课时分层评价13 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价13　离散型随机变量的均值 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.若X是离散型随机变量，则E[X－E(X)]＝(　　) A.E(X) B.2E(X) C.0 D.[E(X)]2 答案：C 解析：E[X－E(X)]＝E(X)－E(X)＝0. 故选C. 2.随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b 若E(X)＝，则a的值是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：依题意，知E(X)＝－1×a＋0×＋b＝①，a＋＋b＝1②，联立① ② ，解得a＝，b＝.故选A. 3.抛掷2枚硬币，反面朝上的个数为X，则X的均值是(　　) A. B.1 C. D. 答案：B 解析：依题意，知X的可能取值为0，1，2.而P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.则E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.故选B. 4.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海，要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元 答案：B 解析：出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元).故选B. 5.某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则均值E(X)＝(　　) A. B.1 C. D. 答案：C 解析：依题意，知X＝1，2，3.所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选C. 6.(多选)＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(　　) X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 A.P(X＝2)的值最大 B.P(X＝0)＜P(X＝1) C.E(X)随着p的增大而减小 D.E(X)随着p的增大而增大 答案：BD 解析：由＜p＜1，取p＝，则P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，故A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p(1－p)＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，故B正确；E(X)＝(1－p)＋2p2＝2(p－)2＋，因为＜p＜1，所以E(X)随着p的增大而增大，故C错误，D正确.故选BD. 7.某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记X表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有X＝则E(X)＝　　　　. 答案： 解析：设模拟手术失败的概率为x，即P(X＝0)＝x，则成功的概率为P(X＝1)＝9x，因为P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，解得P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，则E(X)＝1×＋0×＝. 8.(双空题)设随机变量ξ的分布列如下，其中a1，a2，a3成等差数列，且a1，a2，a3∈(0，1). ξ 0 1 2 P a1 a2 a3 则a2＝　　　　；符合条件的E(ξ)的一个值为　　　　. 答案：　1(答案不唯一) 解析：依题意，知所以a2＝，所以E(ξ)＝0×a1＋1×a2＋2×a3＝＋2a3，a3∈(0，)，所以E(ξ)∈(，)，符合条件的E(ξ)的一个值为1. 9.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立.在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的均值E(ξ)的值为　　　　. 答案： 解析：ξ的可能取值为0，2，3.所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为 ξ 0 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＝. 10.(13分)由0，1，2，3这四个数组成无重复数字的四位数中. (1)求两个奇数相邻的四位数的个数(结果用数字作答)； (2)记夹在两个奇数之间的偶数个数为X，求X的分布列与均值. 解：(1)两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况： ①0在个位上时有＝4个四位数，②0在十位上时有＝2个四位数， ③0在百位上时有＝2个四位数， 所以满足条件的四位数的个数共有4＋2＋2＝8个. (2)由题意，知夹在两个奇数之间的偶数个数X的可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，且对称轴在y轴的右侧，其中a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}.在这些抛物线中，记随机变量X为｜a＋b｜的取值，则X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：对称轴在y轴的右侧，即a与b异号，且开口向下，所以a＜0，b＞0，所以a可取－2，－1，b可取1，2，这样的抛物线有2×2×5＝20条；X可取的值有0，1，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.故E(X)＝0×＋1×＝.故选A. 12.(多选)随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只小狗喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是(　　) A.随机变量X的取值为1，2，3 B.P(X＝2)＝ C.P(X＝3)＝ D.E(X)＝ 答案：CD 解析：依题意，得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故B错误，C正确；又P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝＝，所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.故D正确.故选CD. 13.(双空题)为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为　　　　，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则E(X)＝　　　　. 答案：　 解析：三位同学选择社团的总数为33＝27种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是＝6种，所以三位同学参加的社团各不相同的概率为＝；依题意，知X的所有可能取值为1，2，3.则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.则E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 14.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表： 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益. (2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由. 解：(1)设下周一无雨的概率为p. 依题意，知p2＝0.36，p＝0.6. 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5. 所以P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16. 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4. 所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a， E(Y)－E(X)＝1.6－a. 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，外聘工人或不外聘工人均可以. 15.(5分)如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的均值是(　　) A. B.2 C. D. 答案：D 解析：设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的可能取值为1，2，3，4.所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D. 16.(17分)(创新题)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x的最大整数，［］的值为随机变量X. (1)求在X＞0的条件下，X＝的概率； (2)求X的分布列及其均值. 解：(1)记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间为{(a，b)｜1≤a≤6，1≤b≤6，a，b∈N}，样本空间容量为36， 设事件A为：X＞0，事件B为：X＝， 则A为{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为21， AB＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(4，2)，(6，2)，(3，3)，(6，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为14， 根据条件概率得P(B｜A)＝＝＝. (2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝. 所以其分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 学生用书⬇第48页 学科网（北京）股份有限公司 $