课时分层评价27 函数的最大(小)值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价27　函数的最大(小)值 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(2025·黑龙江哈尔滨高二期中)下列命题中，真命题是(　　) A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 答案：B 解析：函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误.故选B. 2.函数f＝x3－3x(　　) A.有最大(小)值，但无极值 B.有最大(小)值，也有极值 C.既无最大(小)值，也无极值 D.无最大(小)值，但有极值 答案：C 解析：f'＝3x2－3＝3，当x∈时，f'＜0，所以f上单调递减，因此函数f无最大值和最小值，也无极值.故选C. 3.(2025·北京海淀区高二联考)函数f(x)＝x2－27ln x在区间[1，2]上的最大值是(　　) A.0 B. C.1 D. 答案：D 解析：f'(x)＝3x－＝，定义域为(0，＋∞)，令f'(x)＞0，解得x＞3，令f'(x)＜0，解得0＜x＜3，所以f(x)在(3，＋∞)上单调递增，在(0，3)上单调递减，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)＝.故选D. 4.(2025·安徽合肥高二模考)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a) 答案：A 解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为f'(x)＜g'(x)，所以F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上单调递减，所以F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).故选A. 5.(多选)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在上的最值情况为(　　) A.最大值为12 B.最大值为5 C.最小值为－8 D.最小值为－15 答案：AC 解析：由题意得y'＝6x2－6x－12，令y'＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1，或x＝2，当－2＜x＜－1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜0，故x＝－1是函数的极大值点，则函数的极大值即为上的最大值，为2×(－1)3－3＋12＋5＝12，故A正确，B错误；而当x＝－2时，y＝1，当x＝1时，y＝－8，故函数在上的最小值为－8，故C正确，D错误.故选AC. 6.(多选)已知函数y＝f的导函数y＝f'的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.x＝c时，f取得极大值 B.x＝d时，f取得最小值 C.f＜f＜f D.f＜f＜f 答案：ACD 解析：结合导函数的图象可知，f上单调递增，则f＜f＜f，故C正确；在上单调递减，则f＜f＜f，故D正确；由于f＜f，显然f不是最小值，故B错误；又f上单调递增，在上单调递减，则x＝c时，f取得极大值，故A正确.故选ACD. 7.函数y＝xex在x∈上的最小值为　　　　　　　. 答案：2e2 解析：因为y＝xex，所以y'＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x∈时， y'＝(1＋x)ex＞0，所以函数y＝xex在区间上单调递增，所以当x＝2时，函数y＝xex取得最小值，ymin＝2e2，所以函数y＝xex在x∈上的最小值为2e2. 8.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为　　　　. 答案：－37 解析：因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(0)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37. 9.(双空题)函数f(x)＝(x∈[－2，2])的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 答案：2　－2 解析：f'(x)＝＝＝，令f'(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.因为当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f'(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f'(x)＞0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，当x＝1时，f(x)取得极大值，因为f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2. 10.(13分)求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； (2)f(x)＝x2－ln x. 解：(1)f'(x)＝cos x－sin x. 令f'(x)＝0，即tan x＝1， 且x∈，所以x＝. 又因为f＝，f＝－1，f＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f ＝－1. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝x－＝， 当f'(x)＝0时，x＝1(－1舍去)， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)无最大值，且当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·四川雅安高二模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是(　　) A.0 B.3 C.18 D.20 答案：D 解析：因为f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，在(1，2)和(－3，－1)上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上｜f(x1)－f(x2)｜≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20.故选D. 12.已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间(k，2)上的最大值为28，则实数k的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，－3) 解析：因为f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以f'(x)＝3x2＋6x－9，令f'(x)＝3x2＋6x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以x∈(－∞，－3)和(1，＋∞)时，f'(x)＞0，x∈(－3，1)时，f'(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，函数f(x)在(－3，1)上单调递减，则f(x)在内单调递增，所以在内，f(2)最大；f(x)在(－3，1)上单调递减，所以在内，f(－3)最大；f(x)在(－∞，－3)上单调递增，所以在(－∞，－3]内，f(－3)最大；因为f(2)＝3，f(－3)＝28，且f(x)在区间(k，2)上的最大值为28，所以k＜－3. 13.(2025·湖北荆州模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y＝f(x)及其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点(0，1)，则g(x)＝的最大值为　　　　. 答案：1 解析：由题意可知，虚线部分为y＝f'(x)的图象，实线部分为y＝f(x)的图象，g'(x)＝＝，由题中图象可知当x∈(－∞，0)时，g'(x)＝＞0，故g(x)＝单调递增，当x∈(0，＋∞)时，g'(x)＝＜0，故g(x)＝单调递减，所以函数g(x)＝在x＝0处取得极大值，也为最大值，即＝1. 14.(15分)已知函数f(x)＝(2－x)ex. (1)求函数f(x)在区间[－1，2]上的最值； (2)当x＞0时，证明：f(x)＜x2－x＋2e. 解：(1)因为f(x)＝(2－x)ex， 所以f'(x)＝－ex＋(2－x)ex＝(1－x)ex， 当－1≤x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当1＜x≤2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 而f(－1)＝，f(1)＝e，f(2)＝0， 所以函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值为e，最小值为0. (2)证明：记g(x)＝f(x)－x2＋x－2e＝(2－x)ex－x2＋x－2e，x＞0， 则g'(x)＝(1－x)(ex＋1)， 当0＜x＜1时，g'(x)＞0，g(x)单调递增； 当x＞1时，g'(x)＜0，g(x)单调递减. 则g(x)的最大值为g(1)＝－e，而－e＜0， 故g(x)＜0，即当x＞0时，f(x)＜x2－x＋2e. 15.(5分)(原创题)当x＞－1时，下列结论正确的是(　　) A.1－≤x≤ln(x＋1) B.1－≤ln(x＋1)≤x C.x≤ln(x＋1)≤1－ D.ln(x＋1)≤1－≤x 答案：B 解析：设f(x)＝ln(x＋1)－x，x＞－1，则f'(x)＝－1＝－.当－1＜x＜0时，f'(x)＞0，即f(x)在(－1，0)上单调递增；当x＞0时，f'(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减.于是函数f(x)在(－1，＋∞)上的最大值为f(x)max＝f(0)＝0，因此，当x＞－1时，f(x)≤f(0)＝0，即ln(x＋1)－x≤0，即ln(x＋1)≤x. 设g(x)＝ln(x＋1)＋－1，x＞－1， 则g'(x)＝－＝. 当x∈(－1，0)时，g'(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，g'(x)＞0. 即g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故函数g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(x)min＝g(0)＝0，所以当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，即ln(x＋1)＋－1≥0， 所以ln(x＋1)≥1－.综上可知，当x＞－1时，恒有1－≤ln(x＋1)≤x.故选B. 16.(17分)已知函数f(x)＝xln x＋x. (1)当a＝0时，关于x的方程f(x)＝m在区间内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)求函数f(x)在区间上的最小值. 解：(1)当a＝0时，f(x)＝xln x－x，x∈， 则f'(x)＝ln x＋1－1＝ln x， 令f'(x)＞0，得1＜x≤3； 令f'(x)＜0，得≤x＜1， 所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 且f＝－ln 2－，f＝－1，f＝3ln 3－3，－ln 2－＜0＜3ln 3－3， 要使关于x的方程f(x)＝m在区间内有两个不相等的实数根， 则－1＜m≤－ln 2－，即实数m的取值范围为. (2)由f(x)＝xln x＋x，x∈， 则f'(x)＝ln x＋a，由f'(x)＝0得x＝e－a. ①当e－a≤，即a≥1时，f'(x)≥0，f(x)在上为增函数， 则f(x)min＝f＝； ②当＜e－a＜e，即－1＜a＜1时，在x∈时，f'(x)≤0，f(x)为减函数， 在x∈时，f'(x)＞0，f(x)为增函数， 则f(x)min＝f＝－e－a； ③当e－a≥e，即a≤－1时，f'(x)≤0，f(x)在上为减函数， 则f(x)min＝f＝ea. 综上所述，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $