课时分层评价18 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价18　正态分布 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.若X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＞0)＝(　　) A.0.10 B.0.40 C.0.80 D.0.90 答案：D 解析：依题意，知X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.10，故P(X＞0)＝1－P(X＜0)＝0.90.故选D. 2.随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，则μ等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：因为P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，所以P(ξ＞6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)，所以μ＝＝4.故选B. 3.设随机变量X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图，则(　　) A.μ1＞μ2 B.σ1＜σ2 C.P(X≤μ1)＞P(Y≥μ2) D.P(X≤μ2)＞P(Y≤μ1) 答案：D 解析：X的密度曲线的对称轴在Y的密度曲线的对称轴的左边，即μ1＜μ2.X的密度曲线较为分散， Y的密度曲线较为集中，即σ1＞σ2，故A、B错误；因为P(X≤μ1)＝0.5，P(Y≥μ2)＝0.5，故C错误；因为P(x≤μ2)＞0.5，P(Y≤μ1)＜0.5，故D正确.故选D. 4.已知连续型随机变量X与离散型随机变量Y满足X～N(μ，μ2)(μ＞0)，Y～B(16，)，若X与Y的方差相同且P(2≤X≤4)＝0.3，则P(X≤4)＝(　　) A.0.8 B.0.5 C.0.3 D.0.2 答案：A 解析：D(X)＝μ2，D(Y)＝16××(1－)＝4，因为D(X)＝D(Y)，所以μ2＝4，μ＝2，由对称性P(X＜2)＝0.5，故P(X≤4)＝P(X＜2)＋P(2≤X≤4)＝0.5＋0.3＝0.8.故选A. 5.某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(96，144).已知参加本次考试的学生约有10 000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5 A.第228名 B.第455名 C.第1 587名 D.第3 173名 答案：A 解析：由X～N(96，144)，μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，则P(72＜X＜120)＝0.954 5，故P(X≥120)＝＝0.022 75，10 000×0.022 75＝227.5≈228，故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名.故选A. 6.(多选)若随机变量X～N(5，σ2)且P(X＜m)＝P(X＞n)，则下列选项正确的是(　　) A.E(2X＋1)＝7 B.m2＋n2的最小值为50 C.P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ) D.若P(X＞4)＝0.68，则P(5≤X＜6)＝0.32 答案：BC 解析：随机变量X～N(5，σ2)，对于A，E(X)＝5，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝11，故A错误；对于B，P(X＜m)＝P(X＞n)，有＝5，则m2＋n2≥(m＋n)2＝50，当且仅当m＝n＝5时等号成立，m2＋n2的最小值为50，故B正确；对于C，E(X)＝5，所以P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ)，故C正确；对于D，因为随机变量X～N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝5，因为P(4＜X＜5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X＜6)＝0.18，故D错误.故选BC. 7.已知X～N(μ，σ2)，P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，且P(X≤－2)＝0.2，则P(－2≤X≤4)＝　　　　. 答案：0.6 解析：因为P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≥3)＝P(X≤－1)，则μ＝1.因为P(X≤－2)＝0.2，所以P(－2≤X≤4)＝1－2×0.2＝0.6. 8.某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415 g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出σ的最大值是　　　　. 答案：5 解析：依题意，知μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5. 9.节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X(单位：千瓦时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(800≤X≤1 200)＝，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1 200千瓦时的户数为ξ，则E(ξ)＝　　　　. 答案：100 解析：由正态分布的对称性知P(X＞1 200)＝[1－P(800≤X≤1 200)]＝，则ξ～B(500，)，所以E(ξ)＝500×＝100. 10.(13分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.设这10个数据的均值为μ，标准差为σ. (1)求μ和σ； (2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：186，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试.并说明你的理由. 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99. 解：(1)μ＝(192＋192＋193＋197＋200＋202＋203＋204＋208＋209)＝200， σ2＝[82＋82＋72＋32＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36， 故σ＝＝6. (2)依题意，得X～N(200，36)， P(200－18＜X≤200＋18)≈0.997 3， 即P(182＜X≤218)≈0.997 3，而5个零件的内径186，190，198，204，213均出现在(μ－3σ，μ＋3σ]＝(182，218]内， 根据3σ原则，可以认为设备正常，这台设备不需要调试. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知随机变量X～N(1，σ2).若P(1≤X≤3)＝0.3，设事件A＝“X＜1”，事件B＝“｜X｜＞1”，则P(A｜B)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为随机变量X～N(1，σ2)，且P(1≤X≤3)＝0.3，所以P(X＞3)＝0.5－0.3＝0.2，所以P(X＜－1)＝P(X＞3)＝0.2，｜X｜＞1，即X＞1或X＜－1，所以P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1)＝0.5＋0.2＝0.7，所以P(A｜B)＝＝＝＝.故选D. 12.(多选)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则～N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　) A.X～N(20，6) B.～N(0，1) C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 答案：BCD 解析：依题意，知X～N(20，62)，～N(0，1)，故A错误，B正确；若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和方差为μX，σX，μY，σY，则P(｜Y－24｜≤4)＝P(｜Y－μY｜≤2σY)＝P(｜X－μX｜≤2σX)＝P(｜X－20｜≤12)＞P(｜X－20｜≤8)，故P(X≤28)＜P(Y≤28)，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有25 min可用，则P(X≤25)＝P(≤)，P(Y≤25)＝P(≤)，因为～N(0，1)，～N(0，1)，故P(X≤25)＞P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.故选BCD. 13.某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩X服从正态分布N(95，122).如果按照16％，34％，34％，16％的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的考试成绩等级为　　　　.(参考数据：P(μ－σ≤X＜μ＋σ)≈0.68) 答案：B 解析：数学考试成绩服从正态分布N(95，122)，则μ＝95，σ＝12，由于A，D等级的概率之和为16％＋16％＝32％≈1－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)，所以P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝0.16，又因为P(μ－σ≤X＜μ)＝P(μ≤X＜μ＋σ)＝0.34，即P(83≤X＜95)＝P(95≤X＜107)＝0.34，故X≥107为A等级，95≤X＜107为B等级，83≤X＜95为C等级，X＜83为D等级，所以该同学的考试成绩等级为B. 14.(17分)某公司建有1 000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝376，σ2＝12 100，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在[266，596)内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”. (1)若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，求实数a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1 000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由正态分布的对称性可知，若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 当2a－1≥376，即a≥时， 因为P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 所以有376－a≤2a－1－376，得a≥251； 当2a－1＜376， 即a＜时，要使P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 则有a－376≥376－(2a－1)，解得a≥251(舍去). 综上，实数a的取值范围为[251，＋∞). (2)因为μ＝376，σ＝110， 所以P(X≥596)＝P(X≥μ＋2σ)≈－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.022 75， P(266≤X＜596)＝P(μ－σ≤X＜μ＋2σ) ＝P(μ－σ≤X＜μ＋σ)＋[P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)] ≈0.682 7＋(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6， 所以A级群有1 000×0.022 8≈23个，B级群有1 000×0.818 6≈819个， C级群有1 000－23－819＝158个， 所以，公司大约需要准备奖金23×1 000＋819×500＋158×200＝464 100元. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，随机变量ξ服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若＝D(ξ)，则n＝(　　) A.5 B.8 C.9 D.14 答案：B 解析：由ξ的分布密度曲线知μ＝1，σ＝，所以D(ξ)＝σ2＝，根据展开式的通项公式可得，ak＝2k，k＝0，1，2，…，n，则＝＝·＝，解得n＝8.故选B. 16.现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，测量结果的误差X～N(0，)，要控制｜X｜≥的概率不大于0.002 7，至少要测量　　　　次. (参考数据：P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3) 答案：72 解析：因为X～N(0，)，所以μ＝0，σ＝，依题意，得P(｜X｜≥)≤0.002 7，则P(｜X｜＜)≥1－0.002 7＝0.997 3，即P(－＜X＜)≥0.997 3，因为μ＝0，所以P(－3σ≤X≤3σ)＝0.997 3，所以3σ≤，所以≤，解得n≥72，所以至少要测量的次数为72次. 学生用书⬇第68页 学科网（北京）股份有限公司 $