课时分层评价14 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价14　离散型随机变量的方差

(时间：60分钟　满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9题，每小题5分，共45分)

1.若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　)

A.8 B.15 

C.16 D.32

答案：C

解析：＝＝＝2＝2×8＝16.故选C.

2.若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件.故选B.

3.随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝(　　)

A. B. 

C. D.1

答案：B

解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得E(X)＝0×＋p＋2q＝1，＋p＋q＝1，解得p＝，q＝，所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.故选B.

4.已知随机变量X的分布列为

则随机变量X的方差D(X)的最大值为(　　)

A. B. 

C.1 D.2

答案：A

解析：依题意，得0≤a≤1，0≤b≤1，a＋b＝1，E(X)＝a＋2b＝1＋b，则D(X)＝[1－(1＋b)]2×a＋[2－(1＋b)]2×b＝－b2＋b，当b＝，D(X)有最大值为.故选A.

5.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1，2，3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为D(X)，则D(2X－1)＝(　　)

A. B. 

C. D.

答案：C

解析：依题意，得X的可能取值为1，2，3，4，6，9.其分布列为

所以E(X)＝＋＋＋＋＋＝4，D(X)＝(Xi－E(X))2·Pi＝，所以D(2X－1)＝22×＝.故选C.

6.(多选)已知随机变量 X 的分布列为

且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是(　　)

A.D(bX＋1)＝D(X) B.P(｜X｜＝1)＝0.5

C.若E(aX)＝0.08，则a＝0.1 D.a－c可能等于0.1

答案：ABD

解析：依题意，知a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5，对于A，D(X＋1)＝D(X)，故A正确；对于B，P(｜X｜＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，故B正确；对于C，E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，故C错误；对于D，当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，故D正确.故选ABD.

7.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率p＝0.3，用随机变量X表示他一次射门的命中次数，则D(X)＝　　　　.

答案：0.21

解析：依题意知，一次射门命中次数为0或1，P(X＝0)＝1－0.3＝0.7，P(X＝1)＝0.3，因此E(X)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，E(X2)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝0.3－0.32＝0.21.

8.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，又已知E(X)＝，D(X)＝，则的值为　　　　.

答案：1

解析：因为＋＝1，所以随机变量x的值只能为x1，x2，所以＝1.

9.已知随机变量X的分布列为

则σ(5X＋1)＝　　　　.

答案：