课时分层评价18 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价18　正态分布

(时间：60分钟　满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9题，每小题5分，共45分)

1.若X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＞0)＝(　　)

A.0.10 B.0.40 

C.0.80 D.0.90

答案：D

解析：依题意，知X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.10，故P(X＞0)＝1－P(X＜0)＝0.90.故选D.

2.随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，则μ等于(　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

答案：B

解析：因为P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，所以P(ξ＞6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)，所以μ＝＝4.故选B.

3.设随机变量X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图，则(　　)

A.μ1＞μ2 B.σ1＜σ2

C.P(X≤μ1)＞P(Y≥μ2) D.P(X≤μ2)＞P(Y≤μ1)

答案：D

解析：X的密度曲线的对称轴在Y的密度曲线的对称轴的左边，即μ1＜μ2.X的密度曲线较为分散， Y的密度曲线较为集中，即σ1＞σ2，故A、B错误；因为P(X≤μ1)＝0.5，P(Y≥μ2)＝0.5，故C错误；因为P(x≤μ2)＞0.5，P(Y≤μ1)＜0.5，故D正确.故选D.

4.已知连续型随机变量X与离散型随机变量Y满足X～N(μ，μ2)(μ＞0)，Y～B(16，)，若X与Y的方差相同且P(2≤X≤4)＝0.3，则P(X≤4)＝(　　)

A.0.8 B.0.5 

C.0.3 D.0.2

答案：A

解析：D(X)＝μ2，D(Y)＝16××(1－)＝4，因为D(X)＝D(Y)，所以μ2＝4，μ＝2，由对称性P(X＜2)＝0.5，故P(X≤4)＝P(X＜2)＋P(2≤X≤4)＝0.5＋0.3＝0.8.故选A.

5.某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(96，144).已知参加本次考试的学生约有10 000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是(　　)

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5

A.第228名 B.第455名

C.第1 587名 D.第3 173名

答案：A

解析：由X～N(96，144)，μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，则P(72＜X＜120)＝0.954 5，故P(X≥120)＝＝0.022 75，10 000×0.022 75＝227.5≈228，故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名.故选A.

6.(多选)若随机变量X～N(5，σ2)且P(X＜m)＝P(X＞n)，则下列选项正确的是(　　)

A.E(2X＋1)＝7

B.m2＋n2的最小值为50

C.P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ)

D.若P(X＞4)＝0.68，则P(5≤X＜6)＝0.32

答案：BC

解析：随机变量X～N(5，σ2)，对于A，E(X)＝5，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝11，故A错误；对于B，P(X＜m)＝P(X＞n)，有＝5，则m2＋n2≥(m＋n)2＝50，当且仅当m＝n＝5时等号成立，m2＋n2的最小值为50，故B正确；对于C，E(X)＝5，所以P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ)，故C正确；对于D，因为随机变量X～N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝5，因为P(4＜X＜5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X＜6)＝0.18，故D错误.故选BC.

7.已知X～N(μ，σ2)，P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，且P(X≤－2)＝0.2，则P(－2≤X≤4)＝　　　　.

答案：0.6

解析：因为P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≥3)＝P(X≤－1)，则μ＝1.因为P(X≤－2)＝0.2，所以P(－2≤X≤4)＝1－2×0.2＝0.6.

8.某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415 g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出σ的最大值是　　　　.

答案：5

解析：依题意，知μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.

9.节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X(单位：千瓦时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(800≤X≤1 200)＝，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1 200千瓦时的户数为ξ，则E(ξ)＝　　　　.

答案：100