a＝－1，由于a＞0，所以a＝. 任务四　离散型随机变量的分布列及其应用 (链教材P60例3)袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最小号码. (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于2的概率. 解：(1)随机变量X的可能取值为1，2，3，4. 当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5，6的5个球中取，故有P(X＝1)＝＝， 当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5，6的4个球中取，故有P(X＝2)＝＝， 当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能在编号为4，5，6的3个球中取，故有P(X＝3)＝＝， 当X＝4时，即取出的3个球中最小号码为4，则其他2个球只能在编号为5，6的2个球中取，故有P(X＝4)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P (2)X的取值不小于2的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝ 或P(X≥2)＝1－P(X＝1)＝1－＝. [变式探究] (变设问)本例已知条件不变，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列. 解：依题意知，随机变量X的可能取值为3，4，5，6. P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P 求离散型随机变量分布列时的关注点 1.关键：搞清随机变量ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求出ξ取每一个值的概率. 2.技巧：(1)对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先推导出通式，从而简化过程； (2)要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确. 对点练4.某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为X，试求： (1)X的分布列； (2)求他至多试开3次的概率. 解：(1)依题意，知X的可能取值为1，2，3，4，5. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P (2)P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 任务再现 1.随机变量与离散型随机变量的概念.2.离散型随机变量的分布列.3.两点分布.4.离散型随机变量的分布列及其应用 方法提炼 列举法、分类讨论法 易错警示 随机变量的取值意义不明确导致分布列求解错误 学生用书⬇第44页 1.随机变量ξ的分布列如表所示，其中2b＝a＋c，则b等于(　　) ξ －1 0 1 P a b c A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意，知得3b＝1，即b＝.故选B. 2.(多选)以下四个随机变量，其中属于离散型随机变量的是(　　) A.某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数X B.如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X C.一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X D.某人射击一次中靶的环数X 答案：AD 解析：随机变量中能够一一列举的变量是离散型随机变量，选项A，D中的随机变量能一一列举，选项B，C中的随机变量不能一一列举.故选AD. 3.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则{X＜2}表示的试验结果是　　　　　　　. 答案：取到1件次品和2件正品或取到3件正品 解析：X＜2表示次品的件数为1，0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 4.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列. 解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，故X的取值只有1和0两种情况. P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 学科网（北京）股份有限公司 $