课时分层评价14 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价14　离散型随机变量的方差 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　) A.8 B.15 C.16 D.32 答案：C 解析：＝＝＝2＝2×8＝16.故选C. 2.若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件.故选B. 3.随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得E(X)＝0×＋p＋2q＝1，＋p＋q＝1，解得p＝，q＝，所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.故选B. 4.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 P a b 则随机变量X的方差D(X)的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案：A 解析：依题意，得0≤a≤1，0≤b≤1，a＋b＝1，E(X)＝a＋2b＝1＋b，则D(X)＝[1－(1＋b)]2×a＋[2－(1＋b)]2×b＝－b2＋b，当b＝，D(X)有最大值为.故选A. 5.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1，2，3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为D(X)，则D(2X－1)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，得X的可能取值为1，2，3，4，6，9.其分布列为 X 1 2 3 4 6 9 P 所以E(X)＝＋＋＋＋＋＝4，D(X)＝(Xi－E(X))2·Pi＝，所以D(2X－1)＝22×＝.故选C. 6.(多选)已知随机变量 X 的分布列为 X －1 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是(　　) A.D(bX＋1)＝D(X) B.P(｜X｜＝1)＝0.5 C.若E(aX)＝0.08，则a＝0.1 D.a－c可能等于0.1 答案：ABD 解析：依题意，知a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5，对于A，D(X＋1)＝D(X)，故A正确；对于B，P(｜X｜＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，故B正确；对于C，E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，故C错误；对于D，当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，故D正确.故选ABD. 7.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率p＝0.3，用随机变量X表示他一次射门的命中次数，则D(X)＝　　　　. 答案：0.21 解析：依题意知，一次射门命中次数为0或1，P(X＝0)＝1－0.3＝0.7，P(X＝1)＝0.3，因此E(X)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，E(X2)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝0.3－0.32＝0.21. 8.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，又已知E(X)＝，D(X)＝，则的值为　　　　. 答案：1 解析：因为＋＝1，所以随机变量x的值只能为x1，x2，所以＝1. 9.已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 a 2a 0.4 则σ(5X＋1)＝　　　　. 答案： 解析：由0.1＋0.2＋a＋2a＋0.4＝1，得a＝0.1，所以E(X)＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＝0.6，所以D(X)＝(－2－0.6)2×0.1＋(－1－0.6)2×0.2＋(0－0.6)2×0.1＋(1－0.6)2×0.2＋(2－0.6)2×0.4＝2.04，所以D(5X＋1)＝25D(X)＝51，所以σ(5X＋1)＝＝. 10.(13分)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b. (1)求ξ，η的分布列； (2)请根据射击环数的均值及方差来分析甲、乙的射击技术. 解：(1)依题意，得2a＋0.2＋a＋0.2＝1，解得a＝0.2. 又0.3＋0.3＋2b＝1，解得b＝0.2. 所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.4 0.2 0.2 0.2 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得E(ξ)＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2＝8.8， D(ξ)＝(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2＝1.36； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，但成绩没有乙稳定. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 P a b 则“E(X)＝”是“D(X)＝”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：依题意，知a＋b＝1，若E(X)＝，则a＋2b＝，得a＝，b＝，D(X)＝(－1)2×＋(－2)2×＝，故充分性满足；若D(X)＝，则(a＋2b－1)2a＋(a＋2b－2)2b＝ab2＋b(b－1)2＝－b2＋b＝，解得b＝或b＝.当b＝时，a＝，此时E(X)＝1×＋2×＝，当b＝时，a＝，此时E(X)＝1×＋2×＝，则E(X)＝或E(X)＝，故必要性不满足.故选A. 12.(多选)某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元).其分布列分别为 X －2 8 P 0.7 0.3 Y －3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75％，下面分析合理的是(　　) A.投资方案一一定比存入银行收益大 B.投资方案二可能比存入银行收益小 C.如果想多赚又不想冒风险就选择方案一 D.如果想多赚又不怕风险就选择方案二 答案：BD 解析：由均值和方差的计算公式，得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1(万元)，E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5(万元)，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.由于同期银行利率为1.75％，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75％＝0.175(万元).从均值收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险，均有可能赔钱；故A错误，B正确；方案一的均值收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二.所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行，故C错误；如果想多赚又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二，故D正确.故选BD. 13.已知x，y，z∈N*，且x＋y＋z＝6，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)＝　　　　. 答案： 解析：x，y，z∈N*，且x＋y＋z＝6，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板，故共有＝10种情况.依题意，知X的可能取值为1，2，其中X＝2时，只有三个数为2，2，2，故P(X＝2)＝，则P(X＝1)＝，所以E(X)＝1×＋2×＝，D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＝. 14.(17分)某公司计划在2025年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30％，也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50％，可能损失30％，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. (1)针对以上两个投资项目，请你为公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该公司按照(1)中选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻两番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解：(1)若投资项目一，设获利为ξ1万元， 则ξ1的分布列为 ξ1 60 －30 P 所以E(ξ1)＝60×＋(－30)×＝40， 若投资项目二，设获利为ξ2万元， 则ξ2的分布列为 ξ2 100 0 －60 P 所以E(ξ2)＝100×＋0×＋(－60)×＝40， 所以E(ξ1)＝E(ξ2)， D(ξ1)＝(60－40)2×＋(－30－40)2×＝1 400， D(ξ2)＝(100－40)2×＋(0－40)2×＋(－60－40)2×＝5 600， 所以D(ξ1)＜D(ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该公司选择项目一进行投资. (2)假设n年后总资产可以翻两番，依题意，200×(1＋)n＝800，即1.2n＝4，两边取对数，得n·lg 1.2＝lg 4，n＝≈7.610 6，2 025＋7＝2 032，所以大约在2032年年底总资产可以翻两番. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)已知随机变量ξ的分布列为 ξ a b P b a 则下列说法不正确的是(　　) A.∀a，b∈(0，1)，E(ξ)≤ B.∀a，b∈(0，1)，D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2 C.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)＞ D.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)＞E(ξ) 答案：C 解析：依题意，知a＋b＝1，a，b∈(0，1)，对于A，E(ξ)＝ab＋ba＝2ab≤2()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；对于B，一方面D(ξ)＝(a－2ab)2·b＋(b－2ab)2·a＝ab－4(ab)2，另一方面E(ξ2)＝a2b＋b2a＝ab(a＋b)＝ab，所以E(ξ2)－[E(ξ)]2＝ab－(2ab)2＝D(ξ)，故B正确；对于C，D(ξ)＝ab－4(ab)2＝－4(ab－)2＋≤，故C错误；对于D，由D(ξ)－E(ξ)＝ab－4(ab)2－ab＝ab－4(ab)2＞0得ab＜，满足条件的a，b存在，故D正确.故选C. 16.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示. 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为　　　　. 答案：9.8 解析：由已知条件和概率的加法公式知，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8. 学生用书⬇第51页 学科网（北京）股份有限公司 $