课时分层评价5 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价5　等差数列的前n项和公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.下列公式中不是等差数列前n项和的是(　　) A.Sn＝ B.Sn＝a1＋(n－1)d C.Sn＝na1＋d D.Sn＝n2＋n 答案：B 解析：由等差数列的前n项和公式得A，C，D正确.故选B. 2.5＋10＋15＋…＋100＝(　　) A.1 000 B.1 005 C.1 050 D.1 500 答案：C 解析：设5，10，15，…，100为数列{an}，易知{an}为等差数列，公差d＝5，所以an＝5＋(n－1)×5＝5n，当5n＝100时，n＝20，所以5＋10＋15＋…＋100＝＝1 050.故选C. 3.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3(n－1)＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.故选C. 4. (2023·全国甲卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A.25 B.22 C.20 D.15 答案：C 解析：法一：设等差数列的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C. 法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C. 5.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则(　　) A.an＝n＋3 B.an＝2n－4 C.Sn＝n2＋n D.Sn＝n2－n 答案：AC 解析：因为S9＝72，a7＝10， 所以所以an＝4＋(n－1)×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选AC. 6.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn图象的是(　　) 答案：ABC 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.故选ABC. 7.(2025·湖北宜昌高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝390，S10＝54，Sn－10＝244，则n＝　　　　. 答案：39 解析：因为Sn－＝an＋＋＋…＋＝146，S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝54，所以10(a1＋an)＝200，a1＋an＝20，由Sn＝＝390，得n＝39. 8.(2025·江西南昌高二月考)已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋2)2＋λ，则λ的值为　　　　. 答案：－4 解析：因为等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋(a1－)n，又Sn＝(n＋2)2＋λ＝n2＋4n＋4＋λ，所以4＋λ＝0，解得λ＝－4. 9.(双空题)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝　　　　，T30＝　　　　. 答案：24　650 解析：因为Sn＝10n－n2，所以当n＝1时，a1＝S1＝9.当n≥2时，an＝Sn－＝11－2n.又a1＝9适合上式，所以an＝11－2n.当1≤n≤5时，an＞0，bn＝an；当n＞5时，an＜0，bn＝－an＝2n－11.故T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－(a6＋a7＋…＋a30)＝2S5－S30＝2(10×5－52)－10×30＋302＝650. 10.(13分)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2 550，求a和k的值； (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值. 解：(1)由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3， 所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50，或k＝－51(舍去)，所以a＝3，k＝50. (2)由(1)知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1， 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是(　　) A.a1＝4 B.d＝ C.数列{an}是递减数列 D.数列{Sn}是等差数列 答案：AB 解析：由题意知，故A，B正确；因为d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－Sn－1＝an＝4＋(n－1)×＝n＋(n≥2)，不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，故D错误.故选AB. 12.在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝　　　　. 答案：－1 解析：因为an＝4n－，所以{an}为等差数列，设其公差为d，则a1＝，d＝4，所以an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n，所以a＝2，b＝－，所以ab＝－1. 优解：因为等差数列的通项公式和前n项和公式可以分别表示为an＝dn＋(a1－d)，Sn＝n2＋(a1－)n，观察两个式子的特征可以发现，前n项和公式中n2的系数与通项公式中n的系数d之间存在倍数关系，所以由an＝4n－，直接设Sn＝2n2＋bn，再由a1＝S1，知4×1－＝2＋b，解得b＝－，所以a＝2，b＝－，即ab＝－1. 13.(双空题)(2025·四川绵阳高二月考)已知函数f(x)＝1＋ln ，设a1＝1，an＝f()＋f()＋f()＋…＋f()(n∈N*，n≥2). (1)计算f(x)＋f(1－x)的值为　　　　； (2)数列{an}的通项公式为　　　　. 答案：(1)2　(2) 解析：(1)f(x)＋f(1－x)＝1＋ln ＋1＋ln ＝2. (2)由题知，当n≥2时，an＝f()＋f()＋f()＋…＋f()， 又an＝f()＋f()＋…＋f()， 两式相加，得2an＝［f()＋f()］＋［f()＋f()］＋…＋［f()＋f()］＝2(n－1)， 所以an＝n－1. 又a1＝1不符合an＝n－1，所以an＝ 14.(15分)已知在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足8Sn＝. (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)若bn＝an－30，求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：由8Sn＝，得当n＝1时，8a1＝，解得a1＝2； 当n≥2时，8Sn－1＝，所以8Sn－8Sn－1＝－， 所以8an＝－＋4an－4an－1，整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0， 因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝4，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列. (2)由(1)知，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 因为bn＝an－30，所以bn＝2n－31， 因为当n≥2时，bn－bn－1＝2，所以是等差数列. 又b1＝－29，所以Tn＝＝＝n2－30n. 15.(5分)(新定义)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是　　　　. 答案：35 解析：设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，则由 解得 16.(17分)(开放题)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn.数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30，再从①＋an＝2Sn，②a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2这两个条件中任选一个作为已知条件，求解下列问题： (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围. 解：方案一：选条件①. (1)由＋an＝2Sn， 得＋an－1＝2Sn－1(n≥2)， 两式相减可得－＋an－an－1＝2an， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0. 又an＞0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1， 所以数列{an}为等差数列. 当n＝1时，a1＝1， 所以an＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝＝. (2)因为数列为等差数列，设公差为d，由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k·≥6n，即k≥＝对任意n∈N*恒成立， 所以k≥6. 方案二：选条件②. (1)因为当n≥2时，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 所以当n≥2时，数列{an}为等差数列， 又a2＝2，所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×2＝2n－2， 所以an＝ Sn＝9＋＝n2－n＋9. (2)因为数列为等差数列，设公差为d，由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k≥＝对任意n∈N*恒成立. 因为n＋－1≥2－1＝5，当且仅当n＝3时取等号， 所以≤，所以k≥. 学科网（北京）股份有限公司 $