第19章 二次根式单元复习（7大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

第19章 二次根式 知识点1：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”为二次根号，为被开方数。 2.有意义的条件：被开方数为非负数；若二次根式在分母上，还需满足被开方数大于0。 知识点2：二次根式的双重非负性 1.被开方数非负：； 2.二次根式本身非负：（）。 3.常见非负性结合形式：若，则。 知识点3：二次根式的性质 性质表达式 适用条件 结论说明 非负数的算术平方根的平方等于本身 为任意实数 任意实数平方的算术平方根等于其绝对值 ， 积的算术平方根等于算术平方根的积 ， 商的算术平方根等于算术平方根的商 知识点4：最简二次根式 1.定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式为最简二次根式。 2.化简步骤：①去分母（分母有理化）；②开尽方内的因数/因式；③整理成最简形式。 知识点5：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.核心特征：最简后被开方数一致，与根号外的系数无关。 知识点6：二次根式的运算 （1）加减法 1.步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）； 2.注意：非同类二次根式不能合并。 （2）乘除法 乘法：（，），系数相乘作为积的系数； 除法：（，），系数相除作为商的系数。 （3）混合运算 1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的； 2.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律均适用； 3.乘法公式：平方差公式、完全平方公式对二次根式同样适用。 知识点7：分母有理化 1.定义：通过分子、分母同乘一个式子，化去分母中根号的过程叫做分母有理化； 2.常见有理化因式：的有理化因式为；的有理化因式为。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解 1.核心知识点: 二次根式的概念；分式有意义的条件；不等式（组）的求解 2.解题方法技巧: 单二次根式：直接列被开方数求解； 二次根式在分母：列被开方数求解； 多个条件结合：列不等式组，取各解集的公共部分。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不等于零是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）和分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义． ∴， 解得：． 故选C． 【题型2】利用二次根式的双重非负性求值 1.核心知识点: 二次根式的双重非负性；绝对值、平方的非负性；非负数和为0的性质 2.解题方法技巧: 识别题目中的非负式（、、等）； 根据“非负数的和为0，则每个非负数均为0”列方程（组）求解字母值； 将字母值代入代数式计算最终结果。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·期末）若为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，若平方根等于零，则被开方数必须为零． 【详解】由，根据平方根的性质，得，解得． 故答案为：4． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． 根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式题2-3】.（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 【题型3】最简二次根式的判断与化简 1.核心知识点: 最简二次根式的定义；二次根式的性质 2.解题方法技巧: 判断：紧扣“无分母、无开得尽方的因数/因式”两个条件； 化简：①被开方数有分母，利用商的性质去分母； ②被开方数有开得尽方的因数，利用积的性质拆分开方。 【例题3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故不属于最简二次根式，不符合题意； B、属于最简二次根式，符合题意； C、，故不属于最简二次根式，不符合题意； D、，故不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性． 【详解】解：； 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的性质化简即可． （1）先逆用二次根式乘法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先逆用二次根式除法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （3）先将被开方数化成分数，再用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （5）先利用二次根式乘法法则变形，再利用二次根式的性质化简即可； （6）先说明，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：∵，且， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4】同类二次根式的识别与简单合并 1.核心知识点: 同类二次根式的定义；二次根式的加减法法则 2.解题方法技巧: 识别：先将所有二次根式化为最简，再比较被开方数是否相同； 合并：同类二次根式合并时，根号部分不变，系数相加减，结果化为最简。 【例题4】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判断，先将各选项中的代数式化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C．，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意； D．，不是二次根式，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的概念，能合并的二次根式必须是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，因此需将各选项的二次根式化为最简形式，再判断其被开方数是否与的被开方数一致． 【详解】解：A、，它是整数，与不是同类二次根式，不能合并； B、是最简二次根式，被开方数为6，与的被开方数2不同，不能合并； C、，化简后被开方数为2，与是同类二次根式，能合并； D、，化简后被开方数为5，与的被开方数2不同，不能合并； 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：6． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 . 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得. 由与是同类二次根式，得到， 整理得 ∴ 解方程组得， 因此， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型5】结合数轴化简二次根式 1.核心知识点: ；数轴上数的大小关系；绝对值的化简 2.解题方法技巧: 根据数轴确定字母的正负及字母间的大小关系； 判断根号内平方式的底数的正负，将二次根式转化为绝对值； 按绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项化简。 【例题5】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，，则，，再把化为，然后去绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南新乡·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】b 【分析】本题考查二次根式的性质、数轴，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键． 先由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简并代值求解即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：，，， 故． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴的运用和二次根式的化简，掌握好二次根式的性质是关键． 根据数轴判断的大小，并化简代数式． 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 【题型6】二次根式的混合运算 1.核心知识点: 二次根式的四则运算；运算顺序；乘法公式的应用 2.解题方法技巧: 严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”的运算顺序； 遇到乘法公式结构（如平方差、完全平方），优先用公式简化计算； 每一步运算后，及时将结果化为最简，方便后续计算。 【例题6】.（2025九年级下·辽宁·专题练习）； 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 原式先计算，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东河源·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的化简方法、同类二次根式的合并规则以及平方差公式的应用． （1）需先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式得到结果； （2）先利用平方差公式计算乘法项，再根据二次根式的除法法则计算除法项，最后将两部分结果相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：      ． （2）解： ． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘除，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7】分母有理化的灵活应用 1.核心知识点: 分母有理化的定义；有理化因式的确定；分式的基本性质 2.解题方法技巧: 单根号分母：分子分母同乘该根号，消去分母根号； 含和/差的根号分母：分子分母同乘其有理化因式，利用平方差公式消去分母根号； 化简后注意约分，保证结果最简。 【例题7】.（25-26八年级上·上海·周测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂，熟练计算是解题的关键． 先按照完全平方公式，分母有理化，零指数幂计算，再计算加减即可． 【详解】解： ， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北承德·期末）（1）计算： （2）分母有理化： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查二次根式的加减混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）分子分母同时乘以，然后分母利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的计算，然后将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，最后代入并分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型8】二次根式的化简求值 1.核心知识点: 二次根式的化简与运算；乘法公式；整体思想 2.解题方法技巧: 直接代入：先化简已知条件和所求代数式，再将字母值直接代入计算，结果化为最简； 整体代入：分析已知与所求的结构，构造、、等整体并求其值，将所求代数式变形为含整体的形式，代入计算简化运算。 【例题8】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入求的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，得 且， ． 当时，， ． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化. 根据题意可得，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，解不等式组求得的值，将的值代回等式求得的值，继而可得、的正负，最后化简二次根式，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得，， ， ， ，． 故原式 ． 当时，原式． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题 1.核心知识点: 二次根式的运算；长方形、正方形的周长/面积公式 2.解题方法技巧: 根据几何图形的公式列出含二次根式的算式； 按照二次根式的运算规则计算； 结果结合实际问题保留合适的形式（如最简二次根式）。 【例题9】.（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． （1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，用三张边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一张面积为的长方形纸片丁紧密拼接形成一个大长方形，已知丙纸片的面积为2． (1)则甲纸片的边长为 ． (2)求正方形乙的边长； (3)求正方形甲的面积； (4)求正方形甲的面积是长方形丁的面积的多少倍． 【答案】(1) (2)， (3) (4)倍 【分析】本题考查了二次根式四则运算的应用，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．（1）先根据正方形丙的面积求出边长，再结合丁的面积表示出长，则可以进一步表示出乙的边长和甲的边长，即可求解；（2）通过（1）中的求解过程乙的边长则已求解；（3）知道甲的边长，根据正方形的面积公式甲的面积即可获解；（4）用甲的面积除以丁的面积计算求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵正方形丙纸片的面积为2， ∴丙纸片的边长，即长方形丁纸片的宽， ∵长方形丁纸片的面积为， ∴长方形丁纸片的长， ∴正方形乙纸片的边长为， ∴正方形甲纸片的边长为， 故答案为：； （2）解：由（1）中的解答过程可知正方形乙纸片的边长为； （3）解：∵正方形甲纸片的边长为， ∴正方形甲的面积为； （4）解：， ∴正方形甲的面积是长方形丁的面积的倍． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①9，，；②不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意，由两个正方形的面积，得到两正方形的边长，从而得到长方形的长和宽，即可得到面积； ②根据题意，设长方形的长为，宽为，根据面积，列出等式，求出x的值，得到长方形的长和宽，与原长方形相比较，即可； （2）根据左右两个图形的面积相等，构成等量关系，化简得到结果． 【详解】（1）解：（1）①设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵两正方形A和B，它们的面积分别为和，且，， ∴（），（）， ∴长方形的宽为（），长方形的长为（）， ∴长方形的面积为（）， ∴阴影部分面积为：（）， 故答案为：，，； ②不能裁出符合要求的长方形，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∵长方形的面积为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴， 答：不能裁出符合要求的长方形； （2）如图2， ∵两正方形和面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴图2中右边的正方形的面积为， ∵图2中左边图形面积=右边正方形面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了整式运算，二次根式运算，涉及到正方形、长方形的面积，熟练掌握二次根式运算是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型10】二次根式的比较大小 1.核心知识点: 二次根式的性质；实数的大小比较；倒数法、平方法 2.解题方法技巧: 平方法：对于正的二次根式，平方后比较有理数的大小，平方大的原数大； 倒数法：对于形如的式子，先求倒数，倒数大的原数小； 作差法：两式相减，判断差的正负，差正则被减数大，差负则减数大。 【例题10】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7 ．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题10-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）解： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 【变式题10-2】.（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【分析】本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键， （1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案： （2）利用分母有理化计算即可得到答案； （3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：， 整理得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴， ∴； 令，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：<，>． 【题型11】二次根式的新定义运算题 1.核心知识点: 新定义运算；二次根式的运算；阅读理解能力 2.解题方法技巧: 认真阅读新定义的运算规则，明确运算符号的含义； 将新定义运算转化为常规的二次根式运算； 严格按照新规则的条件和步骤计算，注意分类讨论（若有）。 【例题11】.（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【答案】(1)是； (2)是可爱三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的定义，二次根式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中所给的可爱三角形的定义、等边三角形的定义判断即可； （）根据可爱三角形的定义和二次根式的性质化简即可判断． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴， ∴等边三角形一定是可爱三角形， 故答案为：是； （2）解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是可爱三角形． 【变式题11-1】.（24-25八年级下·云南大理·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)______，的小数部分为______； (2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值． 【答案】(1)3， (2)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算． （1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：， ∵，， ∴， ∴，． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据定义的新运算法则，分别计算和的值，再进行相减。 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， 则 ． 故选：A． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算的算式举例如下： ①；②；③；④；⑤；⑥． (1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则： 两数进行运算时，_______；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得_______． (2)【理解运用】计算：． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；这个数的绝对值 (2) 【分析】本题考查定义新运算，解题的关键是根据示例归纳出新运算的法则，并准确运用法则进行计算． （1）根据题意得到新运算的规律直接求解即可得到答案； （2）根据（1）的规律代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，和任何数进行⊗运算，或任何数和进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；这个数的绝对值； （2）解：原式 ． 【题型12】二次根式的规律探究题 1.核心知识点: 二次根式的运算；规律探究；归纳推理 2.解题方法技巧: 计算前3~4个式子的结果，观察结果与序号的关系； 归纳出通用的规律表达式，并用序号验证规律的正确性； 根据规律求解后续式子的值或第个式子的表达式。 【例题12】.（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 【变式题12-1】.（24-25八年级下·安徽六安·月考）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据前面4个等式的特点写出第5个等式即可； （2）直接利用已知运算规律归纳得出即可； （3）利用规律化简，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案即可． 【详解】解：（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式： （2）由（1）归纳可得： （3） ． 【变式题12-2】.（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：　　　；并验证该等式的正确性． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据 计算即可； （2）类比可得，根据分式及二次根式的运算法则即可验证； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：． 验证： ， 故该等式成立． （3）解：． 易错点 1.忽略二次根式有意义的条件，求解时未考虑被开方数非负，尤其忽略二次根式在分母时被开方数需大于0的情况。 2.误用，未考虑为负数的情况，忘记先将二次根式转化为绝对值再化简。 3.合并二次根式时，未先化为最简二次根式，直接将非同类二次根式合并，导致运算错误。 4.分母有理化时，选错有理化因式，或分子分母同乘后未利用乘法公式化简，运算步骤繁琐出错。 5.二次根式混合运算时，打乱运算顺序，或忽略乘法公式的应用，导致计算量增大且结果错误。 重点 1.二次根式有意义的条件求解，以及利用双重非负性解决非负数和为0的求值问题。 2.二次根式的核心性质（、、积和商的算术平方根）的灵活应用。 3.最简二次根式的判断与化简，同类二次根式的识别与合并，这是二次根式运算的基础。 4.二次根式的混合运算，包括四则运算、乘法公式的应用，掌握正确的运算顺序和简便算法。 5.分母有理化的方法，能根据分母的形式选择合适的有理化因式，化去分母中的根号。 难点 1.结合数轴化简含二次根式的代数式，需准确判断数轴上字母的取值范围，完成二次根式到绝对值再到整式的转化。 2.二次根式的化简求值之整体代入法，需要具备构造整体、变形代数式的能力，将复杂求值问题简化。 3.二次根式的规律探究和新定义运算，需要较强的阅读理解、归纳推理和知识迁移能力。 4.二次根式的比较大小，需根据式子的特征选择合适的方法（平方法、倒数法、作差法），灵活运用二次根式的性质。 5.含分类讨论的二次根式综合题，需准确识别分类条件，做到分类不重不漏，逐一分析求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、完全平方公式、幂的乘方以及二次根式的乘方运算．逐一分析每个选项，根据相应的运算法则判断其正确性． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐一分析各选项中的数是否为无理数即可． 【详解】解：A选项，是分数，属于有理数，不符合题意； B选项，，是整数，属于有理数，不符合题意； C选项，是无限循环小数，属于有理数，不符合题意； D选项，，是无限不循环小数，则是无理数． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可． 【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意； B、，被开方数为，与不同，不符合题意； C、，被开方数为，相同，符合题意； D、，被开方数为，与不同，不符合题意； 故选： C． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义及二次根式的化简，解决本题的关键是明确算术平方根为非负数． 根据算术平方根的定义以及二次根式的化简方法逐一判断选项即可． 【详解】解：∵算术平方根的结果为非负数， ∴，故A错误． ∵，故B错误． ∵，故C错误． ∵，故D正确． 故选：D． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到的取值范围． 【详解】解：有意义， 可得不等式组：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ． 故选：C． 二、填空题 6．（2025九年级·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川眉山·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练二次根式有意义的条件：被开方数非负． 二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，再求解，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 代入原式，， 因此， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由指数运算法则将原式化为，再利用平方差公式化简中括号，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查整式的除法运算、二次根式的混合运算，正确求解是解答的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （2）利用平方差公式进行二次根式的运算，进而可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 13．（25-26八年级上·福建·期末）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)4 (3)证明见解析 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的混合运算，理解新定义及熟练掌握完全平方公式是关键． （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义，列方程计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答． 【详解】（1）解： 是完整根式的完整平方根； （2）解：是的完整平方根， ， ， 是正整数 ， ． （3）解：是的完整平方根， ， ， ， 是完全平方数． 14．（24-25九年级上·山西·月考）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 15．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解题的关键． （）仿照例题中求解过程解答即可； （）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式 知识点1：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”为二次根号，为被开方数。 2.有意义的条件：被开方数为非负数；若二次根式在分母上，还需满足被开方数大于0。 知识点2：二次根式的双重非负性 1.被开方数非负：； 2.二次根式本身非负：（）。 3.常见非负性结合形式：若，则。 知识点3：二次根式的性质 性质表达式 适用条件 结论说明 非负数的算术平方根的平方等于本身 为任意实数 任意实数平方的算术平方根等于其绝对值 ， 积的算术平方根等于算术平方根的积 ， 商的算术平方根等于算术平方根的商 知识点4：最简二次根式 1.定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式为最简二次根式。 2.化简步骤：①去分母（分母有理化）；②开尽方内的因数/因式；③整理成最简形式。 知识点5：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.核心特征：最简后被开方数一致，与根号外的系数无关。 知识点6：二次根式的运算 （1）加减法 1.步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）； 2.注意：非同类二次根式不能合并。 （2）乘除法 乘法：（，），系数相乘作为积的系数； 除法：（，），系数相除作为商的系数。 （3）混合运算 1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的； 2.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律均适用； 3.乘法公式：平方差公式、完全平方公式对二次根式同样适用。 知识点7：分母有理化 1.定义：通过分子、分母同乘一个式子，化去分母中根号的过程叫做分母有理化； 2.常见有理化因式：的有理化因式为；的有理化因式为。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解 1.核心知识点: 二次根式的概念；分式有意义的条件；不等式（组）的求解 2.解题方法技巧: 单二次根式：直接列被开方数求解； 二次根式在分母：列被开方数求解； 多个条件结合：列不等式组，取各解集的公共部分。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用二次根式的双重非负性求值 1.核心知识点: 二次根式的双重非负性；绝对值、平方的非负性；非负数和为0的性质 2.解题方法技巧: 识别题目中的非负式（、、等）； 根据“非负数的和为0，则每个非负数均为0”列方程（组）求解字母值； 将字母值代入代数式计算最终结果。 【例题2】.（25-26八年级上·四川成都·期末）若为实数，且满足，则的值为 ． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 【变式题2-3】.（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 【题型3】最简二次根式的判断与化简 1.核心知识点: 最简二次根式的定义；二次根式的性质 2.解题方法技巧: 判断：紧扣“无分母、无开得尽方的因数/因式”两个条件； 化简：①被开方数有分母，利用商的性质去分母； ②被开方数有开得尽方的因数，利用积的性质拆分开方。 【例题3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【题型4】同类二次根式的识别与简单合并 1.核心知识点: 同类二次根式的定义；二次根式的加减法法则 2.解题方法技巧: 识别：先将所有二次根式化为最简，再比较被开方数是否相同； 合并：同类二次根式合并时，根号部分不变，系数相加减，结果化为最简。 【例题4】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 . 【培优高频题型】 【题型5】结合数轴化简二次根式 1.核心知识点: ；数轴上数的大小关系；绝对值的化简 2.解题方法技巧: 根据数轴确定字母的正负及字母间的大小关系； 判断根号内平方式的底数的正负，将二次根式转化为绝对值； 按绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项化简。 【例题5】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南新乡·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：． 【题型6】二次根式的混合运算 1.核心知识点: 二次根式的四则运算；运算顺序；乘法公式的应用 2.解题方法技巧: 严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”的运算顺序； 遇到乘法公式结构（如平方差、完全平方），优先用公式简化计算； 每一步运算后，及时将结果化为最简，方便后续计算。 【例题6】.（2025九年级下·辽宁·专题练习）； 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东河源·期末）计算： (1) (2) 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）计算： (1) (2) 【变式题6-3】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）计算： (1) (2) 【题型7】分母有理化的灵活应用 1.核心知识点: 分母有理化的定义；有理化因式的确定；分式的基本性质 2.解题方法技巧: 单根号分母：分子分母同乘该根号，消去分母根号； 含和/差的根号分母：分子分母同乘其有理化因式，利用平方差公式消去分母根号； 化简后注意约分，保证结果最简。 【例题7】.（25-26八年级上·上海·周测）计算：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北承德·期末）（1）计算： （2）分母有理化： 【变式题7-2】.（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是 ． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【题型8】二次根式的化简求值 1.核心知识点: 二次根式的化简与运算；乘法公式；整体思想 2.解题方法技巧: 直接代入：先化简已知条件和所求代数式，再将字母值直接代入计算，结果化为最简； 整体代入：分析已知与所求的结构，构造、、等整体并求其值，将所求代数式变形为含整体的形式，代入计算简化运算。 【例题8】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题 1.核心知识点: 二次根式的运算；长方形、正方形的周长/面积公式 2.解题方法技巧: 根据几何图形的公式列出含二次根式的算式； 按照二次根式的运算规则计算； 结果结合实际问题保留合适的形式（如最简二次根式）。 【例题9】.（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，用三张边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一张面积为的长方形纸片丁紧密拼接形成一个大长方形，已知丙纸片的面积为2． (1)则甲纸片的边长为 ． (2)求正方形乙的边长； (3)求正方形甲的面积； (4)求正方形甲的面积是长方形丁的面积的多少倍． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 【压轴素养题型】 【题型10】二次根式的比较大小 1.核心知识点: 二次根式的性质；实数的大小比较；倒数法、平方法 2.解题方法技巧: 平方法：对于正的二次根式，平方后比较有理数的大小，平方大的原数大； 倒数法：对于形如的式子，先求倒数，倒数大的原数小； 作差法：两式相减，判断差的正负，差正则被减数大，差负则减数大。 【例题10】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7 ．（选填“＞”或“＜”） 【变式题10-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【题型11】二次根式的新定义运算题 1.核心知识点: 新定义运算；二次根式的运算；阅读理解能力 2.解题方法技巧: 认真阅读新定义的运算规则，明确运算符号的含义； 将新定义运算转化为常规的二次根式运算； 严格按照新规则的条件和步骤计算，注意分类讨论（若有）。 【例题11】.（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【变式题11-1】.（24-25八年级下·云南大理·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)______，的小数部分为______； (2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算的算式举例如下： ①；②；③；④；⑤；⑥． (1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则： 两数进行运算时，_______；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得_______． (2)【理解运用】计算：． 【题型12】二次根式的规律探究题 1.核心知识点: 二次根式的运算；规律探究；归纳推理 2.解题方法技巧: 计算前3~4个式子的结果，观察结果与序号的关系； 归纳出通用的规律表达式，并用序号验证规律的正确性； 根据规律求解后续式子的值或第个式子的表达式。 【例题12】.（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【变式题12-1】.（24-25八年级下·安徽六安·月考）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算：． 【变式题12-2】.（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：　　　；并验证该等式的正确性． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 易错点 1.忽略二次根式有意义的条件，求解时未考虑被开方数非负，尤其忽略二次根式在分母时被开方数需大于0的情况。 2.误用，未考虑为负数的情况，忘记先将二次根式转化为绝对值再化简。 3.合并二次根式时，未先化为最简二次根式，直接将非同类二次根式合并，导致运算错误。 4.分母有理化时，选错有理化因式，或分子分母同乘后未利用乘法公式化简，运算步骤繁琐出错。 5.二次根式混合运算时，打乱运算顺序，或忽略乘法公式的应用，导致计算量增大且结果错误。 重点 1.二次根式有意义的条件求解，以及利用双重非负性解决非负数和为0的求值问题。 2.二次根式的核心性质（、、积和商的算术平方根）的灵活应用。 3.最简二次根式的判断与化简，同类二次根式的识别与合并，这是二次根式运算的基础。 4.二次根式的混合运算，包括四则运算、乘法公式的应用，掌握正确的运算顺序和简便算法。 5.分母有理化的方法，能根据分母的形式选择合适的有理化因式，化去分母中的根号。 难点 1.结合数轴化简含二次根式的代数式，需准确判断数轴上字母的取值范围，完成二次根式到绝对值再到整式的转化。 2.二次根式的化简求值之整体代入法，需要具备构造整体、变形代数式的能力，将复杂求值问题简化。 3.二次根式的规律探究和新定义运算，需要较强的阅读理解、归纳推理和知识迁移能力。 4.二次根式的比较大小，需根据式子的特征选择合适的方法（平方法、倒数法、作差法），灵活运用二次根式的性质。 5.含分类讨论的二次根式综合题，需准确识别分类条件，做到分类不重不漏，逐一分析求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 二、填空题 6．（2025九年级·全国·专题练习）计算： ． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·四川眉山·期末）若，则 ． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算： ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： (1)； (2) 12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 13．（25-26八年级上·福建·期末）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 14．（24-25九年级上·山西·月考）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 15．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $