第一章三角函数复习图象篇之求函数值域及逆向求参课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数复习 互动设计 性质篇之求函数值域及逆向求参 互动设计课程 1 学 习 目 标 重点突破5类题型，核心抓有界性。。。 返回主页 探 求 新 知 1.求三角函数值域的核心思路 返回主页 2. 关键技巧 3. 具体题型及要领 （一）题型1：基础正、余、切函数的值域（直接用有界性） （二）题型2：二次型三角函数的值域 （三）题型3：含根式的三角函数的值域 （四）题型4：分式型三角函数的值域 （五）题型5：复合型三角函数的值域（换元+单调区间） 4. 值域逆向求参 （一）一次型 （二）二次型 （三）复合型 求三角函数值域的核心思路 利用 、 的有界性（），结合代数变形（配方、换元、化简），将复杂三角函数转化为“一次函数、二次函数”等熟悉函数的值域问题，分步求解。 2.关键技巧 关键技巧：换元法（令 或 ，则 ），将三角值域转化为代数值域。 （一）题型1：基础正、余、切函数的值域（直接用有界性） 方法要点 、：值域固定为 ，与定义域无关（只要定义域非空）； ：值域为 ，无论定义域是全体有效区间还是部分区间，只要定义域包含一个完整的单调区间，值域即为 ； 简单变形（如 、）：利用有界性，，推导 的范围。 例题1：求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）（定义域为 ） （3），： 先求内层函数 的范围： 当 时，；当 时，； 故 ； 因 在 上单调递增，且 （），（）； 值域为 。 易错提醒：第（2）题易忽略“乘负数，不等号方向改变”，导致值域求解错误；第（3）题需先求内层函数的范围，再结合正切函数的单调性，不可直接写值域为 （因定义域不包含完整单调区间）。 （二）题型2：二次型三角函数的值域 方法要点 形式： 或 （）； 步骤：① 换元：令 或 ，则 ；② 转化：函数变为 （二次函数）；③ 求二次函数在 上的值域（结合二次函数的对称轴，判断单调性）。 易错点：二次函数的对称轴是否在区间 内，若在，需求顶点值（最值）；若不在，需求区间端点值。 顶点值（最小值）：； 端点值：当 时，；当 时，； 最大值为1，最小值为 ，值域为 。 （2）： 令 ，，则 ； 二次函数对称轴：，对称轴在区间端点； 函数在 上单调递减（因开口向上，对称轴右侧单调递增，左侧单调递减）； 端点值：当 时，；当 时，； 值域为 。 （3）： 先统一三角函数名（利用 ），化简： ； 令 ，，则 ； 对称轴：，在区间端点； 函数在 上单调递增，端点值： 时，； 时，； 值域为 。 易错提醒：第（3）题易忘记“统一三角函数名”，直接换元导致错误；二次函数求值域时，务必先判断对称轴是否在 内，避免直接代入端点值遗漏最值。 （三）题型3：含根式的三角函数的值域 方法要点 形式：、 等，核心是“根式有意义”+“三角函数有界性”； 步骤：① 先确定根号内三角函数的取值范围（结合定义域，确保根号内非负）；② 利用根式的单调性（ 单调递增），求值域； 关键：根号内的三角函数值域即为 的范围，再求 的范围。 例题3：求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）（定义域为 ） 解析：先求根号内表达式的值域，再结合根式性质求解。 （1）： 因 ，故 ； 又 （）单调递增，故 ； 值域为 。 （2）： 因 ，故 ，进而 ； 根号内非负，故 ； 单调递增，值域为 。 （3），： 定义域内，，，根号内均有意义； 令 ，两边平方（因 ，平方不改变值域范围）： ； 令 ，，则 ； 又 ，代入得 ； 因 时， 单调递增，故 ； 又 ，故 ，值域为 。 易错提醒：第（2）题易忽略“根号内非负”，直接用 求值域，导致包含负数的根号，无意义；第（3）题平方后需注意 ，且定义域对 、 的限制。 （四）题型4：分式型三角函数的值域 方法要点 形式：、（分子分母均为一次三角函数）； 步骤：① 分离常数（将分式转化为“常数+分式”的形式，如 ）；② 利用 ，求分母的取值范围；③ 结合分式的单调性，求整个函数的值域； 替代方法：反解法（将函数变形为 ，利用 ，解不等式求 的范围）。 例题4：求下列函数的值域： （1）；（2）；（3） 解析：用分离常数法或反解法，结合有界性求解。 （1）（分离常数法）： 分离常数：； 因 ，故 ； 则 ，进而 ； 值域为 。 （2）（反解法）： 变形：，整理得 ； 若 ，则 ； 利用 ，得 ，两边平方（）： ，化简得 ，即 ； 验证 ：左边 ，右边 ， 无解，故 ； 值域为 。 （3）（几何意义法，辅助理解）： 可看作单位圆上的点 与点 连线的斜率； 单位圆上的点到 的斜率范围，结合几何图形，解得 ； 值域为 。 易错提醒：第（2）题反解法中，易忽略“y≠2”的情况，导致值域包含无意义的取值；分式型值域需注意分母不能为0，结合定义域排除无效值。 （五）题型5：复合型三角函数的值域（换元+单调区间） 方法要点 形式：、（），或更复杂的复合（如 ）； 步骤：① 换元：令 ，求 的取值范围（结合定义域）；② 求 （或 ）在 对应区间上的值域；③ 结合三角函数的单调性，确定最值。 ，而非 ，但 在该区间仍单调递增。 逆向求参的核心思路：结合定义域、值域，反向利用三角函数的有界性、单调性，建立关于参数的不等式（组），求解参数的取值范围；关键是找准“定义域→内层函数范围→外层函数值域”的关联，明确参数对值域的影响。 4.由定义域和值域逆向求参（综合应用，重点突破3类题型） 例题6：已知函数 （）的定义域为 ，值域为 ，求 的值。 已知定义域和值域，求一次型参数（如 、） 方法要点 先根据定义域，求 （或 ）的取值范围，记为 ； 函数转化为 ，结合已知值域 ，分 （单调递增）、（单调递减）两种情况，建立方程组： ① ：；② ：； 求解方程组，验证参数是否符合题意（如 的符号）。 解析：先求 在定义域内的范围，再分 、 建立方程组。 步骤1：求 的范围， 时，（记 ，）； 步骤2：函数转化为 ，分两种情况讨论： ① 当 时，函数单调递增，故 ； 解得 ，符合 ，验证：， 时，值域为 ，符合题意； ② 当 时，函数单调递减，故 ； 解得 ，符合 ，验证：， 时，值域为 ，符合题意； 综上， 或 。 易错提醒：易忽略 的情况，只求解 的一组解，导致答案不完整；验证步骤不可省略，避免参数符号错误。 已知定义域和值域，求二次型参数（如 ） 方法要点 换元：令 （或 ），根据定义域求 ； 函数转化为 （），已知值域 ； 结合二次函数的对称轴 ，分 、，判断对称轴与区间 的位置关系，建立关于参数的不等式（组），求解参数。 解析：本题为二次型三角函数逆向求参，核心是换元转化为二次函数，结合三角函数有界性和二次函数值域，建立关于参数的方程，求解并验证。 步骤1：换元转化，确定的范围。 因定义域为，，令，则； 原函数转化为二次函数：（），已知该二次函数的值域为。 步骤2：分析二次函数的对称轴与单调性，分情况讨论。 二次函数的对称轴为，开口向上（二次项系数），对称轴的位置决定函数在上的最值，分3种情况： ① 当，即时： 函数在上单调递增（开口向上，对称轴在区间左侧），最值在区间端点取得； 最小值（时）：； 最大值（时）：； 结合值域，列方程组：，解得，符合的前提。 ② 当，即时： 函数在对称轴处取得最小值，端点取得最大值； 最小值（时）：； 最大值为端点值中的较大者：，因，，故最大值为； 结合值域，列方程组：； 由得，但，故无符合条件的解。 ③ 当，即时： 函数在上单调递减（开口向上，对称轴在区间右侧），最值在区间端点取得； 最小值（时）：； 最大值（时）：； 结合值域，列方程组：，解得，符合的前提。 步骤3：综上验证，或。 验证：当时，，，值域为，符合题意； 当时，，，值域为，符合题意。 已知定义域和值域，求复合型三角函数参数（如） 方法要点 换元：令，根据已知定义域求的取值范围； 函数转化为（或），结合已知值域，利用（或）的有界性，建立关于参数、、的不等式（组）； 关键：结合复合型三角函数的单调性、周期性，确定（或）在上的最值，进而求解参数，验证参数是否符合题意。 解析：值域为，则； ，； 要使，需满足（因，在递增到1，在递减到，刚好覆盖）； 解① ；解② ； 验证：当时，，，，不符合值域，故修正为（确保能取到），且（确保不小于）； 解得且，即，验证：时，，，，符合题意；时，，，符合题意。 易错提醒：易忽略“内层函数单调递增”对t区间的影响，误判t的范围；同时容易遗漏sint需覆盖[-,1]的完整范围，导致不等式列写错误，求解后需验证参数对应的sint范围是否符合要求，避免值域偏差。 模块总结：逆向求参的核心是“正向转化，逆向推导”——先将三角函数转化为熟悉的一次、二次函数，结合定义域求出内层函数（换元后的t）范围，再根据已知值域，反向利用函数的单调性、有界性，分情况建立参数的不等式（组），求解后务必验证，确保参数符合所有限制条件（如ω>0、a的符号、t的范围等），规避漏解、错解。 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 求函数 的值域。 解析 则 所以值域为 。 2.求函数 的值 解析 令 ，则 。 函数化为 。 二次函数开口向上，对称轴 。 最小值在 处：。 最大值在端点处比较： 时 ， 时 。 所以值域为 。 3.求函数 的值域。 令 （分母不为零，）。 则 。 当 时，，。 所以 。 即值域为 。 求函数 的值域。 解析 利用辅助角公式：。 所以 。 5.已知函数 ，，求该函数的值域。 解析 令 ，由 得 。 在 上的取值范围： 最小值在 或 处取得？ 实际上 在 处取最大值 1，在 和 处分别取 和 ， 所以最小值为 ，最大值为 1。 则 。 即值域为 。 $