课时分层评价12 数列求和(一)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价12　数列求和(一) (时间：60分钟　满分：105分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{}的前10项的和为(　　) A.×(49－1) B.×(410－1) C.×(49－1) D.×(410－1) 答案：D 解析：数列{}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为＝×(410－1).故选D. 2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A.2n＋n2－1 B.＋n2－1 C.2n＋n－2 D.＋n2－2 答案：D 解析：由题可设数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an，即Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]，所以Sn＝＋，故Sn＝＋n2－2.故选D. 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋＝3，Sn为其前n项和，则等于(　　) A.3 035 B.3 036 C.3 037 D.3 038 答案：C 解析：由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 025＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＋a2 025＝3×1 012＋1＝3 037.故选C. 4.(2025·天津高二月考)在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝(　　) A.445 B.765 C.1 080 D.3 105 答案：B 解析：依题意由an＋1＝an＋3可得an＋1－an＝3为定值，因此可知数列{an}是以a1＝－60为首项，d＝3为公差的等差数列，可得an＝a1＋(n－1)d＝3n－63，所以当n≤21时，an≤0，当n＞21时，an＞0，所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋…＋a30＝－(a1＋a21)＋(a22＋a30)＝－×(－60＋0)＋×(3＋27)＝765.故选B. 5.(多选)若数列{an}是首项为1的正项数列，＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝－n－2 答案：AB 解析：＝2an＋3，所以＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)，所以an＝－3，所以a3＝13，所以Sn＝－3n＝－3n－4.故选AB. 6.(多选)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＋b2＝7，a3＋b3＝13.记cn＝数列{cn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A.an＝2n－1 B.bn＝2n C.S9＝1 409 D.S2n＝2n2－n＋(4n－1) 答案：ABD 解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q≠0)，依题意有故an＝2n－1，bn＝2n，故A，B正确；则c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，所以数列{cn}的前2n项和S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝＋＝2n2－n＋×(4n－1)，S9＝S8＋a9＝368＋17＝385，故C错误，D正确.故选ABD. 7.已知数列{an}的通项公式an＝2n－1，则其前n项和Sn＝　　　　　　　　　　. 答案：－n－2，n∈N* 解析：因为an＝2n－1，所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝－n－2，n∈N*. 8.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝　　　　. 答案：－200 解析：S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 9.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1＝－2，a2 024＝8，则这个数列的前2 024项的和为　　　　. 答案：6 072 解析：设等和数列的公和为m.因为a1＝－2，所以a2＝m＋2，a3＝－2，a4＝m＋2，a5＝－2，…，所以an＝又a2 024＝m＋2＝8，所以m＝6，所以S2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＝1 012×6＝6 072. 10.(13分)已知等比数列的各项均为正数，且a1＋a2＝4，9＝a2a6. (1)求数列的通项公式； (2)设bn＝an＋log3an，求数列的前n项和. 解：(1)设正项等比数列的公比为q，因为a1＋a2＝4，9＝a2a6， 所以 所以an＝a1qn－1＝3n－1. (2)由(1)可得bn＝3n－1＋n－1，设数列的前n项和为Sn， 则Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋(0＋1＋…＋n－1) ＝＋＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知数列满足a1＝1，an＋an＋1＝2n，则下列结论中正确的是(　　) A.a4＝5 B.为等比数列 C.a1＋a2＋…＋a2 024＝ D.a1＋a2＋…＋a2 025＝ 答案：ACD 解析：a1＝1，则a1＋a2＝2，a2＝1 ，又a2＋a3＝4，a3＝3 ，同理a3＋a4＝23，a4＝5 ，故A正确；而＝1，＝3 ，故不是等比数列，B错误；a1＋a2＋…＋a2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＝21＋23＋…＋22 023＝＝＝；故C正确；a1＋a2＋…＋a2 025＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025)＝1＋22＋24＋…＋22 024＝1＋＝＝ ，故D正确.故选ACD. 12.已知函数f(x)＝(x∈R)，等差数列{an}满足a2 025＝0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a4 049)＝　　　　. 答案： 解析：f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝1.依题意{an}是等差数列，且a2 025＝0，令S＝f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f()，S＝f()＋f()＋f()＋…＋f(a1)，结合等差数列的性质，两式相加得2S＝1×4 049，S＝. 13.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＋＋＋…＋＝　　　　. 答案：1 033 解析：因为数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，因为{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝1×2n－1＝2n－1，所以＝2n－1＋1，所以＋＋＋…＋＝(20＋2＋22＋…＋29)＋10＝＋10＝1 033. 14.(15分)(2025·北京海淀高二期中)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a4＝10，数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝2bn＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn＋1}是等比数列； (3)设cn＝＋log2(bn＋1)，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设{an}的公差为d，则a1＋d＋a1＋3d＝10，又a1＝1，解得d＝2. 则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，故所求通项公式为an＝2n－1. (2)证明：由于b1＋1＝2≠0，bn＋1＋1＝(2bn＋1)＋1＝2(bn＋1)，故{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. (3)由(2)知，{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而bn＋1＝2n，cn＝＋log2(bn＋1)＝22n－1＋log22n＝22n－1＋n， 分别使用等比数列和等差数列的求和公式，可得 Sn＝＋＝－＋. 所以Sn＝－＋. 15.(17分)(新定义)对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn＋1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”. (1)若an＝2n，bn＝3·2n，n∈N*，判断数列{an}，{bn}是不是“M类数列”； (2)若数列{an}是“M类数列”，求证：数列{an＋an＋1}也是“M类数列”； (3)若数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝3t·2n(n∈N*，t为常数)，求数列{an}的前2 024项和. 解析：(1)由an＝2n，得an＋1＝2(n＋1)，则an＋1＝an＋2，n∈N*，故数列{an}是“M类数列”. 由bn＝3·2n，得bn＋1＝3·2n＋1，则bn＋1＝2bn，n∈N*，故数列{bn}是“M类数列”. (2)证明：若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q，使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，显然an＋2＝pan＋1＋q对于任意n∈N*都成立， 因此(an＋1＋an＋2)＝p(an＋an＋1)＋2q对于任意n∈N*都成立， 故数列{an＋an＋1}也是“M类数列”. (3)因为an＋an＋1＝3t·2n(n∈N*)，所以a1＋a2＝3t·21，a3＋a4＝3t·23，…，a2 021＋a2 022＝3t·22 021，a2 023＋a2 024＝3t·22 023， 设数列{an}的前n项和为Sn， 则数列{an}的前2 024项和S2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 021＋a2 022)＋(a2 023＋a2 024)＝3t(21＋23＋…＋22 023)＝3t·＝2t(41 012－1). 学科网（北京）股份有限公司 $