5.2.2 导数的四则运算法则-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2.2导数的四则运算法则 于错题本 白题基础过关 限时：35min 题组1导数的四则运算法则 (3)=2*+lnx 1.*(2025·安徽蚌埠高二月考)已知函数 Q+ f(x)=sinx+cosx,f'(x)为f(x)的导函数，则 f'(x)= ( A.sin x+cos x B.-sin x-cos x C.sin x-cosx D.cos x-sinx 2.(多选)(2025·河南郑州高二期中)下列 求导数的运算正确的是 () 题组2利用函数求导法则求解切线问题 8.*(2025·天津和平区高二月考)曲线 -r=3x+ f(x)=x21nx-2x+2在点(1，f(1))处的切线的 B.(n2) 倾斜角为 () A.30° B.45° C.60° D.135° c.( 9.(2025·山东菏泽高二月考)曲线y= e*-2 在点(1，e-2)处的切线方程为 D.(x·cosx)'=-sinx 3.(2025·湖北武汉高二月考)已知函数 10.*已知函数f(x)=axln x在x=1处的切线 方程为x-y-1=0. f(x)=2In x+ nx,则im .f(1+△x)-f1) △r+0 3△x (1)求a的值； ( (2)若过点A(0,-e)的直线l与曲线y=f(x) A.3 B.2 C.1 D.0 相切，求1的方程 4.*（2025·广东潮州高二月考)已知 f(x)=2x2+lnx,则f'(1)= 5.*已知函数f(x)的导函数为f'(x),且 f'(x)是偶函数，f'(0)=1,f'(1)=0.写出一 个满足条件的函数：f(x)= 6.*1人A教材变式(2025·江苏南京高二月 考)若函数f(x)=xe+2xf'(1),则f'(-1)= 7.*(2025·河北邯郸高二月考)求下列函数 的导数 (1)y=x3e*; 3-1 (2)y sin 第五章黑白题41 黑题 应用提优 限时：35min ★★ (2025·江苏镇江高二期中)若函数7.*(2025·黑龙江绥化高二期末)已知函数 f(x)= ,则导函数f'(x)= f(x)=x2e" ( tan x (1)求不等式f'(x)<4e的解集； 1 1 A.- B. sin'x cosx (2)求过点（号，0）且与曲线y=)相切的切 C.1 D.、1 线方程. sinx cosx 2.*（多选)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象 在点(m,f(m)处的切线为ln,则 A.lm的斜率的最小值为-2 B.Ln的斜率的最小值为-3 C.l,的方程为y=1 D.1,的方程为y=9x+6 3.*若函数f(x),g(x)满足f代x)+g(x)=x2 1,且f(1)=1,则f'(1)+g'(1)= A.1 B.2 C.3 D.4 4.*(2025·广东深圳高二期中)函数y= f代x)的导数y=∫'(x)仍是x的函数，通常把导 函数y=f'(x)的导数叫做函数的二阶导数， 记作y=f"(x),类似地，二阶导数的导数叫做 压轴挑战 三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导 禁拓扑空间中满足一定条件的连续函数 数…一般地，(n-1)阶导数的导数叫做n阶 f(x),如果存在x。∈D,使得f(xo)=o,那么我 导数，函数y=f(x)的n阶导数记为y= 们称函数f(x)为“不动点”函数，而称x。为该 f(x),例如y=e的n阶导数(e)m=e.若 函数的一个不动点.在数学中，这被称为布劳威 f(x)=xe*+cosx,f (50)(0)= ( 尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊 A.51 B.50 兹·布劳威尔，是拓扑学里一个非常重要的不 C.49 D.48 动点定理.现新定义：已知x。为函数f(x)的一 5.已知函数y=的导函数f“()=2,写 个不动点，若xo满足f'(x)=0,则称xo为 出fx)的一个解析式为 f(x)的双重不动点.给出下列两个函数： 4e ①f(x)=x3-xsin x; 6.已知点P在曲线ye上，a为曲线在 ②fx)=e1-1 点P处的切线的倾斜角，则的取值范 x 围是 具有双重不动点的函数为 (填序号) 选择性必修第二册·RJ黑白题42所以a=-1或a=号故答案为-1或号 4.x4(答案不唯一)解析：取f(x)=x4,则f(x,x,)= (x1x2)-4=x4x24=f代x1)f代x2),满足性质①，∫'(x)=-4x5,当 x>0时，有f'(x)<0,满足性质②，f'(x)=-4x5的定义域为 {xx≠0}，关于原点对称，又f'(-x)=-4(-x)5=4x5= -∫'(x),故f'(x)是奇函数，满足性质③.故答案为f代x)=x4 (答案不唯一) 5.D解析：由题知切线的斜率k=tan 1T=-1,设切点坐标为 则f"(,)-1,又了"()，所以--1，解 得x0=1或-1，当x0=1时，y=1,当xo=-1时，y0=-1,所以 切点坐标为(1,1)或(-1，-1). 6.A解析：设切点坐标为(，x),由f(x)=x可得∫'(x)= 如，向时=1可得4及因此，商线回 的切线中斜率等于1的切线的条数为1. 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一， 如曲线+1在点（号？）处的切线与曲线有另外 个交点(1,2)，故A错误：对于B,过曲线上的一点作曲线的 切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点，但不是在该点 与曲线相切而是在其他地方相切，比如曲线y=x3与直线y= 3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外一点(-2，-8)，我们就 可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y=x3相切，但 切点是(1,1)而不是(-2，-8)，故B错误；对于C,若f'(x0) 不存在，则曲线y=f(x)在点(x。,f(xo)处无切线是错误的， 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f'(x。)不存在，但 曲线y=f代x)在点(x,f(x)处有切线，故C错误；对于D, 由曲线在一点有平行于y轴的切线，且函数在该点不连续， 则f'(xo)不一定存在，故D正确.故选ABC. &.BCD解标：直线y=子+6的斜率为k=子，由x)=的 导数为"（✉）=子<0，放A错误由)=2的导教为 f'(x)=2x,令2x= 2,解得x= 4,故B正确；由fx)=sinx 的号数为∫'(x)=,面=有解，故C正确；由 人)=e的导数为f"(x)=e,令。=子，解得x=-n2,故 D正确. 9.(x)=x(答案不唯一）解析：两条切线互相平行应先满足 在切点处的导数值相等， 例如f(x)=x3,f'(x)=3x2,f1)=1,f代-1)=-1， 此时f'(1)=3,f'(-1)=3, 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2,符合题意.故答案 可以为f(x)=x(答案不唯一) 10.解：AB为定值，.要使三角形面积最大，只需点P到直 线AB的距离最大，.点P是与直线AB平行且与抛物线相 切的切线的切点. 设点P(xyo),由题意知点P在x轴上方的图象上，即点P 又：kB=2六20 1 在函数y=x的图象上，∴.y= 2入x 子，得=1由%=，得%=1，…P1,1)。 选择性必修第二册·RJ 5.2.2导数的四则运算法则 白题 基础过关 1.D解析：由f八x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx-sinx. 2Ac解析：(-=3+分选项A正确：因为h2是 常数所2)-0，达项B特误（后器-号 选项C正确；(x·cosx)'=(x)'cosx+x(cosx)'=cosx xsinx,选项D错误. 3.C解析f”(三+()=3， 则10-'-1 3△x 4.5解析：因为f(x)=2x2+n,所以f"(x)=4x+,则 f'(1)=5. 5了+x(答案不唯一)解析：因为f'(x)是偶函数，设 fx)=ax3+bx,则f'(x)=3ax2+b,由题意可知f'(0)=b=1, fr(1)=3ab=0,解得a=宁6=1，放)=宁+红故满 1 足条件的函数可以为x)=3+x(答案不唯一）. 6.-4e解析：因为f(x)=xe+2yf'(1),所以f'(x)=(x+ 1)e*+2f'(1),所以f'(1)=2e+2f'(1),所以f'(1)=-2e, 所以f'(x)=(x+1)e*-4e,所以f'(-1)=-4e. 7.解：(1)y=(xe)'=5xe+xe. (2)y3sin 1)co cosin c0 sin'x sin'x 1 e'-e*lnx (3)y=2m2+ (e')2=2*n2+1-xlhx xe* 8.D解析：因为f(x)=x21nx-2x+2,所以f'(x)=2xlnx+x-2, 所以∫'(1)=2ln1+1-2=-1,所以曲线在点(1，f(1)处的 切线的斜率为-1，所以切线的倾斜角为135. 9.2x-y+e-4=0解析：因为y= ,所以y-2,当 x=1时，y=2,所以切线方程为y-(e-2)=2(x-1),整理 得2x-y+e-4=0. 10.解：(1)由题可得f'(x)=alnx+a,由直线y=x-1的斜率为 1,得f'(1)=1,即a=1. (2)由(1)知，f'(x)=nx+1,设切点坐标为(x,yo),则 f'(xo)=lnx+1,yo=xoln %o,又：直线l过点A(0,-e), 小lh6t1=l血+e ，整理得x=e,f'(e)=2,直线l的 方程为y+e=2(x-0),即2x-y-e=0. 黑题应用提优 1c解折：因为()=d所以() tan x (cos )'sin x-cos x(sin x)'-sin'-cos1 sin'x sin'x sin'x 四方法总结 求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导. 黑白题28 2.BCD解析：因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3，所以1m 的斜率的最小值为-3.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以，的方 程为y=1.因为f'(-1)=9,(-1)=-3,所以1，的方程为y+ 3=9(x+1),即y=9x+6. 3.C解析：f1)=1,f1)+g(1)=0,g(1)=-1.f(x)+ xg(x)=x2-1,f'(x)+g(x)+xg'（x)=2x,f'(1)+ g(1)+g'(1)=2,∴f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3.故选C. 4.C解析：由fD(x)=(x+1)e-sinx,f2)(x)=(x+2)e2- cos x,f (3)(x)=(x+3)e*+sin %f (4)(x)=(x+4)e*+cosx, 此类推f60)(x)=(x+50)e-cosx,所以f(50)(0)=(0+ 50)e°-cos0=50-1=49. 5.f(x)=2lnx(答案不唯一) 解析：依题意函数y=f(x)的 导函数了"()=是，由于函数y=hx的导数是y结 合f'(x)=2=2(nx,所以fx)=2nx+C(C为常数). 6.(0,牙]解标：y=4e1+e)-4e·e-4e (1+e*)2 e2+2e*+1 工因为e0,所以。+≥2，当且仅当心=时取 4 e e*+2+ 等号，所以y∈(0,1]，所以tana∈(0,1].又因为a∈ [0,m),所以ae(o,牙]，所以a的取值范围是(0，牙] 故答案为(0，晋] 7.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e,由f'(x)<4e,e*>0,得x2+2x- 4<0,解得x∈（-1-√5，-1+√5)，则所求不等式的解集为 -1-√5<x<-1+√5. (2)因为f'(x)=(x2+2x)e,所以曲线y=f(x)在点 (f(x)处的切线方程为y-xe0=(x品+2x0)e0·(x- )将点（仔，0）的坐标代入，并整理得e·(6+子 专)=号(，-1(3，+4)e的=0，解得，=0或1或号当 x。=0时，切线方程为y=0;当xo=1时，切线方程为y-e= 3(x-1),即y=30-2:当x=-号时，切线方程为y 压轴挑战 ①解析：对于①：f(x)=x3-xsinx,则f'(x)=3x2-sinx-xcos x,可得f(0)=0,f'(0)=0,∴0为f(x)的双重不动点，故①正 确：对于②f(x)=c-1-1的定义域为{x1x≠0，故该函数 不连续，故②错误.故答案为① 5.2.3简单复合函数的导数 白题基础过关 1.C解析：由f(x)=V3x+1,则f'()=3 2√/3x+1 - 2.C解析：由题意可得f'(x)=ae“f'(0)=a=2. 参考答案 3.AC解析：对于A选项，[(2x-1)2]'=2×2×(2x-1)=8x 4,A正确；对于B选项，[n(3x+2)]'=(3x+2)'-3 3x+23x+2B错 1 -2 误：对于C选项， (2x+1}/=-2(2+1)2=2x+1c正 确；对于D选项， 2- (cos 2x)'x-(x)'cos 2x x2 -2xsin 2x-cos 2x ,D错误 x2 四方法总结 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化 简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运 算量，提高运算速度，减少差错. (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数暴，再求导； ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 4.-eos￥sinx解析：由y'=(eos)'=eo(cosx)'= ecos *(-sinx)=-ecos *sin x. 5.0解析：由题知F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2·f'(1-x3),则 F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0.故答案为0. 6A解折：由鳃意有f()-2了a·=22品所 以f'(I)=2-=2-a,因为在点P(11)处的切线与直 线y=x-2垂直，所以f'(1)=2-a=-1,a=3. 7.C解析：设切点(m,ln(m+a),y=1 1→m+a=1,又切点在直线上，ln(m+a)=m+1,所以m=-1, a=2. 8.y=2xy=x2+2x(答案不唯一）解析：由f(x)=sin2x,得 f'(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)处的切线的斜 率为k=f'(0)=2.因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程 为y=2x.求与函数f(x)=sin2x在原点处具有相同切线的一 个函数，则该函数在原点(0,0)处的导数值为2即可，答案 不唯一，不妨令y=x2+2x,y=2x+2,所以函数在原点(0,0)处 的切线方程为y=2x 9.解：(1y=分4-h(2x+5).y=7x(2x+4r 245x(2a+5r=2225x2=e2太 2x+5 2x+5 (2)由(1)知y'=e2*4-2 2x+5当x=-2时，y=e224 2x(-2)+51-2=-1. 设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为α，则 na=-1.又ae[0,),一a=3T,该函数的图象在 x=-2处的切线的倾斜角为4 T 10.解：y'=2e24·cos3x+(-3sin3x）·e2=e2a·(2cos3x- 3sin 3x), 曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e°·(2cos0-3sin0)=2, 则曲线在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 设直线1的方程为y=2x+,由d=-1=5,解得t=6 1+4 或-4. 故直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4. 黑白题29