课时分层评价13 数列求和(二)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价13　数列求和(二)

(时间：60分钟　满分：105分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9，每小题5分，共45分)

1.在数列{an}中，a1＝1，对于任意自然数n，都有＝an＋n·2n，则等于(　　)

A.99·＋2 B.98·299 ＋2

C.99·＋3 D.98·2100＋3

答案：D

解析： －an＝n·2n，所以a2－a1＝1·21，a3－a2＝2·22，a4－a3＝3·23，… ，an－＝(n－1)·，以上n－1个等式，累加得an－a1＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·①，又因为2an－2a1＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－2)·＋(n－1)·2n②，①－ ②得a1－an＝(2＋22＋23＋…＋)－(n－1)·2n＝－(n－1)·2n＝(2－n)·2n－2，所以an＝(n－2)·2n＋3(n≥2)，所以a100＝98·2100＋3.故选D.

2.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}的前100项之和为(　　)

A.6－ B.6－

C. D.

答案：B

解析：设数列{an}的前n项和为Sn，因为an＝，所以Sn＝1＋＋＋…＋，则有Sn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝1＋(1＋＋＋＋…＋)－＝1＋－＝3－，所以Sn＝6－，则有S100＝6－.故选B.

3.(2025·安徽部分高中阶段检测)已知正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且{}为等差数列.设cn＝，若数列{cn}的前k项和为10，则k＝(　　)

A.30 B.31 

C.40 D.41

答案：C

解析：由题知＝1，＝4，则等差数列{}的公差为3，所以＝3n－2，所以an＝，所以cn＝＝－，所以数列{cn}的前n项和为Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.由Sk＝－1＝10，得k＝40.故选C.

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，a1＝1，a3＝a2＋2.若数列{bn}的前n项和为Tn，an＋1＝bnSn＋1Sn，n∈N*，则T9＝(　　)

A. B. 

C. D.

答案：C

解析：因为a1＝1，a3＝a2＋2，所以a1q2＝a1q＋2，即q2－q－2＝0，所以q＝2，或q＝－1，因为q＞0，所以q＝2，所以an＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1.因为an＋1＝bnSn＋1Sn，所以Sn＋1－Sn＝bnSn＋1Sn，所以bn＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝1－，所以T9＝1－＝.故选C.

5.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a8＝31，S10＝210，则(　　)

A.数列是公比为8的等比数列

B.S19＝19a10

C.若bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前2 025项和为－4 051

D.若bn＝，则数列{bn}的前2 025项和为

答案：BCD

解析：由题意，设{an}的公差为d，则有解得a1＝3，d＝4，故an＝4n－1.对于A，＝，令cn＝，则当n≥2时，＝＝28，则数列是公比为28的等比数列，故A错误；对于B，由等差数列的性质可知S19＝＝＝19a10，故B正确；对于C，bn＝(－1)n·an＝(－1)n·(4n－1)，则{bn}的前2 025项和T2 025＝－3＋7－11＋15－…＋8 095－8 099＝4×1 012－8 099＝－4 051，故C正确；对于D，bn＝＝，则{bn}的前2 025项和＝－＋－＋…＋－)＝，故D正确.故选BCD.

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1，数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是(　　)

A.数列{an}的通项公式为an＝3n－1

B.{lg an}为等差数列

C.Tn的取值范围是［，)

D.数列{bn}的通项公式为bn＝

答案：BCD

解析：当n＝1时，S1＝a1－1，则a1＝2，由Sn＝an－1得，当n≥2时，Sn－1＝an－1－1，两式相减得，an＝(an－an－1)，则＝3，所以{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2×3n－1，故A错误；lg an＝lg(2·3n－1)＝lg 2＋lg 3n－1＝(n－1)lg 3＋lg 2，所以lg an＋1－lg an＝nlg 3＋lg 2－(n－1)lg 3－lg 2＝lg 3，所以{lg an}是以lg a1＝lg 2为首项，lg 3为公差的等差数列，故B正确；Sn＝×2×3n－1－1＝3n－1，则bn＝，故D正确；bn＝×＝－)，所以Tn＝［(