7.2 离散型随机变量及其分布列-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，从随机变量概念（结合抛掷硬币、树苗成活等实例引入）到离散型随机变量定义，再到分布列的表示方法、性质及两点分布，构建概念-性质-应用的完整学习支架。 资料以问题导学引导学生用数学眼光观察现实，通过“三步法”判定、分布列性质推理培养数学思维，用表格表示分布列、解决摸球等问题强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

7．2　离散型随机变量及其分布列 学业标准 素养目标 1．理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量描述随机现象．(重点) 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了解两点分布．(难点) 1．通过离散型随机变量及其分布列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．在求离散型随机变量分布列的过程中，提升数学运算等核心素养． [对应学生用书P39] 导学1　随机变量 　(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ [提示]　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． (2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？ [提示]　x＝0，1，2，3，…，10. ◎结论形成 随机变量 (1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有__唯一__的实数X(ω)与之对应，称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为__有限个或可以一一列举__的随机变量，称之为离散型随机变量． (3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，如__X，Y，Z__；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 导学2　离散型随机变量的分布列 　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？ [提示]　(1)X＝1，2，3，4，5，6，概率均为. (2)X与P的对应关系为 X 1 2 3 4 5 6 P ◎结论形成 1．分布列的概念 (1)定义：设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝__pi__，i＝1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示方法：①表格；②概率分布图． (3)性质：①pi__≥__0，i＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝__1__． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　　) (3)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (4)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数　　 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量． 答案　C 3．若X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32，则P(X＝0)＝(　　) A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 解析　依题意可得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32， 所以P(X＝0)＝＝0.34. 故选B. 答案　B 4．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误，其余都正确． 答案　ABD [对应学生用书P40] 题型一　离散型随机变量的判定 　(多选题)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的是(　　) A．某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量 B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量 C．某网站未来1小时内的点击量 D．一天内的温度η [解析]　A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；C是，1小时内网站的访问次数可一一列出；D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出． [答案]　AC “三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量． (2)由条件求解随机变量的值域． (3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量． [触类旁通] 1．(多选题)下列问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长 D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分 解析　由题意知C中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而ABD是离散型随机变量． 答案　ABD 题型二　离散型随机变量分布列的性质及应用 　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. [解析]　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 得a＝. (2)∵P＝k(k＝1，2，3，4，5)， ∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. (3)当<X<时，只有X＝，，时满足， 故P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 利用分布列及其性质解题时的两点注意 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的； (2)不仅要注意pi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n. [触类旁通] 2．(1)设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ<x)＝，则x的取值范围是________． (2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________． 解析　(1)由条件知P(ξ＝k)＝，k＝5，6，…，16，P(ξ<x)＝，故5<x≤6. (2)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3， ∴＋＋＝1， 即＝1，解得c＝， ∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝×＝. 答案　(1)(5，6]　(2) 题型三　求离散型随机变量的分布列　(一题多变) 　[教材例2·拓展]袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列． [解析]　(1)设袋中原有n个白球，由题意知 ＝＝＝， 可得n＝3或n＝－2(舍去)， 即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝； P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求甲取到白球的概率． 解析　因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. [素养聚焦]　求离散型随机变量的分布列的难点是求各随机变量对应的概率值，在此过程中主要提升数学运算核心素养． 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率． [触类旁通] 3．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． 解析　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 知识落实 技法强化 1．随机变量的概念、特征． 2．离散型随机变量的概念． 3．离散型随机变量的分布列的概念及其性质． 4．两点分布． 解题过程中随机变量的取值不明确导致分布列求解错误． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　) A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 解析　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对． 答案　ABC 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C. 答案　C 3．(2025·白银高二期末)一袋中有白球2个，红球n个，从中任取4个球，记红球的个数为X，已知X的取值为2，3，则P(X＝2)＝(　　) A． B． C． D． 解析　已知X的取值为2，3，由于白球最多可以取到2个，最少取到1个，故红球n＝4－1＝3(个)，所以P(X＝2)＝＝. 故选D. 答案　D 4．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝. ∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝. 答案　D 5．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________． 解析　可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的结果有0，1，2，3. 答案　0，1，2，3 6．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝______． 解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3， ∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10. 答案　0.1　10 7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是________． 解析　由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案　0.6 8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S . (1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的样本点； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列． 解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的样本点为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0). (2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有 P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A．a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－＝. 答案　BD 10．抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4). 抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2). 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以P(X≤4)＝＋＋＝. 答案　A 11．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则k＝________，P(X≥2)＝________． 解析　由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ∴＋＋＝1，∴k＝. ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋ ＝＋＝. 答案　　 12．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是______． 解析　由题意知X＝1，2，3. P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P 答案　 X 1 2 3 P 13．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3∶1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布． 解析　(1)甲校以3∶1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局， P＝C····＋×× ＝＋＝. (2)ξ的所有可能取值为1，2，3， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝＋＝， P(ξ＝3)＝1－－＝， 故ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 P [核心价值·探索创新] 14．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　) A． B． C．[－3，3] D．[0，1] 解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝， 由解得－≤d≤. 答案　B 15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值． 解析　(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的可能取值为0，10，20，50，60. P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $