课时分层评价19 基本初等函数的导数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价19　基本初等函数的导数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.函数f＝在x＝1处的导数f'等于(　　) A.－ B. C.1 D.2 答案：B 解析：由f'＝，故f'＝.故选B. 2.下列各式正确的是(　　) A.'＝－sin 985° B.'＝sin x C.'＝cos x D.'＝－x－6 答案：C 解析：根据基本初等函数的导数公式，'＝0，故A错误；'＝－sin x，故B错误；'＝cos x，故C正确；'＝－5x－6，故D错误.故选C. 3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x个单位产品与总成本的函数关系是C(x)＝x2，则生产8个单位产品时，边际成本是(　　) A.2 B.8 C.10 D.16 答案：D 解析：C'(x)＝2x，则C'(8)＝2×8＝16.故选D. 4.若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝cos x C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex 答案：C 解析：对于A，f'(x)＝2x，为奇函数；对于B，f'(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f'(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f'(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数.故选C. 5.(多选)已知函数f(x)＝的导函数为f'(x)，若f'(x1)＜f'(x2)，则x1，x2的大小关系可能为(　　) A.0＜x1＜x2 B.0＜x2＜x1 C.x1＜0＜x2 D.x2＜0＜x1 答案：ACD 解析：因为f(x)＝，所以f'(x)＝－，若f'(x1)＜f'(x2)，则－＜－，所以＞，＜，结合选项可知，0＜x2＜x1不可能.故选ACD. 6.(多选)设b为实数，则直线y＝x＋b能作为下列曲线的切线的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝x4 C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex 答案：BCD 解析：对于A，因为f(x)＝，所以f'(x)＝－＝无解，所以直线y＝x＋b不能作为曲线的切线，故A错误；对于B，因为f(x)＝x4，所以f'(x)＝4x3，令f'(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝，所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故B正确；对于C，因为f(x)＝sin x，所以f'(x)＝cos x，令f'(x)＝cos x＝，解得x＝2kπ±，k∈Z，此时y＝±，所以切点坐标为，k∈Z或，k∈Z，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故C正确；对于D，因为f(x)＝ex，所以f'(x)＝ex，令f'(x)＝ex＝，解得x＝ln，此时y＝，所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故D正确.故选BCD. 7.已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为　　　　. 答案：eln 3　 解析：设切点为(x0，y0)，因为y'＝3x ln 3，所以k＝ln 3，所以y＝ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以ln 3·x0＝，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln 3. 8.(开放题)若函数f(x)在R上可导，且f(x)·f'(x)为单调函数.写出满足上述条件的一个函数　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2(答案不唯一) 解析：设f(x)＝x2，则f'(x)＝2x，所以f(x)· f'(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件.所以f(x)＝x2满足条件. 9.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　　 　. 答案： 解析：如图所示，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y'＝(ex)'＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为. 10.(13分)已知函数f(x)＝. (1)曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标； (2)过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程. 解：(1)因为f(x)＝，所以f'(x)＝－， 设P(x0，)， 因为曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，所以f'(x0)＝－＝－，解得x0＝±2， 所以P(2，)或P(－2，－). (2)过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，设切点为(x1，)，则f'(x1)＝－，切线方程为y＝－(x－x1)＋＝－x＋，代入点Q(－1，3)的坐标得3＝＋，解得x1＝－或x1＝1，即切线方程为y＝－9x－6或y＝－x＋2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0'(x)，f2(x)＝f1'(x)，…，fn＋1(x)＝fn'(x)，n∈N，则f2 025(x)＝(　　) A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 答案：B 解析：根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f0'(x)＝－sin x，f2(x)＝f1'(x)＝－cos x，f3(x)＝f2'(x)＝sin x，f4(x)＝f3'(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 025(x)＝f4×506＋1(x)＝f1(x)＝－sin x.故选B. 12.“以直代曲”是重要的数学思想，具体做法是：在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值，我们可以先构造函数y＝sin x，由于0.05与0比较接近，所以求出x＝0处的切线方程为y＝x，再把x＝0.05代入切线方程，故有sin 0.05≈0.05.类比上述方式，可得≈(　　) A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025 答案：B 解析：设f(x)＝ex，则f'(x)＝ex，则f'(0)＝1，f(0)＝1，故f(x)＝ex的图象在x＝0处的切线方程为y＝x＋1，设g(x)＝x＋1，由题意得＝f()≈g()＝1.005.故选B. 13.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为(sin x)'＝cos x，所以kl＝cos x∈[－1，1]，所以－1≤tan α≤1，又因为α∈[0，π)，所以α∈∪. 14.(15分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值. 解：导函数y'＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y'｜x＝1＝n＋1， 所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n， 可求得切线与x轴的交点为，即xn＝， 所以an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 15.(5分)(新定义)(多选)已知函数f的导数为f'，若存在x0，使得f＝f'，则称x0是f的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f＝x2 B.f＝ C.f＝ln x D.f＝ 答案：ABC　 解析：对于A，f'＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f'＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f'＝，令ln x＝，结合y＝ln x，y＝的图象(如图)，知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'＝－，x＞0，令＝－，方程无解，无“巧值点”.故选ABC. 16.(17分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率. 解：(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y'＝2x，y'＝3x2. 令2x＝3x2，解得x＝0，或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0.此时公切线的斜率为0；②当x＝时，2x＝3x2＝. 此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝. 显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去. (2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y'＝2x1，y'＝3，因为AB的斜率为kAB＝， 所以有2x1＝3＝.由2x1＝3，得x1＝， 代入3＝中，解得x2＝，x1＝.此时公切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. 学科网（北京）股份有限公司 $