8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计，从散点图分析变量关系引入模型概念，通过最小二乘法原理推导参数估计公式，再结合实例应用回归方程预测，构建“概念理解-方法掌握-实际应用”的学习支架。 资料以蔬菜产量与肥料使用量等实例为载体，通过问题探究培养数学抽象，例题解析与对点练习提升数学运算，任务驱动式设计助力数学建模。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8.2　一元线性回归模型及其应用 第1课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，培养数学抽象的核心素养.　2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，培养数学抽象的核心素养.　3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测，提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　一元线性回归模型 (阅读教材P105－106，完成探究问题1) 问题1.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点如图所示，思考并回答下面问题： (1)依据数据的散点图，推断西红柿亩产量的增加量y与液体肥料每亩使用量x之间有没有关系. (2)y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ (3)用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 提示：(1)有关系.(2)线性相关很强.不能，增加量y除了与液体肥料每亩使用量x有关外，还与阳光、温度等有关系，y与x之间不是函数关系.(3)从散点图看，散点大致分布在一条直线附近，可以用一元线性回归模型来刻画y与x之间的关系. 学生用书⬇第78页 一元线性回归模型 一元线性回归模型的完整表达式为 其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差. [微提醒]　(1)随机误差e的均值为0，方差为与变量x无关的定值σ2.(2)Y与x正相关的充要条件是b＞0，Y与x负相关的充要条件是b＜0.(3)经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差. 若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，｜e｜≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 答案：D 解析：因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以Y＝0.7x＋3＋e，当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e.而｜e｜≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元.故选D. 1.在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，模型中的Y也是模型变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 2.如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 对点练1.关于一元线性回归模型 给出下列说法： ①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化；③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0；④对于所有的x值，e的方差σ2都相同. 其中正确的是　　　　(填序号). 答案：①②③④ 解析：根据一元线性回归模型的含义，以上说法均正确. 任务二　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (阅读教材P107－110，完成探究问题2) 问题2.在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画了变量Y与x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什么？ 提示：使表示成对样本数据的各散点在整体上与一条适当的直线尽可能地接近. 1.最小二乘法 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 2.经验回归方程的系数计算公式 经验回归方程 的计算公式 的计算公式 ＝x＋ ＝ ＝－ 3.经验回归方程的性质 (1)经验回归方程一定过点(，). (2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是＞0. (3)的实际意义：当x增大一个单位时，增大个单位. [微提醒]　(1)经验回归方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分.(2)可以利用经验回归方程＝＋x预测在x取某值时，y的估计值. 学生用书⬇第79页 某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下： 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 计算得：xiyi＝36 220，＝34 400. (1)在下图中画出散点图； (2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩x来预测期末考试成绩y(精确到0.1). 附：＝，＝－. 解：(1)散点图如图所示. (2)由表格数据，得＝＝56， ＝＝61， 则＝＝≈0.68. ＝－≈61－0.68×56＝22.92， 所以y关于x的回归直线方程为＝0.7x＋22.9. 求经验回归方程的基本步骤 注意：只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义. 对点练2.某学校研究性学习小组对某种雪糕每天的销售额与这一天的最高气温之间的关系进行研究，现统计了5月15日至5月20日每天的最高气温和该雪糕销售额的数据，如下表： 日期 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 最高气温x/℃ 19 20 23 25 24 21 销售额y/百元 26 33 37 45 40 35 研究发现最高气温x(℃)与销售额y(百元)之间具有近似线性相关关系，求y关于x的回归直线方程.(计算过程保留1位小数) 参考数据：＝2 932，xiyi＝4 825. 解：依题意，得＝＝22， ＝＝36， ＝2 932，xiyi＝4 825. 设回归直线方程为＝x＋， 则＝＝≈2.6， ＝－＝36－2.6×22＝－21.2， 所以y关于x的回归直线方程为＝2.6x－21.2. 学生用书⬇第80页 任务三　利用经验回归方程进行预测 某视频博主加入了视频推流活动，通过投入资金对视频进行推广.通过一段时间的推广，统计得到如下数据： 推流投入资金x/千元 8 9 10 11 12 视频浏览量y/万次 9 10 10 12 14 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)已知该博主准备一次性投入资金15千元，预计浏览量能达到多少万次？ 附：＝＝，＝－. 解：(1)由已知数据可得＝10，＝11， 则xiyi＝72＋90＋100＋132＋168＝562， ＝64＋81＋100＋121＋144＝510. 可得＝＝1.2， ＝11－1.2×10＝－1， yx＝1.2x－1. (2)由(1)y关于x的回归方程为＝1.2x－1， 所以当x＝15时，＝17， 所以一次性投入资金15千元，预计浏览量能达到17万次. [变式探究] (变条件、变设问)已知该博主商品橱窗中销售商品的利润z(单位：千元)与推流投入x(单位：千元)、浏览量y(单位：万次)满足关系式z＝0.1y(30－x)＋10，利用(1)中经验回归方程估计该博主投入多少元时，能获得最大净利润，并求最大净利润(净利润＝利润－投入，结果保留整数). 解：若推流投入x千元时，净利润估计为 L(x)＝0.1y(30－x)＋10－x＝(0.12x－0.1)(30－x)＋10－x＝－0.12x2＋2.7x＋7， 当x＝＝11.25时，L(x)取得最大值，最大值为22.187 5千元. 即该博主推流投入为11 250元时，可以获得最大净利润22 188元. 经验回归方程的应用 1.利用经验回归方程进行预测：把经验回归方程看作一次函数，求函数值. 2.利用经验回归方程判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是. 对点练3.某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长.通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 二萜化合物浓度x(μg/mL) 20 40 60 80 100 抑制率y(％) 10 15 18 21 25 若x，y呈线性相关，且满足经验回归方程为＝x＋7，则当x＝120时，抑制率y的值为　　　　. 答案：28.6 解析：依题意，得＝＝60，＝＝17.8，所以17.8＝×60＋7，解得＝0.18，可得＝0.18x＋7，当x＝120时，y＝0.18×120＋7＝28.6. 任务再现 1.一元线性回归模型.2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计.3.利用经验回归方程进行预测 方法提炼 公式法、最小二乘估计法、数形结合思想 易错警示 不判断变量间的线性相关关系，就求经验回归方程；公式记忆错误或计算错误 学生用书⬇第81页 1.已知两个变量之间的线性回归方程为＝0.35x＋a，若＝8，＝8.8，则a＝(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：B 解析：＝0.35x＋a过点(，)，则＝0.35＋a⇒a＝－0.35＝8.8－2.8＝6.故选B. 2.(多选)下列有关回归直线方程＝x＋，叙述正确的是(　　) A.反映与x之间的函数关系 B.反映y与x之间的函数关系 C.表示与x之间不确定关系 D.表示最接近y与x之间真实关系的一条直线方程 答案：AD 解析：对于A，B，＝x＋表示与x之间的函数关系，并不是y与x之间的函数关系，故A正确，B错误；对于C，＝x＋表示与x之间的函数关系，为确定性关系，故C错误；对于D，用回归直线来表示最接近y与x之间真实关系的一条直线方程，故D正确.故选AD. 3.2025年五一节日期间，通过对某一路口在具体时刻的瞬时速度进行观测统计发现，时刻x和瞬时速度y的关系如下： x(时) 4 5 6 7 8 9 y(速度) 90 84 83 80 75 68 由表中数据得到的线性回归方程为＝－4x＋a，则由此可预测此路口11时的瞬时速度为　　　　. 答案：62 解析：依题意，得＝＝，＝＝80，则80＝－4×＋a，解得a＝106，当x＝11时，＝－4×11＋106＝62. 4.已知两个线性相关变量x，y的统计数据如表所示，则其回归方程是　　　　　　　. x 1 2 3 4 5 y 3 0 －2 －4 －5 答案：＝－2x＋4.4 解析：由表可知＝＝3，＝＝－1.6，所以＝ ＝－2，＝－＝4.4，所以线性回归方程为＝－2x＋4.4. 学科网（北京）股份有限公司 $