课时分层评价7 等比数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价7　等比数列的概念及其通项公式 (时间：90分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知数列的通项公式为an＝3×，则数列是(　　) A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列 C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列 答案：A 解析：因为a1＝1，＝＝，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故选A. 2.已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于(　　) A.32 B.－32 C.64 D.－64 答案：D 解析：法一：由题意知，a4＝a1q3＝－q3＝8，所以q＝－2，所以a7＝a1q6＝－(－2)6＝－64.故选D. 法二：由题意知，a4是a1，a7 的等比中项 ，所以＝a1×a7 ，所以 a7＝－64.故选D. 3.在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A.1 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－2 答案：C 解析：法一：由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C. 法二：因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C. 4.已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，且公比为q，则q3＋q2＋q的值为(　　) A.0 B.1 C.3 D.不确定 答案：B 解析：依题意，有q3＋q2＋q＝＋＋＝1.故选B. 5.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 答案：ABD 解析：对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确.故选ABD. 6.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　) A.q＞1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q＞1 C.0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D.q＞1⇒/{an}为递增数列，且{an}为递增数列⇒/q＞1 答案：ABC 解析：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，故A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…是递增数列，但q＝＜1，故B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，故C不正确.故选ABC. 7.(开放题)(2025·北京丰台高二期中)等比数列满足如下条件：①a1＞0；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝　　　　. 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 8.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为　　　　　　. 答案：80，40，20，10 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，所以q5＝，所以q＝.所以这4个数依次为80，40，20，10. 9.已知a，1，b成等差数列，a2，1，b2成等比数列，则＝　　　　. 答案：1或 解析：因为a，1，b成等差数列，所以a＋b＝2.又因为a2，1，b2成等比数列，所以a2b2＝1，所以ab＝±1，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2或6，所以＝1或＝. 10.(13分)在各项均为负数的数列{an}中，2an＝3，且a2·a5＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解：(1)因为2an＝3， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以)5＝()3，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－()n－2(n∈N*). (2)设an＝－，则－＝－()n－2，()n－2＝()4，所以n＝6， 所以－是该数列的项，为第6项. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·天津模拟)已知正项等比数列{an}中，a4，3a3，a5成等差数列，若数列{an}中存在两项am，an，使得a1为它们的等比中项，则＋的最小值为(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 答案：B 解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由a4，3a3，a5成等差数列，得6a3＝a4＋a5，即6a3＝a3q＋a3q2，又a3＞0，所以q2＋q－6＝0，由q＞0，解得q＝2，若数列{an}中存在两项am，an，使得a1为它们的等比中项，则(a1)2＝am·an，即2＝a1·2m－1·a1·2n－1，得2m＋n－2＝2，则m＋n＝3， 故＋＝＋)(m＋n)＝(1＋＋＋4)≥(5＋2)＝3，当且仅当＝，即m＝1，n＝2时等号成立，所以＋的最小值为3.故选B. 12.等比数列{an}的公比为q，且｜q｜≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于　　　　. 答案：11 解析：因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝·q10＝－q10，am＝a1＝－，所以－q10＝－，所以10＝m－1，所以m＝11. 13.(新定义)若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式为bn＝　　　　. 答案：3n－1 解析：根据题意，“追梦数列”{an}满足－＝0(n∈N*)，即an＝3an＋1，则数列{an}是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则＝×()n－1＝，则bn＋1＝3n，则bn＝3n－1. 14.(17分)已知在数列{an}中，a1＝1且2＝6an＋2n－1(n∈N*). (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为2＝6an＋2n－1(n∈N*)，所以＝3an＋n－， 所以＝＝＝3. 因为a1＋＝1＋＝， 所以为等比数列，首项为，公比为3. (2)由(1)得，an＋＝×3n－1＝×3n， 所以an＝×3n－. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新情境)如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.故选C. 16.(新定义)(多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比.下列说法正确的是(　　) A.等差数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 答案：BCD 解析：对于等差数列{an}，考虑an＝1，＝1，＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则－＝0，则－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1，q≠1，＝＝＝q，故D正确.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $