第五章 重点突破6 导数中的函数构造问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学导数应用中构造函数的核心方法，系统梳理与x、e^x、sinx/cosx、lnx构造的规律，通过例题解析、构造形式总结及对点练，搭建从具体问题到抽象方法的学习支架。 特色在于归类整合构造类型，培养学生用数学眼光发现导数与函数的联系，通过逻辑推理（数学思维）掌握构造技巧，以规范符号表达（数学语言）解决不等式、参数范围等问题。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化应用能力。

学习目标 　　近几年高考数学客观题、压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题结构独特、技巧性高、综合性强，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明. 题型一　利用f(x)与x构造 (1)设f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，f'(x)＜3，f(－3)＝－2，则f(x)＞3x＋7的解集为(　　) A.(－∞，－1) B.(－∞，－3) C.(－3，0)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(1，＋∞) (2)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式xf'(x)＋f(x)＜0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3 ·f(log3 )，则a，b，c的大小关系是　　　　. 答案：(1)B 　(2)c＞b＞a 解析：(1)因为f'(x)＜3，即f'(x)－3＜0，设函数g(x)＝f(x)－3x，g'(x)＝f'(x)－3＜0，则g(x)在R上单调递减，又f(－3)＝－2，所以g(－3)＝f(－3)－3×(－3)＝7，不等式f(x)＞3x＋7转化为f(x)－3x＞7，即g(x)＞g(－3)，所以x＜－3.故选B. (2)令g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x).由条件知，当x＞0时，g'(x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减.又f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减.又log3＜logπ3＜30.3，所以c＞b＞a. 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造的函数 1.对于f'(x)＞g'(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x). 2.对于f'(x)＋g'(x)＞0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 3.对于f'(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax. 4.对于xf'(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x). 5.对于xf'(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝. 对点练1.(1)设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'(x)g(x)－f(x)g'(x)＜0，则当a＜x＜b时有(　　) A.f(x)g(x)＞f(b)g(b) B.f(x)g(b)＞f(b)g(x) C.f(x)g(a)＞f(a)g(x) D.f(x)g(x)＞f(a)g(a) (2)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)构造函数F(x)＝，则F'(x)＝，由f'(x)g(x)－f(x)g'(x)＜0，得F'(x)＜0，所以F(x)在R上单调递减.因为a＜x＜b，所以＜＜，又f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，故f(x)g(b)＞f(b)g(x).故选B. (2)构造函数g(x)＝，则g'(x)＝，因为当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g'(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 题型二　利用f(x)与ex构造 (1)已知f(x)是定义在R上的函数，f'(x)是f(x)的导函数，若f'(x)＞f(x)，且f(1)＝e，则不等式f(2x－5)－e2x－5＞0的解集为(　　) A.(－∞，－3) B.(－∞，－2) C.(2，＋∞) D.(3，＋∞) (2)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f'(x)＞0，则(　　) A.e－2 025f(－2 025)＜f(0)，e2 025f(2 025)＞f(0) B.e－2 025f(－2 025)＜f(0)，e2 025f(2 025)＜f(0) C.e－2 025f(－2 025)＞f(0)，e2 025f(2 025)＞f(0) D.e－2 025f(－2 025)＞f(0)，e2 025f(2 025)＜f(0) 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)由f'(x)＞f(x)，得f'(x)－f(x)＞0，构造函数g(x)＝，则g'(x)＝＞0，所以函数g(x)在R上单调递增，因为f(1)＝e，所以g(1)＝＝1，所以不等式f(2x－5)－e2x－5＞0等价于＞1，即g(2x－5)＞g(1)，所以2x－5＞1，解得x＞3，所以不等式f(2x－5)－e2x－5＞0的解集为(3，＋∞).故选D. (2)构造函数h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2 025)＜h(0)，即e－2 025f(－2 025)＜e0f(0)，即e－2 025f(－2 025)＜f(0).同理，h(2 025)＞h(0)，即e2 025f(2 025)＞f(0).故选A. 学生用书⬇第105页 f(x)与ex构造常见的形式 1.对于f'(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x). 2.对于f'(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝. 对点练2.已知定义在R上的函数f的导函数为f'，且f＜f'＜0，则(　　) A.ef＞f，f＞ef B.ef＞f，f＜ef C.ef＜f，f＜ef D.ef＜f，f＞ef 答案：D 解析：构造函数g(x)＝⇒g'(x)＝，因为f＜f'，所以g'(x)＞0，因此函数g(x)在R上单调递增，于是有g(2)＞g(1)⇒＞⇒f(2)＞ef(1)，构造函数h(x)＝f(x)·ex⇒h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，因为f＜f'＜0，所以h'(x)＜0，因此h(x)是减函数，于是有h(2)＜h(1)⇒e2f(2)＜ef(1)⇒ef(2)＜f(1).故选D. 题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造 (多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(0)＝0，f'(x)cos x＋f(x)sin x＜0，则下列判断中正确的是(　　) A.f＜f B.f＞0 C.f＞f D.f＞f 答案：CD 解析：构造函数g(x)＝，x∈，则g'(x)＝，因为f'(x)cos x＋f(x)sin x＜0，所以g'(x)＝＜0在上恒成立，因此函数g(x)＝上单调递减，又＜，所以g＞g，即＞，即f ＞f ，故A错误；又f(0)＝0，所以g(0)＝＝0，所以g(x)＝≤0在上恒成立，因为ln ∈，所以f ＜0，故B错误；又＜，所以g＞g，所以＞，即f()＞f，故C正确；又＜，所以g()＞g，所以＞，即f ＞f ，故D正确.故选CD. f(x)与sin x，cos x构造常见的形式 1.对于f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x. 2.对于f'(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝. 3.对于f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x. 4.对于f'(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝. 对点练3.已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x＞f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A.f ＞－f B.f ＜－f C.f ＞2f D.f ＜f 答案：C 解析：由已知，得f(x)为奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x＞f(x)cos x，得f'(x)sin x－f(x)cos x＞0，即'＞0，所以构造函数g(x)＝，知g(x)＝在(0，π)上单调递增，又因为g(x)＝为偶函数，所以g(x)＝在(－π，0)上单调递减.对于A，＝＞，即f(－)＜－f()，故A错误；对于B，＝＜，即－f(－)＜f()，故B错误；对于C，＜，即f ＞2f ，故C正确；对于D，＞，即f()＞f()，故D错误.故选C. 题型四　利用f(x)与ln x构造 已知函数f(x)(x∈R)的导函数是f'(x)，若x＞2时，f(x)＋(x－2)ln(x－2)·f'(x)＞0，令T＝f()·f(4)，则下列判断正确的是(　　) A.T＞0 B.T＜0 C.T＝0 D.T的符号不确定 答案：A 解析：当x＞2时，f(x)＋(x－2)ln(x－2)·f'(x)＞0，所以＋ln(x－2)·f'(x)＞0.令g(x)＝ln(x－2)·f(x)，则g'(x)＝＋ln(x－2)·f'(x)，当x＞2时，g'(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增，且g(3)＝ln 1·f(3)＝0.当x∈(2，3)时，g(x)＜0，ln(x－2)＜0，所以f(x)＞0，所以f()＞0；当x∈(3，＋∞)时，g(x)＞0，ln(x－2)＞0，所以f(x)＞0，所以f(4)＞0.综上，T＝f()·f(4)＞0.故选A. f(x)与ln x构造常见的形式 1.对于ln x·f'(x)＋f(x)＞0，构造函数F(x)＝ln x·f(x). 2.对于ln x·f'(x)－f(x)＞0，构造函数F(x)＝. 对点练4.(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x＞0时，ln x·f'(x)＜－f(x)，且f(1)＜0，则不等式(x2－9)f(x)＜0的解集为(　　) A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(－∞，－3)∪(3，＋∞) C.(－3，0)∪(0，3) D.(－∞，－3)∪(0，3) 答案：A 解析：令g(x)＝f(x)·ln x(x＞0)，则g'(x)＝f'(x)·ln x＋f(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝f(1)·ln 1＝0，又ln x＜0，所以f(x)＜0；当x＞1时，g(x)＜g(1)＝0，又ln x＞0，所以f(x)＜0.所以当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f(x)＜0，又f(1)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(x)＝0，x＜0时，f(x)＞0，所以(x2－9)f(x)＜0等价于或 解得x∈(－3，0)∪(3，＋∞).故选A. 学生用书⬇第106页 1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 答案：B 解析：f(x)＞2x＋4⇒f(x)－2x－4＞0，构造函数g(x)＝f(x)－2x－4，g'(x)＝f'(x)－2＞0，所以g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以g(x)＞g(－1)，所以x＞－1.故选B. 2.已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf'(x)＋f(x)＞0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是(　　) A.f(1)＞ B.＞f(2) C.f(1)＜ D.＜f(2) 答案：D 解析：构造函数F(x)＝xf(x)，则F'(x)＝xf'(x)＋f(x)＞0，故F(x)为R上的增函数，所以F(2)＞F(1)，即2f(2)＞f(1)，＜f(2).故选D. 3.已知定义在R上的函数f的导函数为f'，对任意x∈R满足f＋f'＜0，则下列结论一定正确的是(　　) A.e2f＞e3f B.e2f＜e3f C.e3f＞e2f D.e3f＜e2f 答案：A 解析：构造函数g＝exf，则g'＝ex[f'＋f]，因为f＋f'＜0，故g'＜0，因此可得g在R上单调递减，由于2＜3，故g＞g⇒e2f＞e3f.故选A. 4.(2025·黑龙江齐齐哈尔高二检测)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)有f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＞2f()sin x的解集为(　　) A.(0，) B.(0，) C.(，π) D.(，π) 答案：B 解析：令函数g(x)＝，x∈(0，π)，求导得g'(x)＝＜0，因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)＞2f()sin x⇔＞，即g(x)＞g()，解得0＜x＜，所以原不等式的解集为(0，).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $