课时分层评价3 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价3　等差数列的概念及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　) A.90 B.96 C.98 D.100 答案：D 解析：由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.故选D. 2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为(　　) A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 答案：C 解析：因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以首项a1＝a－1＝1，公差d＝a＋1－(a－1)＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.故选C. 3.数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　) A.是公差为－3的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案：A 解析：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3，首项为2.故选A. 4.在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为(　　) A. B. C.－ D. 答案：B 解析：因为A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B.又A＋B＋C＝π，所以B＝，所以cos B＝cos ＝.故选B. 5.(多选)已知数列{an}满足＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是(　　) A.该数列为等差数列 B.公差为3 C.a5＝15 D.－3是该数列的第11项 答案：ACD 解析：由条件可知－an＝－3.所以该数列为等差数列.公差为－3，a1＝27，故an＝－3n＋30.所以a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11.故选ACD. 6.(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 答案：AC 解析：对于A，因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故A正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.对于B，D，由2b＝a＋c不一定得到2log2b＝log2a＋log2c与2×2b＝2a＋2c，故B，D项不正确.故选AC. 7.已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是　　　　. 答案： 解析：易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数项，则＜d≤3. 8.(开放题)写出同时满足下面三个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝　　　　. ①{an}是递增数列；②{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2) ；③ a1－a3＋2a4＝4. 答案：n－1(n∈N*)(答案不唯一) 解析：因为{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)，所以数列{an}是等差数列. 所以设公差为d，又{an}是递增数列，知d＞0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2.不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1(n∈N*)(答案不唯一). 9.已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为　　　　. 答案：16 解析：由等差中项的定义可得＋＝1，故a＋9b＝(a＋9b)(＋)＝＋＋10≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝时取等号). 10.(13分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值； (2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列. 解：(1)因为a2＋a4＝2a3，a2＋2a3＋a4＝4a3＝12，所以a3＝3， 又a3＝a1＋2d，a1＝1，所以d＝1， 所以a5＋a7＝2a1＋10d＝12. (2)证明：由(1)可知an＝n，所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)， 所以数列{bn}是等差数列. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}对于任意正整数m，n，有＝am＋an，若a2＝1，则a2 026＝(　　) A.2 026 B.2 025 C.1 013 D.1 012 答案：C 解析：由am＋n＝am＋an，令m＝1得an＋1－an＝a1，所以数列{an}是以a1为首项，a1为公差的等差数列，从而an＝a1＋(n－1)a1＝na1.因为a2＝1，所以a1＝，a2 026＝1 013.故选C. 12.(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则下列结论正确的是(　　) A.a4＝ B.a3＝1 C.d＝ D.d＝ 答案：ABD 解析：设数列的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝，因此＝＋2d＝＋2×＝，故a4＝，＝＋＝＋＝，解得a3＝1.故选ABD. 13.(链教材P18T3)在等差数列{an}中，am＝n，an＝m(m≠n)，则下列说法正确的命题序号为　　　　. ①该数列的首项a1＝m＋n－1； ②该数列的公差d＝－1； ③该数列的第m＋n项＝0； ④该数列为递增数列. 答案：①②③ 解析：设首项为a1，公差为d， 则＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.由于d＝－1＜0，所以该数列为递减数列.故正确的命题序号为①②③. 14.(15分)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝. (1)证明：数列是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为an＋1＝，所以an＋1－1＝－1＝，所以＝＝＋，所以－＝.因为a1＝3，所以＝，所以数列为首项，为公差的等差数列. (2)由(1)得＝＋(n－1)＝n， 所以an＝. 15.(5分)(新定义)在数列{an}中，若－＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.给出下列命题： ①数列{(－1)n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题的序号为　　　　. 答案：①②③④ 解析：对于①，因为[(－1)n]2－[(－1]2＝0，所以{(－1)n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{}是等差数列；对于③，设－＝p，当n≥2，n∈N*时，－＝－＋－＋－＋…＋－＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足－＝p，an－＝d(p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N*)，若d＝0，则{an}为常数列.若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝(n≥2，n∈N*)，所以an＝为常数，即{an}为常数列. 16.(17分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”； (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由. 解：(1)证明：因为a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N*， 所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. (2)数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3， 所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”. 学科网（北京）股份有限公司 $