课时分层评价1 数列的概念与简单表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价1　数列的概念与简单表示 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　) A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 答案：A 解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A. 2.(2025·吉林长春期中)数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A.an＝(－1)n B.an＝(－1)n C.an＝(－1)n＋1 D.an＝(－1)n＋1 答案：B 解析：数列各项可改写为：(－)1，(－)2，(－)3，(－)4，…，即an＝(－)n＝(－1)n(n∈N*).故选B. 3.下列数列中，156是其中一项的是(　　) A.{n2＋1} B.{n2－1} C.{n2＋n} D.{n2＋n－1} 答案：C 解析：根据题意，依次分析选项：对于A，若数列为{n2＋1}，则有n2＋1＝156，无正整数解，不符合题意；对于B，若数列为{n2－1}，则有n2－1＝156，无正整数解，不符合题意；对于C，若数列为{n2＋n}，则有n2＋n＝156，解得n＝12或－13(舍)，有正整数解n＝12，符合题意；对于D，若数列为{n2＋n－1}，则有n2＋n－1＝156，无正整数解，不符合题意.故选C. 4.已知数列满足an＝，n为正整数，则该数列的最大项是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为函数y＝＝，在x∈(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以当1≤n≤2时，数列递增，当n≥3时，数列递减，又an＝，得a2＝，a3＝，所以该数列的最大项是.故选B. 5.(多选)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3可以是(　　) A.数列{an}中的第1项 B.数列{an}中的第2项 C.数列{an}中的第4项 D.数列{an}中的第6项 答案：BD 解析：由an＝n2－8n＋15＝3，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.故选BD. 6.(多选)数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　) A.an＝ B.an＝1－2n C.an＝n2＋n D.an＝2n＋1 答案：CD 解析：an＝，a1＝1，a2＝，不是递增数列，故A不符合题意；an＝1－2n，当n≥2时，an－＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2，不是递增数列，故B不符合题意；an＝n2＋n，当n≥2时，an－＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n＞0，是递增数列，故C符合题意；an＝2n＋1，函数y＝2x＋1为增函数，则an＝2n＋1是递增数列，故D符合题意.故选CD. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 026－3n，则使an＞0成立的正整数n的最大值为　　　　. 答案：675 解析：由an＝2 026－3n＞0，得n＜＝675，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为675. 8.(开放题) 已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数.写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝　　　　. 答案：(答案不唯一) 解析：符合三个条件的数列有，，，….(答案不唯一) 9.给出下列命题： ①已知数列{an}，an＝，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，－，2，－，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1； ③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29； ④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列. 其中正确命题的序号为　　　　. 答案：①②③④ 解析：对于①中，令＝，解得n＝10，且数列{an}为递减数列，所以最大项为第1项，故①正确；对于②中，数列，，，，…的一个通项公式是bn＝，所以原数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1，故②正确；对于③中，由an＝kn－5，且a8＝11，即8k－5＝11，解得k＝2，所以an＝2n－5，所以a17＝29，故③正确；对于④中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3＞0，即an＋1＞an，所以数列{an}为递增数列，故④正确.综上，正确命题的序号为①②③④. 10.(13分)(一题多问)已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项. (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6， 故这个数列中共有4项是整数. (4)令＝n，得n2－n－6＝0， 解得n＝3，或n＝－2(舍去). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(原创题)正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，9等于(　　) 　　　　1 　　　　2　3 　　　　4　5　6 　　　　7　8　9　10 　　　　… A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 答案：C 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，9＝2 025.故选C. 12.(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是(　　) A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 C.此数列的通项公式为an＝ D.84不是此数列中的项 答案：AC 解析：观察此数列，n为偶数时，an＝，n为奇数时，an＝，所以此数列的通项公式为an＝所以C正确；a20＝＝200，故A正确；a19＝＝180，故B错误；a13＝＝84，故D错误.故选AC. 13.(2025·四川成都高二期中)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：(2，3) 解析：结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有解得2＜a＜3. 14.(15分)(一题多问)已知数列的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列中的项； (2)证明：数列中的项都在区间内； (3)判断在区间内有没有数列中的项. 解：(1)因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝. 因为不是正整数，所以中的项. (2)证明： 因为an＝＝＝1－＝1－， n∈N*，0＜＜1，所以0＜an＜1， 所以数列内. (3)令＜an＜，即＜＜，则＜n＜.又n∈N*， 所以n＝2.故在区间中的项，且只有一项，是第二项，即a2＝. 15.(5分)(新情境)如图①所示是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A.an＝n，n∈N* B.an＝，n∈N* C.an＝，n∈N* D.an＝n2，n∈N* 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C. 16.(17分)已知函数f(x)＝2x－，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列{an}的增减性，并证明你的结论. 解：(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，且an＞0， 所以－＝－2n， 所以an－＝－2n，即＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±， 因为an＞0，所以an＝－n. (2)数列{an}是递减数列，证明如下： 法一(作差法)： 因为－an＝－(n＋1)－(－n) ＝－－1 ＝－1 ＝－1， 又＞n＋1，＞n， 所以＜1. 所以－an＜0，即＜an.所以数列{an}是递减数列. 法二(作商法)： 因为an＞0，所以＝ ＝＜1. 所以＜an.所以数列{an}是递减数列. 学科网（北京）股份有限公司 $