8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦非线性回归模型及回归分析核心知识点，先通过残差概念、残差图进行误差分析，再引导学生将非线性模型通过变量代换转化为线性回归，最后用决定系数R²评估拟合效果，构建完整回归分析学习支架。 资料以问题探究驱动（如幼苗高度与天数关系分析），结合广告支出、鸡舍温度等实例培养数学建模与数据分析素养，残差图与R²结合提升直观想象，课中例题辅助教学，课后任务再现和易错警示帮助学生查漏补缺。

第2课时　非线性回归模型及回归分析 学习目标 1.结合实例，了解随机误差、残差、残差图的概念，对回归模型会进行残差分析，培养数学抽象、数据分析的核心素养.　2.能利用R2判断回归模型的拟合效果.　3.了解非线性回归模型的基本思想方法，能转化为一元线性回归模型解决实际问题，提升直观想象、数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　残差及残差分析 (阅读教材P110－112，完成探究问题1) 问题1.思考下面问题. 已知具有相关关系的两个变量的经验回归方程为＝x＋， (1)与响应变量Y相等吗？ (2)与响应变量Y之间误差大了好还是小了好？ (3)对于响应变量Y的观测值yi与预测值，定义残差＝yi－，若｜｜比较小，回归模型拟合的精度有什么特点？ 提示：(1)不一定.(2)越小越好.(3)拟合精度越高，回归模型越好. 1.残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 2.残差分析 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.若残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. 学生用书⬇第82页 [微思考]　利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 提示：不一定，只是真实值的一个预测值. (1)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是(　　) (2)已知变量x和y的统计数据如下表： x －2 －1 0 1 2 y 5 ？ 2 2 1 由表中的数据得到线性回归方程＝－0.9x＋2.6，那么当x＝－1时残差为　　　　.(注：残差＝观测值－预测值) 答案：(1)D　(2)－0.5 解析：(1)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高.故选D. (2)由数表知，＝＝0，则＝－0.9＋2.6＝2.6，因此x＝－1时的观测值为5－(5＋2＋2＋1)＝3，而x＝－1时的预测值为－0.9×(－1)＋2.6＝3.5，所以当x＝－1时残差为3－3.5＝－0.5. 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 对点练1.某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表，已知＝1.1x＋，则x＝11时，残差为　　　　. 广告支出费用x/万元 1 3 4 6 11 销售量y/万件 1.9 3.2 4.4 6.3 12.7 答案：0.4 解析：依题意，得＝＝5，＝＝5.7，而样本中心点(，)在经验回归直线上，代入得5.7＝1.1×5＋，解得＝0.2.所以＝1.1x＋0.2，当x＝11时，解得＝12.3，所以残差为12.7－12.3＝0.4. 任务二　非线性回归方程 (阅读教材P115－117，完成探究问题2) 问题2.设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表所示： 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近. 如何建立函数模型来拟合这组数据？如何才能使用最小二乘法？ 提示：所建立模型不是线性经验回归方程，可以考虑换元，转化为线性经验回归方程，通过最小二乘法求出线性回归方程，再转化为非线性经验回归方程即可. 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋，∈R)时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. [微思考]　函数模型y＝c1＋c2ln x如何变成线性方程？ 提示：可以令z＝ln x，则y＝c1＋c2z就是线性方程. 学生用书⬇第83页 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度x(单位：℃)，对某种鸡的时段产蛋量y(单位： t)和时段投入成本z(单位：万元)的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度xi和产蛋量yi(i＝1，2，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值. (xi－)2 (ki－)2 17.40 82.30 3.6 140 9.7 (xi－)(yi－) (xi－)(ki－) 2 935.1 35.0 其中ki＝ln yi， ＝ki. (1)若用y＝c1作为回归方程模型，根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)已知时段投入成本z与x，y的关系为z＝e－2.5y－0.1x＋10，当时段控制温度为28 ℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据(ui，υi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线v＝u＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝， ＝－. ② e－2.5 e－0.75 e e3 e7 0.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63 解：(1)由y＝c1得ln y＝c2x＋ln c1， 令ln y＝k， c2＝， α＝ln c1， 由图表中的数据可知＝＝， ＝3.6－×17.4＝－， 所以＝x－， 则y关于x的回归方程为y＝＝0.47. (2)x＝28时，由回归方程＝0.47×1 096.63≈515.4，≈0.08×515.4－2.8＋10＝48.432， 即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产蛋量的预报值为515.4 t，时段投入成本的预报值为48.432万元. 解决非线性回归问题的方法及步骤 对点练2.已知x，y之间的一组数据如下表，若y与满足经验回归方程＝＋，则此曲线必过点　　　　. x 1 4 9 16 y 1 2.98 5.01 7.01 答案：(6.25，4) 解析：由已知＝＋，设t＝，则＝t＋，由回归直线性质可得(，)在直线＝t＋上，又＝＝2.5，＝＝4，所以点(2.5，4)在直线＝t＋上，故点(6.25，4)在曲线＝＋上. 学生用书⬇第84页 任务三　决定系数 (阅读教材P118－119，完成探究问题3) 问题3.建立经验回归方程后，如何对模型刻画数据的效果进行分析，从而对模型进行改进，作出更符合实际的预测和决策？ 提示：借助残差图、残差平方和或决定系数进行残差分析，比较模型的拟合效果. 1.残差平方和法 残差平方和(yi－)2越小，模型拟合效果越好，残差平方和(yi－)2越大，模型拟合效果越差. 2.利用决定系数R2刻画回归效果 R2＝1－ R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. [微提醒]　(1)决定系数R2刻画模型的拟合效果，相关系数r刻画两变量间的线性相关程度.(2)决定系数R2的范围为[0，1]，R2越大，模型的拟合效果就越好；相关系数r的范围为[－1，1]，｜r｜越大，两个变量间的线性相关性越强. 已知某种汽车新购入价格为14万元，但随着使用年限增加汽车会贬值.通过调查发现使用年限x(单位：年)与出售价y(单位：万元)之间的关系有如下一组数据： x 1 2 4 8 10 y 12 10 7 6 5 (1)求y关于x的回归方程； (2)已知R2＝1－，当R2≥0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由. (附：用最小二乘法求经验回归方程＝x＋的系数公式＝＝；＝－) 解：(1)依题意，得＝×(1＋2＋4＋8＋10)＝5， ＝×(12＋10＋7＋6＋5)＝8， xiyi－5·＝1×12＋2×10＋4×7＋8×6＋10×5－200＝－42， －5＝(12＋22＋42＋82＋102)－5×52＝60， ＝＝＝－0.7， 则＝－＝8＋0.7×5＝11.5， 所以y关于x的回归方程是＝－0.7x＋11.5. (2)列出残差表： xi 1 2 4 8 10 yi 12 10 7 6 5 10.8 10.1 8.7 5.9 4.5 yi－ 1.2 －0.1 －1.7 0.1 0.5 yi－ 4 2 －1 －2 －3 所以＝1.22＋＋＋0.12＋0.52＝4.6，＝42＋22＋＋＋＝34，所以R2＝1－＝1－≈0.865，则0.8＜R2＜0.9， 所以该回归方程的拟合效果良好. 　　同一数据可以用不同的回归模型拟合，但拟合效果有差异.判断拟合效果好坏的方法，可以先从残差图进行直观判断，再通过残差平方和及决定系数进行定量比较，从而选出最合适的回归模型. 对点练3.(1)在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数R2依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是(　　) A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 学生用书⬇第85页 (2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，9)满足＝5，＝265，由最小二乘法得到y与x的回归方程，现用决定系数R2来判断拟合效果(R2越接近1，拟合效果越好)，若(yi－)2＝1.60，则R2＝　　　　　　　.(参考公式：决定系数R2＝1－) 答案：(1)C　(2)0.96 解析：(1)因为R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3.故选C. (2)因为R2＝1－＝1－＝1－＝0.96. 任务再现 1.残差的概念与残差图.2.非线性回归模型.3.残差平方和及决定系数R2 方法提炼 公式法、转化与化归思想、数形结合思想 易错警示 混淆残差平方和及决定系数R2的含义，导致刻画回归效果出错 1.如图是某地在50天内感染某病毒的累计病例y(单位：万人)与时间x(单位：天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bex C.y＝a＋b D.y＝a＋b ln x 答案：B 解析：对于A，y＝a＋bx对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，故A错误；对于B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，则y＝a＋bex的图象可以如题图所示，故B正确；对于C，y＝a＋b对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故C错误；对于D，y＝a＋bln x对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故D错误.故选B. 2.(多选)为研究女儿身高y与母亲身高x的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，下列说法正确的是(　　) A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好 B.样本相关系数越大，变量x，y线性相关程度越强 C.决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D.决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 答案：BD 解析：对于A，回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数R2来判断的，故A错误；对于B，因为｜r｜≤1，且相关系数越接近1，变量x，y线性相关程度越强，故B正确；对于C，决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C错误；对于D，决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确.故选BD. 3.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成一个样本，可得到回归直线方程为＝2x＋，且＝3，＝4.7，则样本点(4，7)的残差为　　　　. 答案：0.3 解析：依题意知，将点(3，4.7)代入＝2x＋，得＝－1.3，所以＝2x－1.3，将x＝4代入＝2x－1.3，解得＝6.7，所以样本点(4，7)的残差为7－6.7＝0.3. 4. 甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－)2如下表： 甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度最高的同学是　　　　. 答案：丁 解析：对于已经获取的样本数据，R2表达式中分母(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合精度最高. 学科网（北京）股份有限公司 $