课时分层评价21 简单复合函数的导数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价21　简单复合函数的导数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.函数y＝(2 025－8x)3的导数y'等于(　　) A.3(2 025－8x)2 B.－24x C.－24(2 025－8x)2 D.24(2 025－8x)2 答案：C 解析：y'＝3(2 025－8x)2×(2 025－8x)'＝3(2 025－8x)2×(－8)＝－24(2 025－8x)2.故选C. 2.若f(x)＝ex ln 2x，则f'(x)＝(　　) A.exln 2x＋ B.ex ln 2x－ C.ex ln 2x＋ D. 答案：C 解析：f'(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋.故选C . 3.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f'(0)等于(　　) A.1 B. C.－1 D.－2 答案：B 解析：f'(x)＝－6x，故f'(0)＝－0＝.故选B. 4.(2025·陕西西安月考)函数f(x)＝的图象在点(3，f(3))处的切线方程为(　　) A.x－y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x－y－4＝0 D.4x－y－10＝0 答案：B 解析：因为f'(x)＝×2＝，所以f'(3)＝＝，又f(3)＝＝2，所以所求切线方程为y－2＝(x－3)，即x－2y＋1＝0.故选B. 5.(多选)下列结论中不正确的是(　　) A.若y＝cos ，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x 答案：ACD 解析：对于A，y＝cos ，则y'＝sin ，故A错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故B正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故C错误；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故D错误.故选ACD. 6.(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　) A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4 C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4 答案：AB 解析：由题意，y'＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，所以y'｜x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.故选AB. 7.(双空题)已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x，则f'(x)＝　　　　　　　；曲线y＝f(x)在点(2，19)处的切线方程是　　　　　　　　. 答案：8x＋1　17x－y－15＝0 解析：f'(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1.又f'(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0. 8.一个小球做简谐振动，其运动方程为x＝2sin(πt＋)，其中x(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t＝2 s时的瞬时速度为　　　cm/s. 答案：π 解析：因为x'＝2πcos，所以x'＝2πcos＝2πcos＝π，即小球在t＝2 s时的瞬时速度为π cm/s. 9.曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　. 答案：e2 解析：因为y'＝，所以曲线y＝在点(4，e2)处的切线的斜率为e2.于是切线方程为y－e2＝e2(x－4).令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.所以所求三角形的面积S＝×e2×2＝e2. 10.(13分)求下列函数的导数： (1)y＝a2x－3； (2)y＝x2cos ； (3)y＝e－xln x； (4)y＝. 解：(1)因为y＝a2x－3， 所以y'＝a2x－3ln a·(2x－3)'＝2a2x－3ln a. (2)因为y＝x2cos ， 所以y'＝2x cos ＋x2' ＝2x cos －x2sin ·' ＝2x cos －2x2sin . (3)因为y＝e－xln x， 所以y'＝(e－x)'ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝. (4)因为y＝＝， 所以y'＝－×(－2)＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.若f(x)＝x2e1－mx＋mx，曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为2，则m＝(　　) A.1 B.1或2 C.－1或2 D.2 答案：B 解析：f'(x)＝2xe1－mx＋x2·e1－mx·(－m)＋m＝2xe1－mx－mx2e1－mx＋m，根据导数的几何意义可得f'(1)＝2e1－m－me1－m＋m＝2，所以(e1－m－1)(2－m)＝0，所以e1－m－1＝0，或2－m＝0，所以m＝1，或m＝2.故选B. 12.设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f'0(x)，f2(x)＝f'1(x)，…，f(1＋n)(x)＝f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝(　　) A.22 025(cos 2x－sin 2x) B.22 024(－cos 2x－sin 2x) C.22 025(cos 2x＋sin 2x) D.22 024(－cos 2x－sin 2x) 答案：A 解析：因为f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，所以f1(x)＝f'0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f'1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，f3(x)＝f'2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f'3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x).故f2 025(x)＝f506×4＋1(x)＝22 025(cos 2x－sin 2x).故选A. 13.(双空题)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π).若f(x)＋f'(x)是奇函数，则φ＝　　　　；若f(x)＋f'(x)是偶函数，则φ＝　　　　. 答案：　 解析：f'(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f'(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin(x＋φ＋).若f(x)＋f'(x)为奇函数，则φ＋＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝.若f(x)＋f'(x)是偶函数，则φ＋＝kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝. 14.(17分)已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1. (1)分别求出f(x)和g(x)的导数； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值. 解：(1)由导数的四则运算法则得f'(x)＝－3x2＋1，由复合函数求导法则得g'(x)＝－2e－2x＋1. (2)由f'(x)＝－3x2＋1，可得曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的斜率k＝f'(1)＝－3＋1＝－2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3. 由g'(x)＝－2e－2x＋1，可得曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)＝－2e－2t＋1， 由题意可得－2e－2t＋1＝－2，所以t＝， 此时切点坐标为(，1)，曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程为y－1＝－2(x－)，即y＝－2x＋2，故符合题意.综上，t＝. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(开放题)写出一个同时具有性质①②的函数f＝　　　　 　.(f(x)不是常值函数). ①f'为偶函数；② f'(x＋π)＝f'. 答案：sin 2x(答案不唯一) 解析：由f'＝f'知函数f'的周期为π，则f'＝cos 2x，同时满足f'为偶函数，所以f＝sin 2x满足条件. 16.(新定义)(2025·广东普宁调研)当f(x)＞0时，函数y＝(f(x))g(x)在求导时可运用对数法：将解析式两边同时取对数，得到ln y＝g(x)ln f(x)，然后两边同时求导得＝g'(x)ln f(x)＋g(x)·，于是y'＝(f(x))g(x)·［g'(x)lnf(x)＋g(x)·］.用此法可得曲线y＝(x＋1(x＞－1)在x＝－1处的切线斜率为　　　　. 答案：2e2－e 解析：令f(x)＝x＋1(x＞－1)，g(x)＝(x＞－1)，则f'(x)＝1，g'(x)＝－.由题中所给公式得y'＝(x＋1［－ln(x＋1)＋·］＝(x＋1.当x＝－1时，y'＝2e2－e，即曲线y＝(x＋1(x＞－1)在x＝－1处的切线斜率为2e2－e. 学科网（北京）股份有限公司 $