课时分层评价25 导数中的函数构造问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价25　导数中的函数构造问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10，每小题5分，共50分) 1.已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，且f(x)的导函数f'(x)＜1，则f(x)＞x－1的解集为(　　) A.{x｜－2＜x＜2} B.{x｜x＜2} C.{x｜x＜－2，或x＞2} D.{x｜x＞2} 答案：B 解析：构造函数g(x)＝f(x)－(x－1)，则g'(x)＝f'(x)－1＜0，所以g(x)在R上单调递减.又f(2)＝1，所以g(2)＝f(2)－(2－1)＝0.由f(x)＞x－1，得g(x)＞g(2)＝0，解得x＜2.故选B. 2.已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)＜0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f(log2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b 答案：B 解析：因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)＜0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，因为20.6＞1，0＜ln 2＜1，log2＝－3＜0，所以log2＜0＜ln 2＜1＜20.6，又a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g(log2)，所以c＞b＞a.故选B. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜－f'(x)，则下列式子成立的是(　　) A.f(2 025)＞ef(2 026) B.f(2 025)＜ef(2 026) C.ef(2 025)＞f(2 026) D.ef(2 025)＜f(2 026) 答案：A 解析：依题意得f(x)＋f'(x)＜0，构造函数g(x)＝exf(x)，则g'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]＜0在R上恒成立，所以函数g(x)＝exf(x)在R上单调递减，所以g(2 025)＞g(2 026)，即e2 025f(2 025)＞e2 026f(2 026)⇒f(2 025)＞ef(2 026).故选A. 4.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足xf'(x)＋3f(x)＞0，则关于x的不等式f(x－3)－f(3)＜0的解集为(　　) A.(3，6) B.(0，3) C.(0，6) D.(6，＋∞) 答案：A 解析：构造函数g(x)＝x3f(x)，则g'(x)＝x2[3f(x)＋xf'(x)]＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x－3)－f(3)＜0，即(x－3)3f(x－3)－27f(3)＜0，所以g(x－3)＜g(3)，即所以3＜x＜6.故选A. 5.(多选)已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f'(x)＜g'(x)，则在[a，b]上，下列关系式中正确的是(　　) A.f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B.f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C.f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a) D.f(x)－g(a)≥g(x)－f(a) 答案：BC 解析：令φ(x)＝f(x)－g(x)，则φ'(x)＝f'(x)－g'(x)，又f'(x)＜g'(x)，所以f'(x)－g'(x)＜0，即φ'(x)＜0，所以φ(x)在[a，b]上单调递减.当x≤b时，φ(x)≥φ(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，所以f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)，故A错误，B正确；当a≤x时，φ(a)≥φ(x)，即f(a)－g(a)≥f(x)－g(x)，所以f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a)，故C正确，D错误.故选BC. 6.(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)f'(x)＞f(x)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.3f(4)＜4f(3) B.4f(4)＞5f(3) C.3f(3)＜4f(2) D.3f(3)＞4f(2) 答案：BD 解析：由(x＋1)f'(x)＞f(x)，得(x＋1)f'(x)－f(x)＞0，构造函数g(x)＝，则g'(x)＝＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(2)＜g(3)＜g(4)，则＜＜，即3f(3)＞4f(2)，4f(4)＞5f(3).故选BD. 7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f'(x)＜，则f(x)＜＋的解集为　　　　　　. 答案：{x｜x＞1} 解析：构造函数h(x)＝f(x)－－，所以h'(x)＝f'(x)－＜0，故h(x)在R上单调递减，且h(1)＝f(1)－－＝0，得h(x)＜0，即h(x)＜h(1)，所以x＞1，所以不等式的解集为{x｜x＞1}. 8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3的解集为　　　　. 答案：(0，＋∞) 解析：因为f(x)＋f'(x)＞1，构造函数h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)].不等式exf(x)＞ex＋3⇒exf(x)－ex－3＞0，设函数g(x)＝exf(x)－ex－3，则g'(x)＝h'(x)－ex.因为f(x)＋f'(x)＞1，且h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，所以h'(x)＞ex，所以g'(x)＞0，又因为f(0)＝4，所以g(0)＝f(0)－1－3＝0，综上可判断出g(x)在定义域内单调递增且g(0)＝0，因此原不等式的解集为(0，＋∞). 9.设f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)为其导函数，f(2)＝0，当x＞0时，有xf'(x)＞f(x)恒成立，则不等式xf(x)＜0的解集为　　　　　　　　. 答案：(－∞，－2)∪(0，2) 解析：构造函数g(x)＝，x≠0，则g'(x)＝，因为当x＞0时，有xf'(x)＞f(x)恒成立，所以当x＞0时，g'(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝＝＝－g(x)，即g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，因为f(2)＝0，所以g(2)＝＝0，所以g(－2)＝0.不等式xf(x)＜0的解集可等价于g(x)＜0的解集，所以0＜x＜2或x＜－2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 10.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，若a＝f ，b＝0，c＝－f ，则a，b，c的大小关系是　　　　. 答案：c＞b＞a 解析：构造函数g(x)＝f(x)cos x，则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x，因为f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，所以g'(x)＞0，所以g(x)在(0，π)上单调递增，a＝f ＝f cos ＝g，b＝0＝f cos ＝g，c＝－f ＝f cos ＝g，所以c＞b＞a. (11—13，每小题5分，共15分) 11.定义在上的函数f(x)，f'(x)是f(x)的导函数，且f'(x)＜－tan x·f(x)成立，a＝2f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞a＞c B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.a＞b＞c 答案：B 解析：因为x∈时，cos x＞0，所以f'(x)＜－tan x·f(x)可化为f'(x)＋·f(x)＜0，即cos x·f'(x)＋sin x·f(x)＜0，构造函数g＝，则g'＝'＝，所以当x∈时，g'＜0，所以函数g上单调递减，因为＜＜，所以g＞g＞g，所以＞＞，即f＞f()＞2f，所以c＞b＞a.故选B. 12.定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)＜xf'(x)＜3f(x)恒成立，其中y＝f'(x)为y＝f(x)的导函数，则(　　) A.8＜＜16 B.4＜＜8 C.3＜＜4 D.2＜＜3 答案：B 解析：因为xf'(x)－2f(x)＞0，x＞0，所以［］'＝＝＞0，令g(x)＝(x＞0)，所以g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，所以＞，由2f(x)＜3f(x)，得f(x)＞0，即＞4.因为xf'(x)－3f(x)＜0，x＞0，所以［］'＝＝＜0，令h(x)＝(x＞0)，所以h(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，所以＜，即＜8.综上，4＜＜8.故选B. 13. 若对∀x1，x2∈，且x1＜x2，都有＜1，则m的最小值是　　　　. 答案：1 解析：因为x1＜x2，则x1－x2＜0，由题意可得ln x1－ln x2＞x1－x2，即ln x1－x1＞ln x2－x2，所以构造函数f＝ln x－x，知函数f＝ln x－x在上单调递减，则f'＝－1≤0在上恒成立，即x≥1在上恒成立，则m≥1，即m的最小值是1. 14.(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且其图象关于坐标原点对称，当x≥0时，xf'(x)＋2f(x)＜0(f'(x)为f(x)的导函数)，求使得＞0成立的x的取值范围. 解：构造函数g(x)＝x2f(x)，由题可知f(x)为奇函数， 所以g(x)也为奇函数，g'(x)＝2xf(x)＋x2f'(x)， 因为当x≥0时，xf'(x)＋2f(x)＜0，即x2f'(x)＋2xf(x)≤0. 所以当x≥0时，g'(x)≤0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减. 因为g(x)在R上为奇函数，所以g(x)在R上单调递减，且g(0)＝0， 当x＜0时，g(x)＝x2f(x)＞0，即f(x)＞0， 当x＝0时，f(0)＝0， 当x＞0时，f(x)＜0， 因为＞0，所以①当x＜0时，由f(x)＞0，得x2－2＞0，解得x＜－； ②当x＝0时，f(0)＝0，则＞0的解集为空集； ③当x＞0时，由f(x)＜0，得x2－2＜0，解得0＜x＜. 综上所述，x的取值范围为(－∞，－)∪(0，). 15.(5分)设函数f(x)在R上存在导数f'(x)，对任意的x∈R，有f(x)－f(－x)＝2sin x，且在[0，＋∞)上，f'(x)＞cos x.若f－f(t)＞cos t－sin t，则实数t的取值范围为　　　　. 答案： 解析：因为f(x)－f(－x)＝2sin x，所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x).设g(x)＝f(x)－sin x，可得g(x)＝g(－x)，则g(x)为偶函数.因为在[0，＋∞)上，f'(x)＞cos x，所以g'(x)＝f'(x)－cos x＞0，故g(x)在[0，＋∞)上单调递增.根据偶函数的图象的对称性，可知g(x)在(－∞，0)上单调递减.由f－f(t)＞cos t－sin t，得f(t)－sin t＜f－cos t＝f－sin，即g(t)＜g，所以｜t｜＜，即t2＜，化简得－πt＞0，解得t＜. 16.(17分)已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞a恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. 解：假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞a恒成立， 不妨设0＜x1＜x2，因为＞a， 所以f(x2)－ax2＞f(x1)－ax1. 令g(x)＝f(x)－ax， 则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x－ax＝x2－2aln x－2x， 则g'(x)＝x－－2＝， 由此可得g'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 只需－1－2a≥0，解得a≤－. 即实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $