7.1.2 全概率公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全概率公式及贝叶斯公式（选学）核心知识点，通过情境问题链引入，从事件关系分析到公式定义，结合例题讲解应用步骤，再到综合问题解决，构建完整学习支架，含问题导思、微提醒、对点练等环节。 以取球、色盲概率等情境驱动，通过问题链培养数学抽象与逻辑推理（数学思维），结合航班准点率等案例让学生用数学语言解决实际问题（数学语言）。课中辅助教师引导理解，课后通过练习帮助学生巩固，查漏补缺。

7.1.2　全概率公式 学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式 ， 会利用全概率公式计算概率，培养数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.　*2.了解贝叶斯公式，并会简单应用. 任务一　全概率公式 (阅读教材P49，完成探究问题1、2、3) 有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 问题1.红球能确定来自哪个罐子吗？有几种情况？ 提示：不能确定，有三种情况. 问题2.设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1，A2，A3有何关系？ 提示：A1，A2，A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 问题3.设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ 提示：B＝A1B∪A2B∪A3B. 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B｜Ai). 我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一. [微提醒]　使用全概率公式计算目标事件B的概率，必须是找到样本空间Ω的一个完备事件组A1，A2，…，An，而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B产生的几个原因.全概率公式相当于将产生B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在. (链教材P50例4)已知男性中有5％患色盲，女性中有0.25％患色盲，从100个男性和100个女性中任选一人.求此人患色盲的概率. 解：设“任选一人是男性”为事件A1，“任选一人是女性”为事件A2，“任选一人是色盲”为事件B. 依题意，得P(A1)＝＝0.5，P(A2)＝＝0.5，P(B｜A1)＝5％，P(B｜A2)＝0.25％， 此人患色盲的概率P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝×＋×＝. 学生用书⬇第38页 利用全概率公式求概率的步骤 第1步，拆分：将样本空间拆分成两两互斥的一组事件分别命名为Ai； 第2步，计算：假设目标的概率事件为事件B，利用概率乘法公式计算每一部分的概率P(AiB)＝P(Ai)·P(B｜Ai)； 第3 步，求和：代入全概率公式求解. 对点练1.某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6，0.5，0.4.从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率. 解：记事件B：“小明获胜”，记事件Ai：“小明与第i(i＝1，2，3)类棋手比赛”， 依题意，得P(A1)＝＝0.25，P(A2)＝＝0.35，P(A3)＝＝0.4， P(B｜A1)＝0.6，P(B｜A2)＝0.5，P(B｜A3)＝0.4. 由全概率公式可知，得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3) ＝0.25×0.6＋0.35×0.5＋0.4×0.4＝0.485. 则小明获胜的概率为0.485. 任务二　*贝叶斯公式 (阅读教材P51，完成探究问题4) 问题4.在任务一“问题导思”情况中，如果从三个罐子中任取一球得到的是红球，那么这个红球来自1号罐子的可能性，如何求解？ 提示：可以求在事件B发生的条件下事件A1发生的概率，即求条件概率P(A1｜B). 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai｜B)＝＝，i＝1，2，…，n. [微提醒]　P(Ai)是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率P(Ai｜B)，通常称为后验概率.贝叶斯公式指的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率.实际上，贝叶斯公式可以看成根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少. (双空题)同种规格的产品，甲组生产占40％，优品率为10％；乙组生产占60％，优品率为20％，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是优品的概率为　　　　；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为　　　　. 答案：0.16　 解析：设Ai(i＝1，2)分别表示产品由甲、乙组生产；B表示产品为优品，依题意，得P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B｜A1)＝0.1，P(B｜A2)＝0.2，故P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝0.4×0.1＋0.6×0.2＝0.16.则P(A1｜B)＝＝＝＝. 　　贝叶斯公式P(Ai｜B)＝＝反映了P(AiB)，P(Ai)，P(B)，P(Ai｜B)，P(B｜Ai)之间的互化关系，其本质是条件概率，是寻求在所有引起事件B发生的原因中Ai所占的比重. 对点练2.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路.掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为.已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A1表示选到会做的题，事件A2表示选到有思路的题，事件A3表示选到完全没有思路的题；设事件B表示答对该题，则P(B｜A1)＝1，P(B｜A2)＝，P(B｜A3)＝，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝×1＋×＋×＝，由贝叶斯公式，得P(A2｜B)＝＝.故选B. 学生用书⬇第39页 任务三　全概率公式与条件概率的综合应用 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往A地，B地及其他地区(不包含A，B两地)航班放行准点率的估计值分别为84％，80％和75％，2024年该机场飞往A地，B地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6. 试解决以下问题： (1)现在从2024年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若2024年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地，B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 解：(1)设A1＝“该航班飞往A地”，A2＝ “该航班飞往B地”，A3＝ “该航班飞往其他地区”，B＝“该航班准点放行”， 则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.6，P(B｜A1)＝0.84，P(B｜A2)＝0.8， P(B｜A3)＝0.75， 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝0.84×0.2＋0.8×0.2＋0.75×0.6＝0.778， 所以该航班准点放行的概率为0.778. (2)由(1)知，P(A1｜B)＝ ＝＝＝， P(A2｜B)＝＝＝＝， P(A3｜B)＝＝ ＝＝， 因为＞＞，所以该航班飞往其他地区的可能性最大. 　　在随机试验中，事件B的发生，常常伴随着Ai(i＝1，2，…，n)的发生，这时只要把事件B拆分成互斥事件的和B＝AiB，然后用全概率公式解决就行；如果知道事件B发生了，需求事件B发生的原因，我们可借助条件概率P(Ai｜B)(i＝1，2，…，n)解决(实质就是用贝叶斯公式解决，没有选学贝叶斯公式的学生，可忽略此公式). 对点练3.某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8％，乙班艺术生占比6％，丙班艺术生占比5％.学生自由选择座位，先到者先选.甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动. (1)求选到的学生是艺术生的概率； (2)如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大. 解：(1)设A1＝“所选学生来自甲班”，A2＝“所选学生来自乙班”，A3＝“所选学生来自丙班”，B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，依题意，得 P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝，P(B｜A3)＝. 所以P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3) ＝×＋×＋×＝. (2)P(A1｜B)＝＝＝＝； P(A2｜B)＝＝＝＝ ； P(A3｜B)＝＝＝＝ ； 所以其来自丙班的可能性最大. 任务再现 1.全概率公式.2.贝叶斯公式(选学).3.全概率公式与条件概率的综合应用 方法提炼 公式法、分类讨论法 易错警示 事件拆分得不合理或不全面 1.设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B｜A)＝0.2，则P(B｜)＝(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 答案：D 解析：由P(A)＝0.5 ，得P()＝0.5，显然P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)，因此0.4＝0.5×0.2＋0.5P(B｜)，所以P(B｜)＝0.6.故选D. 2.长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人 学生用书⬇第40页 近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设“任意调查一名学生，他每天看电脑超过2小时”为事件A，则P(A)＝，P()＝.设“从该校任意调查一名学生，他是近视”为事件B，则P(B｜A)＝，P(B｜)＝.所以P(B)＝P(A)·P(B｜A)＋P()·P(B｜)＝×＋×＝.故选A. 3.某地成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为0.2，0.1，0.05.则该地成年人患高血压的概率等于　　　　. 答案：0.106 解析：令B＝{某人患高血压}，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106. 4.5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率. 解：设Ai＝“取到第i号袋子”，i＝1，2，3，4，5，B＝“取到白球”， 根据题意，得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝P(A5)＝，P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝P(B｜A3)＝P(B｜A4)＝P(B｜A5)＝， 由贝叶斯公式，得P(A1｜B)＝＝＝. 所以这个球来自1号袋中的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $