5.2.1 基本初等函数的导数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 白题 基础过关 限时：30min 题组1利用导数公式求函数的导数 7.(多选)下列说法不正确的是 1.·(多选)(2025·辽宁大连高二期中)下列 A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 求导运算正确的是 ( B.过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定 A(sm)=0 B.(x)'=2 是切点 C.若f'(x)不存在，则曲线y=f(x)在点 1 C.(3x)'=3 D.(1og2x)'= (xf(x))处无切线 xIn 2 D.曲线y=f(x)虽在点(x(x)处有切线， 2.(2025·河北衡水高二期中)已知函数 但f'(x)不一定存在 )=c0sf'(x)是)的导数，则f'(受) 8.*(多选)(2025·山东菏泽高二月考)若直 ( 线)分6是函数八)图象的条切线，则 T A.-1 B.0 C.1 D. 函数f(x)可以是 () 2 A.f代x)=x3 B.f(x)=x2 x3,x<0, 3.*已知函数f(x)= 若f'(a)= C.f(x)=sin x D.f(x)=e* lnx,0<x<1, 9.*已知曲线y=f(x)存在两条互相平行的切 3,则a= 线，请写出一个满足条件的函数： 4.*写出一个同时具有下列性质①②③的函 题组3导数公式的应用 数f(x)= 10.*已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相 ①f(x1x2)=f(x1)·f()； 交于A,B两点，O为坐标原点，试在抛物线 ②当x∈(0，+o)时，f'(x)<0; 的AB上求一点P,使△ABP的面积最大， ③f'(x)是奇函数 题组2利用导数公式求解切线问题 5.*（2025·安徽宿州高二月考)在曲线 个x)=上切线的倾斜角为}：的点的坐标为 ( A.(1,1) B.（-1,-1) C.(-1,1) D.（1,1)或(-1，-1) 6.*(2025·安徽阜阳高二期末)已知函数 f(x)=x,则曲线y=f(x)的切线中斜率等于1 的切线的条数为 () A.1 B.2 C.3 D.不确定 选择性必修第二册·RJ黑白题40 5.2.2导数的四则运算法则 于错题本 白题基础过关 限时：35min 题组1导数的四则运算法则 (3)=2*+lnx 1.*(2025·安徽蚌埠高二月考)已知函数 Q+ f(x)=sinx+cosx,f'(x)为f(x)的导函数，则 f'(x)= ( A.sin x+cos x B.-sin x-cos x C.sin x-cosx D.cos x-sinx 2.(多选)(2025·河南郑州高二期中)下列 求导数的运算正确的是 () 题组2利用函数求导法则求解切线问题 8.*(2025·天津和平区高二月考)曲线 -r=3x+ f(x)=x21nx-2x+2在点(1，f(1))处的切线的 B.(n2) 倾斜角为 () A.30° B.45° C.60° D.135° c.( 9.(2025·山东菏泽高二月考)曲线y= e*-2 在点(1，e-2)处的切线方程为 D.(x·cosx)'=-sinx 3.(2025·湖北武汉高二月考)已知函数 10.*已知函数f(x)=axln x在x=1处的切线 方程为x-y-1=0. f(x)=2In x+ nx,则im .f(1+△x)-f1) △r+0 3△x (1)求a的值； ( (2)若过点A(0,-e)的直线l与曲线y=f(x) A.3 B.2 C.1 D.0 相切，求1的方程 4.*（2025·广东潮州高二月考)已知 f(x)=2x2+lnx,则f'(1)= 5.*已知函数f(x)的导函数为f'(x),且 f'(x)是偶函数，f'(0)=1,f'(1)=0.写出一 个满足条件的函数：f(x)= 6.*1人A教材变式(2025·江苏南京高二月 考)若函数f(x)=xe+2xf'(1),则f'(-1)= 7.*(2025·河北邯郸高二月考)求下列函数 的导数 (1)y=x3e*; 3-1 (2)y sin 第五章黑白题41黑题应用提优 1.A解析：由题意知，lim (x+△x)-f(x) △x0 2△x f(xo+△x)-f(x）1 2s-0 △x =2f"(o)=4,即f'()=8 2.B解析：函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率为 2-0心2-02，f()=在x=m时的瞬时变化率为 f(2)-f0)_4-0 ga+a-马 (m+Ax)2-m2 x0 Ax lim(A+2m)=2m, 所以2=2m,解得m=1. 3.A解析：函数f(x)=ax3+2bx+1的图象在点(1，f1)处 的切线方程为4x-y-1=0,.y=4x-1,f'(x)= in+)-)-3ax2+2b,由题可知1)=3， △x f'(1)=4, a+2b+1=3,. (a=1, 3a+2b=4, 1∴f(x)=x3+x+1,f'(x)=3x2+ 1b= 2 1,∴f'(2)=13.故选A. 4.AD解析：平均融化速度为=(100)-V(0 ,反映的是V(t) 100-0 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1,2处瞬 时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3，t4处瞬时速度及u 都小于0. 042⅓4、100i 5.2x-y+4=0解析：由题意知，△y=3(1+△x)2-4(1+△x)+2- 3+4-2=3(△x)2+2Ax,y=mA=2,所求直线的斜 △x+0△X 率k=2,则直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0. 6.「， 14,2 ）解析：函数e)-号242x+1的定文域为 Rf'(到=画+=-2x+2=(x-1)2+1≥1，当 △x 且仅当x=1时取等号，由α为曲线在点P处的切线的倾斜 角，得ma≥1，则牙≤a<受，所以a的取值范周为 [牙)月 7.x-2y+1=0解析：△y=f1+△x)-f1)=√(1+△x)2+1- 2=V(ax)2+2Ax+2-2,△x .△y-√（△x)2+2Ax+2-√2 △x ∴f'(1)=1imVA)+24x+2-2 △x0 △x (△x)2+2△x =A△）42a+2+W2 △x+2 √2 -/A2Ax+2+反 由八1)=2可知函数在x=1处的切线方程为y2= 2(x1), 参考答案 即x-√2y+1=0. 8.解：存在 Ay=li 由导数的定义知，y=m (x+△x)2+1-(+1=2x △x 设切点为(t,+1),因为y=2x,所以切线的斜率为 y'l==2t, 可得切线方程为y-(2+1)=2(x-t). 将(1，a)代人，得a-(2+1)=2t(1-t),即2-2+(a-1)=0. 因为切线有两条， 所以b2-4ac=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使 得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围 是(-0,2) 压轴挑战 解：(1)根据题意可知，将点P(1,2)的坐标分别代人两曲线方 程得到2=1+a,2=1+b+c.两个函数的导函数分别是f'(x)= m+a-)=30+a,g(x)=mx+)-8=2x+6 x+0△x 1+0 △x 又f'(1)=3+a,g'(1)=2+b,则3+a=2+b,解得a=1,b=2, c=-1. (2)如图，要使抛物线g(x)=x2+2x-1上的点M到直线y= 3x-2的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线 y=3k-2相同，则g(e)=2+2=3,解得x了又因为点N在抛 物线上，解得M2,4 11 ),所以最短距离即d的最小值为点M 到直线y=3x-2的距离，代入点到直线的距离公式得d= 1 之243而即最短矩窝为30 √32+(-1)2 40 40 =3x-2 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 白题 基础过关 1.AD 解折：(m牙）=(？)=0，故A正确：()= 2乙故B结误，(3)=3h3,故C错误，(w)2故 2 D正确。 2.A解桥f'()=m,所以f(受）=-1 1 3x2,x<0, 3.-1或 解析：由题意知∫'(x)= 1 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(舍去)； 当0ca<1时，=3，解得a= 1 黑白题27 所以a=-1或a=号故答案为-1或号 4.x4(答案不唯一)解析：取f(x)=x4,则f(x,x,)= (x1x2)-4=x4x24=f代x1)f代x2),满足性质①，∫'(x)=-4x5,当 x>0时，有f'(x)<0,满足性质②，f'(x)=-4x5的定义域为 {xx≠0}，关于原点对称，又f'(-x)=-4(-x)5=4x5= -∫'(x),故f'(x)是奇函数，满足性质③.故答案为f代x)=x4 (答案不唯一) 5.D解析：由题知切线的斜率k=tan 1T=-1,设切点坐标为 则f"(,)-1,又了"()，所以--1，解 得x0=1或-1，当x0=1时，y=1,当xo=-1时，y0=-1,所以 切点坐标为(1,1)或(-1，-1). 6.A解析：设切点坐标为(，x),由f(x)=x可得∫'(x)= 如，向时=1可得4及因此，商线回 的切线中斜率等于1的切线的条数为1. 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一， 如曲线+1在点（号？）处的切线与曲线有另外 个交点(1,2)，故A错误：对于B,过曲线上的一点作曲线的 切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点，但不是在该点 与曲线相切而是在其他地方相切，比如曲线y=x3与直线y= 3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外一点(-2，-8)，我们就 可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y=x3相切，但 切点是(1,1)而不是(-2，-8)，故B错误；对于C,若f'(x0) 不存在，则曲线y=f(x)在点(x。,f(xo)处无切线是错误的， 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f'(x。)不存在，但 曲线y=f代x)在点(x,f(x)处有切线，故C错误；对于D, 由曲线在一点有平行于y轴的切线，且函数在该点不连续， 则f'(xo)不一定存在，故D正确.故选ABC. &.BCD解标：直线y=子+6的斜率为k=子，由x)=的 导数为"（✉）=子<0，放A错误由)=2的导教为 f'(x)=2x,令2x= 2,解得x= 4,故B正确；由fx)=sinx 的号数为∫'(x)=,面=有解，故C正确；由 人)=e的导数为f"(x)=e,令。=子，解得x=-n2,故 D正确. 9.(x)=x(答案不唯一）解析：两条切线互相平行应先满足 在切点处的导数值相等， 例如f(x)=x3,f'(x)=3x2,f1)=1,f代-1)=-1， 此时f'(1)=3,f'(-1)=3, 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2,符合题意.故答案 可以为f(x)=x(答案不唯一) 10.解：AB为定值，.要使三角形面积最大，只需点P到直 线AB的距离最大，.点P是与直线AB平行且与抛物线相 切的切线的切点. 设点P(xyo),由题意知点P在x轴上方的图象上，即点P 又：kB=2六20 1 在函数y=x的图象上，∴.y= 2入x 子，得=1由%=，得%=1，…P1,1)。 选择性必修第二册·RJ 5.2.2导数的四则运算法则 白题 基础过关 1.D解析：由f八x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx-sinx. 2Ac解析：(-=3+分选项A正确：因为h2是 常数所2)-0，达项B特误（后器-号 选项C正确；(x·cosx)'=(x)'cosx+x(cosx)'=cosx xsinx,选项D错误. 3.C解析f”(三+()=3， 则10-'-1 3△x 4.5解析：因为f(x)=2x2+n,所以f"(x)=4x+,则 f'(1)=5. 5了+x(答案不唯一)解析：因为f'(x)是偶函数，设 fx)=ax3+bx,则f'(x)=3ax2+b,由题意可知f'(0)=b=1, fr(1)=3ab=0,解得a=宁6=1，放)=宁+红故满 1 足条件的函数可以为x)=3+x(答案不唯一）. 6.-4e解析：因为f(x)=xe+2yf'(1),所以f'(x)=(x+ 1)e*+2f'(1),所以f'(1)=2e+2f'(1),所以f'(1)=-2e, 所以f'(x)=(x+1)e*-4e,所以f'(-1)=-4e. 7.解：(1)y=(xe)'=5xe+xe. (2)y3sin 1)co cosin c0 sin'x sin'x 1 e'-e*lnx (3)y=2m2+ (e')2=2*n2+1-xlhx xe* 8.D解析：因为f(x)=x21nx-2x+2,所以f'(x)=2xlnx+x-2, 所以∫'(1)=2ln1+1-2=-1,所以曲线在点(1，f(1)处的 切线的斜率为-1，所以切线的倾斜角为135. 9.2x-y+e-4=0解析：因为y= ,所以y-2,当 x=1时，y=2,所以切线方程为y-(e-2)=2(x-1),整理 得2x-y+e-4=0. 10.解：(1)由题可得f'(x)=alnx+a,由直线y=x-1的斜率为 1,得f'(1)=1,即a=1. (2)由(1)知，f'(x)=nx+1,设切点坐标为(x,yo),则 f'(xo)=lnx+1,yo=xoln %o,又：直线l过点A(0,-e), 小lh6t1=l血+e ，整理得x=e,f'(e)=2,直线l的 方程为y+e=2(x-0),即2x-y-e=0. 黑题应用提优 1c解折：因为()=d所以() tan x (cos )'sin x-cos x(sin x)'-sin'-cos1 sin'x sin'x sin'x 四方法总结 求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导. 黑白题28