5.3.1 第1课时 导数与函数的单调性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“导数与函数的单调性”核心知识点，衔接必修函数性质及导数概念基础，通过高台跳水实例、函数图象观察建立导数正负与单调性关系，构建“实例探究-概念提炼-方法总结-应用实践”的学习支架。 以高台跳水运动轨迹等实例引导观察，结合y=x²、y=x³等函数图象分析，培养数学抽象与逻辑推理素养，任务驱动式设计和步骤化解题指导提升数学运算能力，课中助教师引导学生构建知识联系，课后学生可通过总结与练习查漏补缺。

单元学习七　导数在研究函数中的应用 　　　　[单元整体设计]　本单元主要学习函数的单调性、极值与最大(小)值等重要性质，这些性质是用函数研究客观世界中运动变化规律的表现所在.在人教版(A)必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两个单元中，学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，定量地刻画了函数的局部变化.在此基础上本单元借助具体实例，通过观察函数图象的升降，并利用导数的几何意义建立函数的单调性与导函数的正负之间的关系；在此基础上，通过考察导数在导函数零点两侧正负性的变化情况给出函数极值的概念及其求法，并进一步研究闭区间上连续函数的最大(小)值；最后利用导数研究函数的单调性、极值与最大(小)值的综合性问题，以及简单的优化问题，学习计划5课时. 　　本单元内容重点是利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，难点是用导数求函数的极值与最大(小)值.在学习的过程中，体现数学运算在数学证明中的重要意义与作用，进一步发展数学运算、逻辑推理的核心素养. 5.3.1　函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 学习目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间，提升数学抽象、数学运算的核心素养. 任务一　函数的单调性与其导数的关系 (阅读教材P84－86，完成探究问题1、2) 问题1.观察下面高台跳水运动员的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 提示：通过观察图象，可以发现 (1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h'(t)＞0； (2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h'(t)＜0. 问题2.观察下面几个图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. 提示：图①函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y'＝1＞0. 图②函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y'＝2x，当x＜0时，其导数y'＜0；当x＞0时，其导数y'＞0；当x＝0时，其导数y'＝0. 图③函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y'＝3x2，当x≠0时，其导数3x2＞0；当x＝0时，其导数3x2＝0. 图④函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y'＝－，因为x≠0，所以y'＜0. 从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f'(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f'(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减. 学生用书⬇第97页 函数的单调性与其导数的关系 定义在某个区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f'(x)的正负 f(x)的单调性 f'(x)＞0 单调递增 f'(x)＜0 单调递减 [微提醒]　 “在某区间内f'(x)＞0(f'(x)＜0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件.如果出现个别点使f'(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f'(x)＝3x2，所以f'(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)＞0. [微思考]　如果在某个区间内恒有f'(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ 提示：f(x)是常数函数. (链教材P86例1)利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－－ln x；(3)f(x)＝x－ex(x＞0)；(4)f(x)＝sin x＋cos x，x∈(0，π). 解：(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0， 所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增. (2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f'(x)＝1＋－＝＝＞0， 所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增. (3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)， 所以f'(x)＝1－ex＜0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减. (4)因为f(x)＝sin x＋cos x，x∈(0，π)， 所以f'(x)＝cos x－sin x，x∈(0，π). 令f'(x)＞0，得0＜x＜；令f'(x)＜0， 得＜x＜π， 所以f(x)＝sin x＋cos x在(0，)上单调递增，在(，π)上单调递减. 利用导数判断或证明函数单调性的步骤 　　实质上就是判断或证明不等式f'(x)＞0(f'(x)＜0)在定义域或给定区间上恒成立. 第一步：确定函数的定义域(给定区间除外)； 第二步：求函数f(x)的导数f'(x)； 第三步：判断f'(x)的符号； 第四步：给出单调性结论. [注意]　(1)判断函数单调性的方法有：图象法、性质法、复合函数法、定义法、导数法.(2)证明函数单调性的方法有：定义法、导数法. 对点练1.(1)已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　) A.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B.f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减 C.f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D.f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增 (2)证明函数f(x)＝2x3－6x2＋7在区间(0，2)上单调递减. 答案：(1)C 解析：(1)因为f'(x)＝－－1＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选C. (2)证明：因为f(x)＝2x3－6x2＋7，所以f'(x)＝6x2－12x， 当x∈(0，2)时，f'(x)＝6x2－12x＜0， 所以函数f(x)＝2x3－6x2＋7在区间(0，2)上单调递减. 学生用书⬇第98页 任务二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系 (阅读教材P87思考，完成探究问题3) 问题3.观察下图，试分析函数递增或递减的速度与导数的大小的关系. 提示：由函数图象可知，若f'(x)＞0，则f(x)单调递增，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f'(x)越大，函数f(x)增长得越快；同样，若f'(x)＜0，则f(x)单调递减，显然越大，函数f(x)递减得越快. (链教材P86例2)已知导函数f'(x)的下列信息：当x＜0，或x＞7时，f'(x)＞0；当0＜x＜7时，f'(x)＜0；当x＝0，或x＝7时，f'(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象. 解：当x＜0，或x＞7时，f'(x)＞0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当0＜x＜7时，f'(x)＜0，可知函数f(x)在区间(0，7)上单调递减；当x＝0，或x＝7时，f'(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”. 综上可知，函数f(x)图象的大致形状如图所示. 函数图象与其导函数图象之间的关系判断依据 1.由导函数图象画原函数图象的依据：根据f'(x)＞0，则f(x)单调递增，f'(x)＜0，则f(x)单调递减. 2.由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)＝0. [注意]　(1)函数图象变化得越快，f'(x)的绝对值就越大，不是f'(x)的值越大.(2)解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象. 对点练2.(1)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f'(x)的图象可能是(　　) (2)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是(　　) 答案：(1)D 　(2)D 解析：(1)从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f'(x)＜0；在区间(0，x1)上是增函数，f'(x)＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f'(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f'(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足.故选D. (2)由题意可知，当x＜0和x＞2时，导函数f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，导函数f'(x)＞0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象可能为D.故选D. 学生用书⬇第99页 任务三　利用导数求函数的单调区间 (链教材P87例3)求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋6x2－18x＋5； (2)f(x)＝xln x； (3)f＝3x2－2ln x； (4)f(x)＝2x(ex－1)－x2. 解：(1)函数f(x)＝2x3＋6x2－18x＋5的定义域为R， 所以f'(x)＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)， 令f'(x)＝0，解得x＝－3，或x＝1， 当x＞1或x＜－3时，f'(x)＞0；当－3＜x＜1时，f'(x)＜0. 所以函数f(x)的单调递减区间是(－3，1)，单调递增区间是(－∞，－3)和(1，＋∞). (2)函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)， 所以y'＝1＋ln x，令y'＝0，得x＝， 当0＜x＜时，y'＜0；当x＞时，y'＞0. 所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (3)函数f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， 所以f'(x)＝6x－＝. 令f'(x)＝0，则＝0，解得x＝，或x＝－(舍). 当x＞时，f'(x)＞0；当0＜x＜时，f'(x)＜0. 所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. (4)函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的定义域为R， 所以f'(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1). 令f'(x)＝0，解得x＝－1，或x＝0， 当x＜－1时，f'(x)＞0；当－1＜x＜0时，f'(x)＜0；当x＞0时，f'(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－1，0). 利用导数判断函数的单调性的两种方法的步骤 1.第一步(求定义域)：确定函数y＝f(x)的定义域； 第二步(求零点)：求出导数f'(x)的零点； 第三步(列表判断单调性)：用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 2.第一步(求定义域)：确定函数y＝f(x)的定义域； 第二步(求导)：求导数y＝f'(x)； 第三步(解不等式)：解不等式f'(x)＞0，函数在解集与定义域的交集上单调递增； 解不等式f'(x)＜0，函数在解集与定义域的交集上单调递减. [注意]　(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先必须求出函数的定义域，然后在定义域内解不等式得到单调区间，单调区间是定义域的子集.(2)当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，而只能用“，”或“和”连接. 对点练3.(1)函数f(x)＝ln x－x＋1的单调递增区间是(　　) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，1) D.(1，＋∞) (2)求函数f(x)＝的单调区间. 答案：(1)C 解析：(1)f(x)＝ln x－x＋1的定义域为(0，＋∞)，令f'(x)＝－1＝＞0，解得0＜x＜1， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1).故选C. (2)函数f(x)＝的定义域为R， f'(x)＝ ＝. 令f'(x)＞0，得cos x＞－，得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)， 令f'(x)＜0，得cos x＜－，得2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，单调递减区间为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z). 任务 再现 1.函数的单调性与其导数的关系.2.函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.3.利用导数判断函数的单调性.4.利用导数求函数的单调区间 方法 提炼 定义法、转化法、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想 易错 警示 容易忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号易出错 学生用书⬇第100页 1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为(　　) 答案：C 解析：因为f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以当x＜1，或x＞4时，f'(x)＜0；当1＜x＜4时，f'(x)＞0.故选C. 2.若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则y＝f(x)的单调递增区间为(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(－2，1) D.(－2，－1) 答案：C 解析：由导函数的图象可以看出在(－2，1)上，f'(x)＞0，故函数f(x)的单调递增区间为(－2，1).故选C. 3.(2025·福建莆田高二期中)函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是(　　) A.(0，＋∞) B.(－1，1) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞) 答案：B 解析：函数f(x)＝3x－x3定义域为R，求导得，f'(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，由f'(x)＞0，解得－1＜x＜1，所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是(－1，1).故选B. 4.若函数y＝xcos x－sin x在某区间内单调递增，则该区间可能为(　　) A.(，) B.(－，) C.(π，2π) D.(0，π) 答案：C 解析：因为y＝xcos x－sin x，所以y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.当x∈(，π)时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故A错误；当x∈(－，0)时，sin x＜0，y'＜0，函数单调递减，故B错误；当x∈(π，2π)时，sin x＜0，y'＞0，函数单调递增，故C正确；当x∈(0，π)时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故D错误.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $