5.2.3 简单复合函数的导数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2.3简单复合函数的导数 本 白题基础过关 限时：30min 题组1复合函数的概念及求导法则 8.*函数f(x)=sin2x在原点(0,0)处的切线方 1.·(2025·江苏南通高二月考)函数f(x)= 程为 请你举出与函数f(x)=sin2x在 √3x+1在x=1处的导数为 原点处具有相同切线的一个函数： B.2 D.2 9.w已知两数y=之2-hn(2x45)。 2.*(2025·广东深圳高二月考)已知函数 (1)求该函数的导数； f(x)=ea*,若f(x)在x=0处的导数为2，则a (2)求该函数的图象在x=-2处的切线的倾 的值是 ( 斜角 C.2 D.-2 3.*(多选)(2025·四川绵阳高二期中)下列 求导运算正确的是 ( A.[(2x-1)2]'=8x-4 B.[n(3x+2)]'=,1 3x+2 c. -2 (2x+1)2 D.2-n2ew2z x2 4.*(2025·浙江温州高二月考)函数y=es 10.*曲线y=e2·cos3x在(0,1)处的切线与 的导函数为y= 直线1的距离为5，求直线1的方程 5.*已知F(x)在R上可导，F(x)=f(x3-1)+ f1-x3),则F'(1)= 题组2复合函数求导法则的应用 6.*（2025·吉林长春高二期中)若曲线 3 f(x)=2-2l血(2x+1)在点P(1,f1)处的 切线与直线y=x-2垂直，则实数a的值为 A.3 B.5 C.2 D.1 7.*★(2025·江苏盐城高二期末)已知直线 y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 ( A.-1 B.0 C.2 D.1 第五章黑白题43 黑题 应用提优 限时：30min 1.*(2025·山东青岛高二月考)某个弹簧振6.*设函数f(x)=g(2x-1)+x2,曲线y=g(x) 子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t 在点(1，g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲 (单位：s)之间的关系为y=12sin 则 线y=f(x)在点(1，f(1)处切线的一般式方 程是 t=2s时，弹簧振子的瞬时速度为 7.整已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x) A.3 mm/s B.3m mm/s 是x)的导函数，a=f'(牙），求过曲线y=x C.3/3 mm/s D.3√/3πmm/s 2.*(2025·河南新乡高二期中)曲线y= 上一点P(a,b)的切线方程 f(x)=ln(x2+x-1)在点(1，f(1))处的切线方 程为 ( A.y=3x-3 B.y=2x-2 C.y=x-1 D.y=0 3.**(2025·浙江杭州高二期末)已知二次函 数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e·f(x),若函 数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示，则 A.a<b,b<c B.a>b,b>c &16-c b D.al,me 4.*(2025·福建厦门高二月考)已知函数 f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为 (0,+),f(x2+1)=(x)+(1)+x2,且 f1)=1f"(1)=2则f(5)= ( 压轴挑战Ⅱ 熱我们把底数和指数同时含有自变 B.1 c.13 D.5 量的函数称为幂指函数，其一般形式 频讲解 5.整(2025·四川宜宾高二月考)已知直线 为y=[u(x)])(u(x)>0).对幂指函数求导时，可 y=kx+b既是曲线y=n(2x)的切线，也是曲 以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数y= 线y=-ln(-2x)的切线，则 ( x,有y=(x)'=[(e)产]'=(e)'=e(lnx+l). A.k=1,b=0 B.k=1,b=-1 已知f(x)=x42(x>0),则曲线y=f(x)在x=1 c2-0 D. 处的切线方程为 选择性必修第二册·RJ黑白题442.BCD解析：因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3，所以1m 的斜率的最小值为-3.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以，的方 程为y=1.因为f'(-1)=9,(-1)=-3,所以1，的方程为y+ 3=9(x+1),即y=9x+6. 3.C解析：f1)=1,f1)+g(1)=0,g(1)=-1.f(x)+ xg(x)=x2-1,f'(x)+g(x)+xg'（x)=2x,f'(1)+ g(1)+g'(1)=2,∴f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3.故选C. 4.C解析：由fD(x)=(x+1)e-sinx,f2)(x)=(x+2)e2- cos x,f (3)(x)=(x+3)e*+sin %f (4)(x)=(x+4)e*+cosx, 此类推f60)(x)=(x+50)e-cosx,所以f(50)(0)=(0+ 50)e°-cos0=50-1=49. 5.f(x)=2lnx(答案不唯一) 解析：依题意函数y=f(x)的 导函数了"()=是，由于函数y=hx的导数是y结 合f'(x)=2=2(nx,所以fx)=2nx+C(C为常数). 6.(0,牙]解标：y=4e1+e)-4e·e-4e (1+e*)2 e2+2e*+1 工因为e0,所以。+≥2，当且仅当心=时取 4 e e*+2+ 等号，所以y∈(0,1]，所以tana∈(0,1].又因为a∈ [0,m),所以ae(o,牙]，所以a的取值范围是(0，牙] 故答案为(0，晋] 7.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e,由f'(x)<4e,e*>0,得x2+2x- 4<0,解得x∈（-1-√5，-1+√5)，则所求不等式的解集为 -1-√5<x<-1+√5. (2)因为f'(x)=(x2+2x)e,所以曲线y=f(x)在点 (f(x)处的切线方程为y-xe0=(x品+2x0)e0·(x- )将点（仔，0）的坐标代入，并整理得e·(6+子 专)=号(，-1(3，+4)e的=0，解得，=0或1或号当 x。=0时，切线方程为y=0;当xo=1时，切线方程为y-e= 3(x-1),即y=30-2:当x=-号时，切线方程为y 压轴挑战 ①解析：对于①：f(x)=x3-xsinx,则f'(x)=3x2-sinx-xcos x,可得f(0)=0,f'(0)=0,∴0为f(x)的双重不动点，故①正 确：对于②f(x)=c-1-1的定义域为{x1x≠0，故该函数 不连续，故②错误.故答案为① 5.2.3简单复合函数的导数 白题基础过关 1.C解析：由f(x)=V3x+1,则f'()=3 2√/3x+1 - 2.C解析：由题意可得f'(x)=ae“f'(0)=a=2. 参考答案 3.AC解析：对于A选项，[(2x-1)2]'=2×2×(2x-1)=8x 4,A正确；对于B选项，[n(3x+2)]'=(3x+2)'-3 3x+23x+2B错 1 -2 误：对于C选项， (2x+1}/=-2(2+1)2=2x+1c正 确；对于D选项， 2- (cos 2x)'x-(x)'cos 2x x2 -2xsin 2x-cos 2x ,D错误 x2 四方法总结 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化 简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运 算量，提高运算速度，减少差错. (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数暴，再求导； ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 4.-eos￥sinx解析：由y'=(eos)'=eo(cosx)'= ecos *(-sinx)=-ecos *sin x. 5.0解析：由题知F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2·f'(1-x3),则 F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0.故答案为0. 6A解折：由鳃意有f()-2了a·=22品所 以f'(I)=2-=2-a,因为在点P(11)处的切线与直 线y=x-2垂直，所以f'(1)=2-a=-1,a=3. 7.C解析：设切点(m,ln(m+a),y=1 1→m+a=1,又切点在直线上，ln(m+a)=m+1,所以m=-1, a=2. 8.y=2xy=x2+2x(答案不唯一）解析：由f(x)=sin2x,得 f'(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)处的切线的斜 率为k=f'(0)=2.因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程 为y=2x.求与函数f(x)=sin2x在原点处具有相同切线的一 个函数，则该函数在原点(0,0)处的导数值为2即可，答案 不唯一，不妨令y=x2+2x,y=2x+2,所以函数在原点(0,0)处 的切线方程为y=2x 9.解：(1y=分4-h(2x+5).y=7x(2x+4r 245x(2a+5r=2225x2=e2太 2x+5 2x+5 (2)由(1)知y'=e2*4-2 2x+5当x=-2时，y=e224 2x(-2)+51-2=-1. 设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为α，则 na=-1.又ae[0,),一a=3T,该函数的图象在 x=-2处的切线的倾斜角为4 T 10.解：y'=2e24·cos3x+(-3sin3x）·e2=e2a·(2cos3x- 3sin 3x), 曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e°·(2cos0-3sin0)=2, 则曲线在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 设直线1的方程为y=2x+,由d=-1=5,解得t=6 1+4 或-4. 故直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4. 黑白题29 黑题应用提优 1.B解析：由题意有y=12n(任分）-12a子，所以 y'=12× 4 sin- 41=3msin牙6，当t=28时，y= 3mn(牙x2)=3msin7-3m 121 2.A解析：f1)=0f'(x)= 子+x-1寸"(1)=3，所求切线方程 2x+1 为y=3x-3. 3.D解析：依题意，g(x)=e*(ax2+bx+c),求导得g'(x)= -e*(ax2+bx+c)+e*(2ax+b)=-e*[ax2-(2a-b)x+c-b], 察g'(x)的图象，得g'(0)=-(c-b)=0,即b=c,g'(x)的另 -个零点为202合>1，脚<1，所以有日1b=e 4.C解析：因为f(x2+1)=f2(x)+f2(1)+x2,且f(1)=1,令 x=1,得f(2)=f2(1)+f2(1)+1=3.对f(x2+1)=f2(x)+ ∫2(1)+x2两边同时求导，得2对'(x2+1)=2f'(x)f(x)+2x, 即xf"(x2+1)=f'(x)f(x)+x令x=1,得f'(2)=f'(1)· 1)+1=1令=2，得(5)=2n2)+2=2× 33 32=号故f(3)= 5.C解析：设直线与曲线y=ln(2x)的切点坐标为(x1, ln(2x1)且x1>0,与曲线y=-ln(-2x)的切点坐标为(x2, -a(-2,)且名<0，又y=(h(2✉)'=，y= [-h(-2)]'=子，则直线y=+6与曲线y=l(2x)的切 线方程为y-1h(2x)=(x-),即y=x+ln(2x)-1,直 线y=x+b与曲线y=-ln(-2x)的切线方程为y+ (-2x)=-（x-）,即y=1 x+1-ln(-2x2),则 (1=-1 12 x12’ 解得 e ln(2x1)-1=1-ln(-2x2),x2=-2, ln(2x1)-1=0. 6.6x-y-2=0解析：把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即 g(1)=3,由y=2x+1的斜率为2，得到g(1)=2.:∫'(x)= 2g'(2x-1)+2x,f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率 为6，又f(1)=g(1)+1=4,即所求直线与f(x)的切点坐标为 (1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1),即6x-y-2=0. 7.解：由f(x)=3x+cos2x+sin2x, f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a时'（得）-2如子+2m号-1 由y=x3得y=3x2. 当点P为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3, 又b=a3,.b=1,.切点P的坐标为(1,1)， 故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. 当点P不是切点时，设切点坐标为(。，x),此时切线的斜 率k'=3x6, .切线方程为y-x=3x(x-x). :P(a,b)在曲线y=x3上，且a=1,b=1,将点P(1,1)代 选择性必修第二册·RJ 入切线方程中得1-x=3x(1-xo), 六2d36+1=0,解得6=2或0=1（舍去）， “.切点坐标为 11) 2,-8 又：切线的斜率为3x(）广：。 13.1 ÷此时的切线方程为)+8子(+2)，即3x-4y+1=0.即 过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0. 压轴挑战 3x-y-2=0解析：由f(x)=x2+2可得，f(1)=1,函数求导得， f到eyr[e=e(2+2）)月 则k=∫'(1)=3，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-1= 3(x-1),即3x-y-2=0. 5.2阶段综合 黑题■ 阶段强化 1.C解折：因为：=-4，所以=-54，食户- 4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末 与4秒末. 2.B解析：令f代x)=e2-six,则f'(x)=2e2-cosx∫"(x)= 4e24+sinx.因为f'(0)=1,f"(0)=4,所以曲线y=e2-sinx 在点(0,0)处的曲率为f“(0)1 4 =√2， (1+(f'(0)2)2(1+1)2 3.D解析：对于A,由f(x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx sinx,则f"(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因为xe (0,7）,所以sno0,easo0f()=-(snx+msx)<0, 所以此函数是凸函数，故A不符合题意；对于B,由f(x)= a2,得f'=2,则f因为e(0,号)， 所以()=0，所以此雨数是凸函数，放B不符合题 意；对于C,由fx)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则 了”()=-6，因为xe(0,受），所以f"()=-6<0,所以此 函数是凸函数，故C不符合题意；对于D,由f(x)=-xe, 得f'(x)=-e+xe,则f"(x)=e*+e-xe*=（2-x)e,因 为xe(0,受），所以(x)=(2-)e>0,所以此函数不是 凸函数 -43e -4√3 1 4.D解析：因为y (c*+1)2s e*41+2,由于e+。+2≥4， 当且仅当e=时取等号，所以y∈[-5,0)，根据导数的 e 几何意义可知，m9e[-5,0),所以0e[a） 5.ACD解析：因为f(x-1)为奇函数，所以f(x-1)=f(-x-1), 则f0)=f(-2),即f(0)+f(-2)=0,故A正确：f(x-1)= f(-x-1),即f(x+1)=-f(-x-3),又f(x+1)为偶函数，所 以f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-3),两边求导-f'(-x+1)= 黑白题30