课时分层评价17 导数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价17　导数的概念 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v'(1)表示(　　) A.t＝1 s时的速度 B.t＝1 s时的加速度 C.t＝1 s时的位移 D.t＝1 s时的平均速度 答案：B 2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2 答案：C 解析：＝＝＝4＋2Δx.故选C. 3.函数y＝在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A.2 B.1 C. D.－ 答案：C 解析：y'｜x＝1＝＝＝＝＝.故选C. 4.在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　) A.④ B.③ C.② D.① 答案：B 解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.故选B. 5.(多选)设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，下列说法正确的是(　　) A.Δx可以是正数也可以是负数，但不能为0 B.函数值的改变量Δy为f(x0＋Δx)－f(x0) C.函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0)·Δx D.函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 答案：ABD 解析：由平均变化率的定义可知，自变量的改变量为Δx，函数值的改变量Δy为f(x0＋Δx)－f(x0)，平均变化率为＝，即A，B，D正确，C错误.故选ABD. 6.(多选)设函数f在x＝2处的导数存在，则－f'＝(　　) A. B. C. D. 答案：BC 解析：因为函数f在x＝2处的导数存在，所以＝－ ＝－f'，故B正确；又因为＝－＝－f'，故C正确.故选BC. 7.已知函数f(x)＝2x2＋3x，则f'(1)＝　　　　. 答案：7 解析：f'(1)＝＝＝(2Δx＋7)＝7. 8.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数等于2 025，则＝　　　　 . 答案：4 050 解析： ＝2 ＝2f'(x0)＝2×2 025＝4 050. 9.(双空题)已知函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为　　　　，则函数f(x)在x＝a处的导数为　　　　. 答案：2　6 解析：函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数g(x)在[2，3]上的平均变化率为＝＝2，由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.函数f(x)在x＝2处的导数为 ＝ ＝＝(Δx＋6)＝6. 10.(13分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，求： (1)函数从x1＝1到x2＝3的平均变化率； (2)函数在x＝2处的瞬时变化率； (3)当x为何值时，函数在x处的瞬时变化率等于从x1到x2的平均变化率. 解：(1)由题意得，函数在[x，x＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝2ax＋a·Δx＋b，取x＝1，Δx＝2， 则函数从x1＝1到x2＝3的平均变化率为＝4a＋b. (2)由(1)知，函数在x＝2处的瞬时变化率为＝(4a＋a·Δx＋b)＝4a＋b. (3)结合(1)(2)可知，函数在x＝2处的瞬时变化率等于从x1到x2的平均变化率. (11—13，每小题5分，共15分) 11.一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在时刻t＝1 s时的加速度为(　　) A.9 m/s B.9 m/s2 C.8 m/s2 D.7 m/s2 答案：C 解析：由题意得，＝＝8－Δt，当Δt无限趋近于0时，可得汽车在时刻t＝1 s时的加速度为8 m/s2. 12.已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 答案：D 解析：因为f(x)在a到b之间的平均变化率是，g(x)在a到b之间的平均变化率是，又因为f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，所以＝，故A，B错误；易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确.故选D. 13.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　. 答案：[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 14.(15分)某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)产量由1 000台提高到1 500台时，求总利润的平均变化率； (2)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义. 解：(1)当产量由1 000台提高到1 500台时， 总利润的平均变化率为 ＝ ＝2 000(元/台). (2)设x＝1 000时产量的改变量为Δx1， 则＝ ＝ ＝－2Δx1＋3 000， 令Δx1→0，可得c'(1 000)＝3 000. 设x＝1 500时产量的改变量为Δx2， 则＝ ＝＝－2Δx2＋1 000， 令Δx2→0，可得c'(1 500)＝1 000. c'(1 000)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3 000元； c'(1 500)的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获利1 000元. 15.(5分)已知函数f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋2 025)，则函数f(x)在x＝0处的导数为　　　　. (注：1×2×3×…×n＝n！(n∈N*)) 答案：2 025！ 解析：Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 025)， ＝＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 025)，f'(0)＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 025)＝1×2×3×…×2 025＝2 025！. 16.(17分)试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大. 解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝. 当自变量从＋Δx时，函数的平均变化率为k2＝＝. 由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负. 当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2； 当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝. 因为Δx＜0，所以Δx－＜－， 所以sin ＜－， 从而有sin ＜－1， sin ＋1＜0，所以k1－k2＞0， 即k1＞k2. 综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率. 学科网（北京）股份有限公司 $