课时分层评价3 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价3　等差数列的概念及其通项公式

(时间：60分钟　满分：110分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9，每小题5分，共45分)

1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　)

A.90 B.96 

C.98 D.100

答案：D

解析：由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.故选D.

2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为(　　)

A.an＝2n－5  B.an＝2n－3

C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1

答案：C

解析：因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以首项a1＝a－1＝1，公差d＝a＋1－(a－1)＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.故选C.

3.数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)

A.是公差为－3的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

答案：A

解析：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3，首项为2.故选A.

4.在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为(　　)

A. B. 

C.－ D.

答案：B

解析：因为A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B.又A＋B＋C＝π，所以B＝，所以cos B＝cos ＝.故选B.

5.(多选)已知数列{an}满足＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是(　　)

A.该数列为等差数列

B.公差为3

C.a5＝15

D.－3是该数列的第11项

答案：ACD

解析：由条件可知－an＝－3.所以该数列为等差数列.公差为－3，a1＝27，故an＝－3n＋30.所以a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11.故选ACD.

6.(多选)下列命题中，正确的是(　　)

A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列

B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列

C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列

D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列

答案：AC

解析：对于A，因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故A正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.对于B，D，由2b＝a＋c不一定得到2log2b＝log2a＋log2c与2×2b＝2a＋2c，故B，D项不正确.故选AC.

7.已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是　　　　.

答案：

解析：易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数项，则＜d≤3.

8.(开放题)写出同时满足下面三个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝　　　　.

①{an}是递增数列；②{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2) ；③ a1－a3＋2a4＝4.

答案：n－1(n∈N*)(答案不唯一)

解析：因为{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)，所以数列{an}是等差数列. 所以设公差为d，又{an}是递增数列，知d＞0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2.不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1(n∈N*)(答案不唯一).

9.已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为　　　　.

答案：16

解析：由等差中项的定义可得＋＝1，故a＋9b＝(a＋9b)(＋)＝＋＋10≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝时取等号).

10.(13分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12.

(1)求a5＋a7的值；

(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列.

解：(1)因为a2＋a4＝2a3，a2＋2a3＋a4＝4a3＝12，所以a3＝3，

又a3＝a1＋2d，a1＝1，所以d＝1，

所以a5＋a7＝2a1＋10d＝12.

(2)证明：由(1)可知an＝n，所以bn＝a2n－1＝2n－1.

因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)，

所以数列{bn}是等差数列.