课时分层评价28 利用导数解决与函数相关的问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价28　利用导数解决与函数相关的问题 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案：A 解析：因为f(x)在x＝处有最值，所以x＝是函数f(x)的极值点.又f'(x)＝acos x＋cos 3x，所以f'＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.故选A. 2.函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为(　　) A.[1，] B.[1，＋∞) C.(1，] D.(1，＋∞) 答案：A 解析：因为f(x)＝3x－x3，所以f'(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f'(x)＝0，则x＝1，或x＝－1(舍去)，如图所示，当0≤x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.因为函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，所以1≤m≤.故选A. 3.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由题意得f'(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f'(x)＞0，得x＞2，或x＜－2；令f'(x)＜0，得－2＜x＜2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)＜0，当x→＋∞时，f(x)＞0，所以函数的零点个数为2.故选C. 4.如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上.设∠BOC＝θ，则征地面积S最大时，θ的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：连接OE(图略)，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC＝Rsin θ，θ∈(0，)， 所以S＝2SOBCE＝(Rsin θ＋R)·Rcos θ ＝R2(sin θcos θ＋cos θ). S'＝R2(cos2θ－sin2θ－sin θ)＝－R2(2sin2θ＋sin θ－1)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1). 令S'＝0，得sin θ＝－1(舍)或者sin θ＝，因为θ∈(0，)，所以θ＝. 所以当θ∈(0，)时，S'＞0，θ∈(，)时，S'＜0， 所以θ＝时，S最大.故选B. 5.(2025·广东惠州高二月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元.销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)，若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　) A.7万斤 B.8万斤 C.9万斤 D.10万斤 答案：B 解析：由题意，利润函数g(x)＝－x3＋ax2＋x－(2＋x)(0≤x≤10)，即g(x)＝－x3＋ax2－2，则＝－×33＋9a－2，解得a＝2.故g(x)＝－x3＋2x2－2，则g'(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8).令g'(x)＞0，则有0＜x＜8，令g'(x)＜0，则有8＜x≤10，所以g(x)的极大值点即最大值点，为x＝8，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B. 6.(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 答案：ABC 解析：对于A，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，故A正确；对于B，f'(x)＝ －＝－，当f'(x)＞0时，－1＜x＜2；当f'(x)＜0时，x＜－1，或x＞2，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－1，2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；对于C，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，f(2)＝，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，故C正确；对于D，由图象可知，t的最大值是2，故D不正确.故选ABC. 7.已知某种圆柱形油料罐(有盖)的表面积为6π，则该圆柱形油料罐的容积最大时，底面圆的半径等于　　　　. 答案：1 解析：设底面圆半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh＝6π，即r2＋rh＝3，故rh＝3－r2.V＝πr2h＝πr(3－r2)＝π(3r－r3)，则V'＝π(3－3r2).令V'＝0，得r＝1，或r＝－1(舍去)，当0＜r＜1时，V'＞0，当r＞1时，V'＜0，所以r＝1时V取得最大值. 8.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案：(－1，2] 解析：由f'(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减 由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜ .又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2，所以a≤2.综上，实数a的取值范围为－1＜a≤2. 9.已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：{a｜a＜－27，或a＞5} 解析：f'(x)＝－3x2＋6x＋9.令f'(x)＝0，解得x＝－1，或x＝3.当f'(x)＞0时，－1＜x＜3；当f'(x)＜0时，x＜－1，或x＞3，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值为f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)取得极大值为f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图①)或极小值大于0(如图②)，所以a＋27＜0，或a－5＞0，解得a＜－27，或a＞5，故实数a的取值范围为{a｜a＜－27，或a＞5}. 10.(13分)已知方程－a＝0有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 解：因为方程－a＝0有两个不同的实数根， 所以函数g(x)＝与函数y＝a有两个不同的交点. 由g(x)＝，得g'(x)＝， 当x＞e时，g'(x)＜0，g(x)单调递减；当0＜x＜e时，g'(x)＞0，g(x)单调递增， 因此当x＝e时，函数g(x)有最大值，最大值为g(e)＝＝， 显然当x＞1时，g(x)＞0；当0＜x＜1时，g(x)＜0；当x＝1时，g(1)＝0， 因此函数g(x)＝的图象如图所示. 通过函数g(x)＝的图象和上述分析的性质可知， 当a∈时，函数g(x)＝与函数y＝a有两个交点，即方程－a＝0有两个不同的实数根.即实数a的取值范围为(0，). (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知函数f＝ln x－ax2＋1，a∈R，则下列结论正确的是(　　) A.对任意的a∈R，存在x0∈，使得f＝0 B.若x1是f的极值点，则f在上单调递减 C.函数f的最大值为 D.若f有两个零点，则实数a的取值范围为(0，) 答案：BD 解析：由题意知，x＞0，f'＝－2ax＝，当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，无最大值，故C错误；当a＞0时，在上，f'(x)＞0，f(x)单调递增；在上，f'(x)＜0，f(x)单调递减，故f(x)max＝f()＝ln ＋，当ln ＋＜0，即a＞时，f(x)无零点，故A错误；若x1是f的极值点，则a＞0，x1＝，故在上单调递减，故B正确；若f有两个零点，则a＞0，且f(x)max＝f()＝ln ＋＞0，解得0＜a＜，又x→0时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→－∞，此时f有两个零点，故D正确.故选BD. 12.(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为　　　　. 答案：(－2，1) 解析：令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋，设h＝x3－3x＋，则h'＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x＞0，所以3x＋5＞0，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，当x＞1时，h'(x)＞0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.因为曲线y＝x3－3x与y＝－＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，所以a的取值范围为(－2，1). 13.(2025·江苏南京六校高二期末)某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln(2x＋1)，如果该个体户准备投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投　　　　千元. 答案： 解析：设投入m千元(0≤m≤5)销售B商品，则投入(5－m)千元销售A商品，所获得的总收益为S(m)千元，则S(m)＝2(5－m)＋4ln(2m＋1)＝4ln(2m＋1)－2m＋10(0≤m≤5)，可得S'(m)＝4×－2＝. 当0≤m＜时，S'(m)＞0，函数S(m)单调递增； 当＜m≤5时，S'(m)＜0，函数S(m)单调递减. 所以当m＝时，函数S(m)取得最大值，即总收益最大. 14.(15分)已知函数f(x)＝ln x＋. (1)当a＜0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值. 解：函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝－＝， (1)因为a＜0，所以f'(x)＞0，故函数在(0，＋∞)上单调递增. 所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. (2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论： ①当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾； ②当1＜a＜e时，函数f(x)在[1，a)上有f'(x)＜0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f'(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝； ③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾. 综上所述，a的值为. 15.(5分)(新定义)设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　) A.(－2，0)∪(0，2) B.(－2，2) C.(－1，0)∪(0，1) D.[－1，1] 答案：A 解析：因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，所以a－3－x0＋1＝－x0在R上有三个解，即a－3＋1＝0在R上有三个解，设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g'(x)＝3ax2－6x，由已知得a≠0，令g'(x)＝0，即3ax2－6x＝0，解得x＝0，或x＝.当a＞0时，x＞，或x＜0时，g'(x)＞0；0＜x＜时，g'(x)＜0，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得0＜a＜2；当a＜0时，x＜，或x＞0时，g'(x)＜0；＜x＜0时，g'(x)＞0，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得－2＜a＜0.综上可得，实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，2). 16.(17分)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体.“刍甍”字面意思为茅草屋顶，图①是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH＝θ. (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式； (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 解：(1)由题意，知FH⊥平面ABCD，因为HM⊂平面ABCD，所以FH⊥HM. 在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以FM＝. 所以△FBC的面积为×10×＝. 所以屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝. 所以S关于θ的函数关系式为S＝. (2)在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，所以下部主体高度为h＝6－5tan θ. 所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝·k＋·16k ＝ k－k＋96k＝80k·＋96k. 设f＝，0＜θ＜， 则f'＝， 令f'＝0，得sin θ＝， 又0＜θ＜，所以θ＝. 当θ变化时，f'，f的变化情况如表所示. θ f' － 0 ＋ f(θ) ↘ ↗ 所以当θ＝时，f上有最小值. 所以当θ为时，该别墅总造价最低. 学科网（北京）股份有限公司 $