课时分层评价30 利用导数研究函数的零点问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价30　利用导数研究函数的零点问题 (时间：60分钟　满分：95分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8，每小题5分，共40分) 1.设函数f(x)＝(x2－3)ex，则(　　) A.f(x)有极大值，且有最大值 B.f(x)有极小值，但无最小值 C.若方程f(x)＝a恰有一个实根，则a＞ D.若方程f(x)＝a恰有三个实根，则0＜a＜ 答案：D 解析：由题意f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)(x＋3)ex，所以当x＜－3或x＞1时，f'(x)＞0，当－3＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减.f(x)极大值＝f(－3)＝，f(x)极小值＝f(1)＝－2e，x＜－或x＞时，f(x)＞0，x→－∞时，f(x)→0，x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以f(1)也是最小值.f(x)无最大值.作出y＝f(x)的图象和直线y＝a，如图所示，当a＝－2e或a＞时，f(x)＝a有一个实根，当0＜a＜时，f(x)＝a有三个实根.故选D. 2.已知函数f＝x2－ln x＋在上有零点，则a的最小值是(　　) A.－ln 2 B.－2ln 2 C.ln 2－1 D.2ln 2－7 答案：D 解析：函数f＝x2－ln x＋上有零点，等价于关于x的方程x2－ln x＋(a－1)＝0在上有解，即a＝2ln x－2x2＋1在［，2］上有解.令h＝2ln x－2x2＋1，则h'＝－4x＝－.由h'(x)＜0，得＜x≤2；由h'＞0，得≤x＜.则h(x)在上单调递增，在上单调递减.因为h＝2ln－2×＋1＝－2ln 2，h＝2ln 2－2×22＋1＝2ln 2－7，所以h－h＝－4ln 2＞0，则h＝h＝2ln 2－7，即a的最小值为2ln 2－7.故选D. 3.(2025·福建宁德高二月考)已知y＝ln x与y＝ax2的图象有两个交点，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(0，) C.(0，) D.(，＋∞) 答案：C 解析：由题意得ln x－ax2＝0有两个不同的实根，则a＝，x＞0有两个不同的实根.设g(x)＝，则g'(x)＝.令g'(x)＞0，得0＜x＜，则g(x)在(0，)上单调递增，且g(1)＝0；令g'(x)＜0，得x＞，则g(x)在(，＋∞)上单调递减，且g(x)＞0.所以g(x)max＝g()＝，g(x)的图象如图所示.所以0＜a＜时，a＝有两个不同的实根，即y＝ln x与y＝ax2的图象有两个交点.故选C. 4.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋2x－a至少有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.［－1，］ B.［0，］ C.[－1，0]∪ D.(－∞，］ 答案：A 解析：令h(x)＝f(x)＋2x，当x＜0时，h(x)＝ln(－x)；当x≥0时，h(x)＝，求导得h'(x)＝，当0≤x＜2时，h'(x)＞0，当x＞2时，h'(x)＜0，故h(x)在[0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，h(0)＝－1，h(2)＝，作出h(x)的大致图象如图所示.由题意得函数y＝h(x)的图象和直线y＝a至少有两个交点，故实数a的取值范围是［－1，］.故选A. 5.(新定义)若函数f(x)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数f(x)和g(x)为“对偶函数”.已知f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，e－1) B.(e－1，＋∞) C. D. 答案：B 解析：因为f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，所以函数f(x)与g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以－f(x)＝g(x)，即ex－1＝ax＋xln x有两个不相等的实数解，则a＝有两个不相等的实数解.令h(x)＝，则h'(x)＝，所以当x∈(0，1)时，h'(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＞0，所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)在x＝1处取得极小值，且x→0时，h(x)→＋∞，x→＋∞时，h(x)→＋∞，又h(1)＝e－1，所以a＞e－1.故选B. 6.(多选)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应关系如表，f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则(　　) x －1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1 A.函数f(x)的极小值点有3个 B.函数f(x)在[0，2]上单调递减 C.若x∈[－1，t]，且f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D.当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 答案：BD 解析：由题图知，当－1≤x＜0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当0＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当2＜x＜4时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当4＜x≤5时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，作出函数f(x)的大致图象，如图所示： 可知函数f(x)只有1个极小值点，故A错误；函数f(x)在[0，2]上单调递减，故B正确；由图知当0＜t≤5时，f(x)的最大值为2，故t的最大值为5，故C错误；当1＜a＜2时，直线y＝a与函数f(x)的图象有4个交点，故函数y＝f(x)－a有4个零点，故D正确.故选BD. 7.已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为　　　　. 答案：1 解析：f'(x)＝4x3＋9，当x∈(－1，3)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有1个交点. 8.已知方程x2e1－x＝a有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(0，) 解析：方程x2e1－x＝a有三个不同的实数根，即函数y＝x2e1－x与y＝a的图象有三个不同的交点.令g(x)＝x2e1－x，则g'(x)＝(2－x)xe1－x.由g'(x)＝0，得x＝0或x＝2，所以当x＜0或x＞2时，g'(x)＜0，当0＜x＜2时，g'(x)＞0，所以函数g(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，所以函数g(x)的极小值为g(0)＝0，极大值为g(2)＝，且当x→－∞时，g(x)→＋∞，当x＞0时，g(x)＞0，当x→＋∞时，g(x)→0，如图，作出函数g(x)的大致图象.由图可知，当a∈(0，)时，函数y＝g(x)与y＝a的图象有三个不同的交点，即方程x2e1－x＝a有三个不同的实数根. 9.(13分)已知函数f(x)＝xex－1. (1)判断f(x)的单调性，并求f(x)的极值； (2)若函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)，求g(x)的零点个数. 解：(1)因为f'(x)＝ex－1(x＋1)，x∈R， 所以当x∈(－∞，－1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 所以f(x)的极小值为f(－1)＝－，无极大值. (2)当x→－∞时，f(x)→0；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，且f(0)＝0， 同时结合(1)，可得f(x)的图象为： 又g(x)＝f(x)－a的零点个数，即为y＝f(x)与y＝a的交点个数，由数形结合得： 当a∈(－∞，－)时，g(x)的零点个数为0； 当a∈(－，0)时，g(x)的零点个数为2； 当a∈[0，＋∞)∪时，g(x)的零点个数为1. (10、11，每小题5分，共10分) 10.(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A.f(2)＞f(3) B.函数f(x)的最大值为 C.若方程f(x)－m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为 D.若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则x1＋x2＞2 答案：ABD 解析：由题意，f'(x)＝，当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.对于A，f(2)＞f(3)，故A正确；对于B，f(x)的极大值，也是最大值为f(1)＝，故B正确；对于C，因为x→－∞时f(x)→－∞，即(－∞，1)上f(x)∈(－∞，)；x→＋∞时f(x)→0，即(1，＋∞)上f(x)∈(0，)；所以要使f(x)－m＝0恰有两个不等的实根，则0＜m＜，故C错误；对于D，由f(x1)＝f(x2) (x1≠x2)知：若0＜x1＜1＜x2，令F(x1)＝f(x1)－f(2－x1)＝－＝，0＜x1＜1，所以设g(x)＝xe2－x－(2－x)ex，0＜x＜1，则g'(x)＝＞0，所以g(x)在上单调递增，即g(x)＜g(1)＝0，故xe2－x＜(2－x)ex在(0，1)上恒成立，所以F(x1)＜0，即f(x1)＝f(x2)＜f(2－x1)，又2－x1＞1，x2＞1，由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，即x2＞2－x1，故x1＋x2＞2，故D正确.故选ABD. 11.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A.当a＞1时，f(x)有三个零点 B.当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 答案：AD 解析：由题可知，f'(x)＝6x(x－a).对于A，当a＞1时，由f'(x)＜0得0＜x＜a，由f'(x)＞0得x＜0或x＞a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确；对于B，当a＜0时，由f'(x)＜0得a＜x＜0，由f'(x)＞0得x＞0或x＜a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误；对于C，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3－3a(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误；对于D，若(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1)，即2(1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确.故选AD. 12.(15分)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R. (1)当a＝时，证明：f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立； (2)若f(x)有2个零点，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：当a＝时，设g(x)＝f(x)－ln x＋x－1＝ex－1－ln x－1，则g'(x)＝ex－1－(x＞0). 由函数y＝ex－1和y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，知g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(1)＝e0－1＝0， 所以当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝0，即f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立. (2)由f(x)＝aex－x＝0，得a＝， 令h(x)＝，则f(x)有2个零点等价于函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点. 令h'(x)＝＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，h'(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＜0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故h(x)max＝h(1)＝，且当x＜0时，h(x)＜0， 当x趋向于正无穷时，h(x)趋向于0. 作出函数h(x)的大致图象，如图所示. 结合图象可知，当0＜a＜时，函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点，即f(x)有2个零点， 故实数a的取值范围为(0，). 13.(17分)已知函数f(x)＝aln x－x. (1)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (2)若方程xa＋aln x＝ex＋x有两个不等实根x1，x2，且x2＞2x1，证明：x1x2＞8. 解：(1)由题意可得a≠0，＝有两个不等实根. 令g(x)＝，g'(x)＝， 令g'(x)＞0，解得0＜x＜e， 令g'(x)＜0，解得x＞e， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，(e，＋∞)上单调递减.g(x)max＝g(e)＝，g(1)＝0， 则g(x)的图象如图所示： 所以0＜＜，解得a＞e， 所以实数a的取值范围为(e，＋∞). (2)证明：因为xa＝(eln x)a＝ealn x， 所以ealn x＋aln x＝ex＋x， 令F(x)＝ex＋x，F(x)在R上为单调递增函数， 由题意F(aln x)＝F(x)有两个不等实根， 即aln x＝x有两个不等实根， 由(1)可知1＜x1＜e＜x2，＝， 令＝t＞2，得ln x1＝， ln (x1x2)＝ln(t)＝ln t＋2ln x1＝， 设h(t)＝(t＞2)， 则h'(t)＝， 令W(t)＝t－－2ln t(t＞2)， 则W'(t)＝＞0， 所以W(t)在(2，＋∞)上单调递增，W(2)＞0， 所以h'(t)＞0，h(t)为增函数， h(t)＞h(2)＝3ln 2＝ln 8，即ln(x1x2)＞ln 8， 故x1x2＞8. 学科网（北京）股份有限公司 $