课时分层评价20 导数的四则运算法则-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价20　导数的四则运算法则 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.函数f＝x－sin x的导函数为(　　) A.f'＝x－cos x B.f'＝1－cos x C.f'＝x＋cos x D.f'＝1＋cos x 答案：B 解析：f'＝1－cos x.故选B. 2.已知函数f(x)＝x2＋2xf'(1)＋2 025，则f'(0)＝(　　) A.－2 B.2 C.0 D.－4 答案：D 解析：由条件知f'(x)＝2x＋2f'(1)，所以f'(1)＝2×1＋2f'(1)，得f'(1)＝－2.所以f'(x)＝2x－4，所以f'(0)＝－4.故选D. 3.曲线f＝x6＋3x－1在处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A. B. C. D.－ 答案：A 解析：f'＝6x5＋3，所以f'＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为×1×＝.故选A. 4.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8 cm，高为20 cm，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数关系为V(t)＝πt3＋2πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝4 s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(　　) A.2 cm/s B.4 cm/s C.6 cm/s D.8 cm/s 答案：B 解析：由题意知，杯子的底面面积S＝16π，则杯中的溶液上升高度h＝＝＝t3＋t2(t≥0)，则h'＝t2＋t，当t＝4时，h'＝×16＋×4＝4，即当t＝4 s时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4 cm/s.故选B. 5.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.'＝1＋ B.'＝ln x＋1 C.'＝－2xsin x D.'＝ 答案：BD 解析：对于A，'＝x'＋'＝1－，故A错误；对于B，'＝ln x＋1，故B正确；对于C，'＝'cos x＋x2'＝2xcos x－x2sin x，故C错误；对于D，'＝＝，故D正确.故选BD. 6.(多选)若函数f的导函数为奇函数，则f的解析式可能是(　　) A.f＝x4＋2 B.f＝x3－2x C.f＝x－x2 D.f＝xsin x 答案：AD　 解析：对于A，因为f＝x4＋2，所以f'＝4x3是奇函数，故A正确；对于B，因为f＝x3－2x，所以f'＝3x2－2是偶函数，故B错误；对于C，因为f＝x－x2，所以f'＝1－2x不是奇函数，故C错误；对于D， 因为f＝xsin x，所以f'＝sin x＋xcos x是奇函数，故D正确.故选AD. 7.若函数f(x)＝，则f'(x)＝　　　　. 答案： 解析：因为f(x)＝，所以f'(x)＝＝. 8.(开放题)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＝sin x，则函数f(x)的解析式可能是　　　　，也可能是　　　　. 答案：f(x)＝－cos x(答案不唯一)　f(x)＝－cos x＋1(答案不唯一) 解析：由于(cos x)'＝－sin x，所以f(x)的解析式可能是f(x)＝－cos x，或f(x)＝－cos x＋1.(注：其他满足题意的解析式均可.) 9.曲线C：y＝x ln x在点M(e，e)处的切线方程为　　　　　　　　. 答案：y＝2x－e 解析：y'＝ln x＋1，y'｜x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得y＝2x－e. 10.(13分)求下列函数的导数： (1)y＝x4＋5x－e5； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝＋； (4)y＝3x2ln x＋2tan x. 解：(1)y'＝(x4＋5x－e5)'＝4x3＋5xln 5. (2)法一：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9. 法二：y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，则y'＝18x2－8x＋9. (3)因为y＝＋＝＝， 所以y'＝()'＝－＝. (4)y'＝(3x2ln x＋)'＝3(2xln x＋x)＋＝3x(2ln x＋1)＋. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知函数y＝f(x)是可导函数.如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在点(3，1)处的切线，令g(x)＝，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.0 答案：A 解析：由题意得f(3)＝1，又直线y＝kx＋2过点(3，1)，即3k＋2＝1，解得k＝－，所以f'(3)＝k＝－，由g(x)＝，得g'(x)＝，则g'(3)＝＝＝－.故选A. 12.已知函数f(x)是偶函数，当x＜0时，f(x)＝－xln(－x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　) A.y＝－x B.y＝－x＋2 C.y＝x D.y＝x－2 答案：C 解析：因为x＞0时，f(x)＝f(－x)＝xln x＋1，f(1)＝1，f'(x)＝ln x＋1，f'(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.故选C. 13.(双空题)已知f(x)＝xex，则f'(1)＝　　　　；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线y＝f(x)相切，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：2e　(－4，0) 解析：f'(x)＝(x＋1)ex，所以f'(1)＝2e，设点B(x0，x0)为曲线y＝f(x)上任意一点.因为y'＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线y＝f(x)在点B处的切线方程为y－x0＝(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0＝(a－x0)，即－ax0－a＝0无实数根，所以Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.所以实数a的取值范围是(－4，0). 14.(15分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 解：(1)由题意得f'(x)＝x2－4x＋3， 则f'(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞). (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0，或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞). 15.(5分)(新定义)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f在区间内的导函数为f'，f'在区间内的导函数为f″，在区间内f″＜0恒成立，则称函数f在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是(　　) A.f＝x＋2sin x B.f＝x－ex C.f＝x－ln x D.f＝ 答案：B 解析：对于A，f'(x)＝1＋2cos x，则f″(x)＝－2sin x，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”；对于B，f'(x)＝1－ex，则f″(x)＝－ex＜0，故是“凸函数”；对于C，f'(x)＝1－，则f″(x)＝＞0，故不是“凸函数”；对于D，f'(x)＝，则f″(x)＝，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”.故选B. 16.(17分)记函数f(x)，g(x)的导函数分别为f'(x)，g'(x).把同时满足f(x0)＝g(x0)，f'(x0)＝g'(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”. (1)求f(x)＝2x与g(x)＝(x－1)2＋3的“Q点”； (2)函数f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x是否存在“Q点”？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为f(x)＝2x，g(x)＝x2－2x＋4， 所以f'(x)＝2，g'(x)＝2x－2， 设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”. 由f(x0)＝g(x0)且f'(x0)＝g'(x0)得解得x0＝2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q点”是2. (2)存在.设函数f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x的“Q点”为x0，由题知f'(x)＝2ax，g'(x)＝， 由f(x0)＝g(x0)且f'(x0)＝g'(x0)得由②得a＝，代入①得ln x0＝1，所以x0＝e，所以a＝＝满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $