课时分层评价11 求数列的通项-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价11　求数列的通项 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(2025·河南南阳六校联考)已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则a11＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：a11＝a10＝×a9＝××a8＝…＝××××…××a1＝a1＝.故选B. 2.已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A.3 B.18 C.54 D.152 答案：C 解析：由题意可得，当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2　①，当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2　②，联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝2×33＝54.故选C. 3.(2024·河北石家庄高二期末)设数列{an}满足a1＝4，an＋1＝an＋2，则a100＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：在数列{an}中，由an＋1＝an＋2，得an＋1－3＝(an－3)，而a1－3＝1，因此数列{an－3}是首项为1，公比为的等比数列，an－3＝1×()n－1，即an＝3＋，所以a100＝.故选D. 4.(2025·广东名校联盟期末)已知数列{an}满足an＋1－an＝4n，a1＝8，则的最小值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.8 答案：C 解析：由an＋1－an＝4n，a1＝8，可得n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝8＋4[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝8＋4×＝2n2－2n＋8.又a1＝8符合上式，所以an＝2n2－2n＋8，则＝2n＋－2.因为当x＞0时，2x＋≥2＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立，所以当n＝2时，取最小值，为6.故选C. 5.(多选)已知无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，则下列结论正确的是(　　) A.若{an}是等比数列，则an＝2n B.若{an}满足an＋3＝an，则a2 025＝4 C.若{an}满足an＋3＝an，则a2 025＝8 D.若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝n2－n＋2 答案：ACD 解析：无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，若{an}是等比数列，则首项为2，公比为2，所以an＝2n，故A正确；若{an}满足an＋3＝an，则该数列是最小正周期为3的周期数列，a2 025＝a3×675＝a3＝8，故B错误，C正确；若{an}满足an＋1＝2n＋an，则当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，得an＝(2n－2)＋(2n－4)＋(2n－6)＋…＋4＋2＋2＝n2－n＋2，a1＝2也满足上式，故D正确.故选ACD. 6.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　) A.数列{Sn＋n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an＝－1 C.数列{an＋1}为等比数列 D.数列{－Sn＋1}为等比数列 答案：AD 解析：因为＝2Sn＋n－1，所以＝＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－＝－1，但a1≠21－1－1，故B错误；由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误；由Sn＝2n－n，所以－Sn＋1＝2Sn＋n－1－Sn＋1＝Sn＋n＝2n－n＋n＝2n，故D正确.故选AD. 7.观察数列，－，(　　)，－，，(　　)…的特点，则括号中应填入的适当的数为　　　　. 答案：　－ 解析：由题可得数列的通项公式为an＝(－1，所以a3＝，a6＝－. 8.已知数列{an}中，a1＝3，＝3an＋2·，n∈N*，则数列{an}的通项公式为　　　　. 答案：an＝(2n－1)·3n 解析：由＝3an＋2·，得＝＋，所以－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n. 9.(双空题)已知数列{an}满足a1＝1，若an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　　；若an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　. 答案：　 解析：当an＋1＝时，得＝＋，又a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝(n＋1)，所以数列{an}的通项公式为an＝.当an＋1＝时，得＝＋1，所以＋1＝2(＋1).又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝. 10.(13分)(开放题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4.有以下三个条件： ①an＋1＝4an－4an－1(n≥2)； ②nan＋1＝2(n＋1)an； ③a1＋＋＋…＋＝(n∈N*). 从上述三个条件中任选一个条件，求数列{an}的通项公式. 解：选①：由an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，得an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 故{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝2，公比为2的等比数列， 则an＋1－2an＝2·2n－1＝2n， 等式两边同除以2n＋1得－＝， 所以＝，公差为的等差数列， 则＝＋(n－1)＝n， 所以an＝n·2n－1. 选②：由nan＋1＝2(n＋1)an得＝， 故当n≥2时，··…·＝··…·， 化简得＝n·2n－1，即an＝n·2n－1，当n＝1时，a1＝1也满足an＝n·2n－1，所以an＝n·2n－1. 选③：因为a1＋＋＋…＋＝(n∈N*)　①， 所以当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝　②， 由①－②得＝n，故an＝n·2n－1，当n＝1，a1＝1也满足，所以an＝n·2n－1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2 025＝(　　) A.22 024－2 B.22 025－2 C.22 026－2 D.22 027－2 答案：C 解析：当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2，当n≥2时，＋2(n－1)＝2，Sn＋2n－－2(n－1)＝2an－2，即an＝2＋2，所以an＋2＝2(＋2)，＝2，{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，以2为公比的等比数列.所以an＋2＝4·，an＝－2，a2 025＝22 026－2.故选C. 12.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋3SnSn－1＝0(n≥2)，则下列结论正确的是(　　) A.是等差数列 B.Sn＝ C.an＝－ D.是等比数列 答案：ABD 解析：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－Sn－1＋3SnSn－1＝0，所以－＝3，所以数列＝＝3为首项，3为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×3＝3n，所以Sn＝，故A，B正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，所以an＝故C错误；由Sn＝，得＝＝ ，所以是等比数列.故选ABD. 13.设正项数列{an}满足a1＝1，an＝2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　. 答案：an＝ 解析：当n≥2时，对an＝2两边同时取对数，得log2an＝2log2an－1＋1，即log2an＋1＝2(log2an－1＋1)，设bn＝log2an＋1，则bn＝2bn－1(n≥2)，所以数列是以b1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1，所以log2an＋1＝2n－1，所以an＝(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，故an＝. 14.(15分)某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25％，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.301) 解：设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，n∈N*. 则由已知得＝an(1＋25％)－200， 即＝an－200. 令－x＝(an－x)，即＝an－， 由＝200，得x＝800. 所以－800＝(an－800). 故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列. 因为a1＝1 000×(1＋25％)－200＝1 050， 所以a1－800＝250， 所以an－800＝250×(， 所以an＝800＋250×((n∈N*). 由题意知an≥4 000， 所以800＋250×(≥4 000， 即()n≥16. 两边取常用对数得nlg ≥lg 16， 即n(1－3lg 2)≥4lg 2. 因为lg 2≈0.301， 所以n≥12.41. 故经过13年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标. 15.(5分)已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋()n(n≥2且n∈N*).若an＜M恒成立，则M的最小值是(　　) A.2 B. C. D.3 答案：C 解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋()n(n≥2且n∈N*)，所以an－an－1＝()n，所以n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋()2＋()3＋()4＋…＋()n＝2＋ ＝－()n＜.因为an＜M恒成立，所以M≥，a1＝2＜也成立，所以M的最小值是.故选C. 16.(17分)已知数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)－n＋an＋1an＝0，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n，且b1＝2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求＋＋＋…＋. 解：(1)由(n＋1)－n＋an＋1an＝0， 可得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. 又数列{an}是首项为1的正项数列， 所以an＋1＋an＞0， 所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝， 所以＝(n≥2)， 则有an＝××…××a1＝××…××1＝(n≥2).当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n， 则有bn－bn－1＝2n－1(n≥2)， 所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝＋2＝2n(n≥2). 又b1＝2也满足bn＝2n， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)由(1)知＝n×2n， 设Sn＝＋＋＋…＋， 则Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，① 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，② ①－②，可得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $