专题07 数学归纳法（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题07 数学归纳法 教学目标 1．理解数学归纳法的定义和两步核心步骤，明确其证明与正整数n有关命题的适用场景。 2．掌握数学归纳法证明恒等式的基本思路，能理清递推前后等式的项的变化。 3．熟练运用数学归纳法证明简单恒等式，学会联结归纳假设与待证结论并合理变形。 教学重难点 重点： 掌握数学归纳法的两步证明步骤，能运用其证明与正整数相关的恒等式。 难点： 归纳递推的证明，学会将待证式与归纳假设建立联系并合理变形。 知识点 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当______时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从______开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取______时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 【即学即练】 1．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 2．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 题型01 对数学归纳法的理解 【例1】用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【例2】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【变式1-1】用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是 ． 【变式1-2】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝ 时正确，再推＝ 时正确． 【变式1-3】用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设时正确，再推证正确 B．假设时正确，再推证正确 C．假设时正确，再推证正确 D．假设时正确，再推证正确 题型02 增项问题 【例3】用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（    ） A．第一步应该验证当时不等式成立 B．从“到”左边需要增加的代数式是 C．从“到”左边需要增加项 D．以上说法都不对 【例4】用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上（    ） A．增加一项 B．增加2k+1项 C．增加2k项 D．增加2项 【变式2-1】用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加 A． B． C． D． 【变式2-2】用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 题型03 恒等式的证明 【例5】用数学归纳法证明：当时，． 【例6】用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式3-1】是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【变式3-2】证明：． 【变式3-3】用数学归纳法证明：． 题型04 不等式的证明 【例7】用数学归纳法证明： 【例8】求证：不论正数，，是等差数列还是等比数列，当，且，，互不相等时，均有． 【变式4-1】用数学归纳法证明：，． 【变式4-2】用数学归纳法证明：． 【变式4-3】已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 题型05 归纳-猜想-证明 【例9】观察下列等式： …… 据此规律，请你猜想出第个等式并证明你的结论． 【例10】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【变式5-1】已知在无穷数列中，，．求出，，，并猜想通项公式，利用数学归纳法加以证明． 【变式5-2】已知函数，设，且任意的，有. (1)求的值； (2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 【变式5-3】设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 题型06 整除问题的证明 【例11】求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【例12】用数学归纳法证明：能被整除． 【变式6-1】已知 (1)化简 ① ② (2)用数学归纳法证明： 能被整除. 【变式6-2】用数学归纳法证明：可以被7整除. 【变式6-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 一、单选题 1．在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（    ）． A． B． C． D． 2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 3．用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明对任意 的自然数都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．用不相交的对角线把凸多边形分成几个三角形，叫做“凸多边形的三角剖分”，不同的剖分方法的总数叫做“三角剖分数”．下图是一个平面凸五边形用其不相交的对角线作三角剖分，总共有五种不同的剖分方法．已知凸边形与三角剖分数的关系满足：当时，，且．则凸七边形的三角剖分数为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 7．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 三、填空题 8．已知，则中共有 项. 9．以下是用数学归纳法证明“时，”的过程．证明：（1）当时，，不等式显然成立． （2）假设当时不等式成立，即． 那么，当时，． 即当时不等式也成立． 根据（1）和（2），可知对任何不等式都成立．其中错误的步骤为 （填序号）． 10．用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 四、解答题 11．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 12．已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 13．已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 14．是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数学归纳法 教学目标 1．理解数学归纳法的定义和两步核心步骤，明确其证明与正整数n有关命题的适用场景。 2．掌握数学归纳法证明恒等式的基本思路，能理清递推前后等式的项的变化。 3．熟练运用数学归纳法证明简单恒等式，学会联结归纳假设与待证结论并合理变形。 教学重难点 重点： 掌握数学归纳法的两步证明步骤，能运用其证明与正整数相关的恒等式。 难点： 归纳递推的证明，学会将待证式与归纳假设建立联系并合理变形。 知识点 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 【即学即练】 1．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 2．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【详解】当时，. 故答案为： 题型01 对数学归纳法的理解 【例1】用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 【例2】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键 【变式1-1】用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为“”． 故答案为：. 【变式1-2】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝ 时正确，再推＝ 时正确． 【答案】 【详解】因为用数学归纳法证明：当为正奇数时，能被整除， 第一步，当时，能被整除； 第二步，假设，时，命题正确，再证明，时，命题正确． 故答案为：， 【变式1-3】用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设时正确，再推证正确 B．假设时正确，再推证正确 C．假设时正确，再推证正确 D．假设时正确，再推证正确 【答案】B 【详解】因为命题为“当为正奇数时，能被整除”， 所以第二步归纳假设应写成：假设时正确，再推证正确. 故选：B. 题型02 增项问题 【例3】用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（    ） A．第一步应该验证当时不等式成立 B．从“到”左边需要增加的代数式是 C．从“到”左边需要增加项 D．以上说法都不对 【答案】D 【详解】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确； 因为， 所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确； 所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。 故选：D 【点睛】本题考查了数学归纳法的步骤，属于基础题. 【例4】用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上（    ） A．增加一项 B．增加2k+1项 C．增加2k项 D．增加2项 【答案】B 【详解】解：当时，等式左端， 当时，等式左端， 增加了项增加的项数：． 故选：B． 【变式2-1】用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：解：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了2k-（2k-1+1）+1=2k-1项，即为故选D． 考点：数学归纳法 点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 【变式2-2】用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，， 不等式左边相减，得. 故选：A. 【变式2-3】利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 【答案】 【详解】解：当时，左边， 当时， 左边 所以左边应添加因式为. 故答案为：. 题型03 恒等式的证明 【例5】用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时，左边，右边，等式成立. （ii）假设当时等式成立，即 ， 当时， 左边 ，即时等式成立. 由（i）（ii）可知，对，等式成立. 【例6】用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【详解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【变式3-1】是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【答案】存在 【详解】假设存在，，使题设的等式成立， 令，，，有，则. 于是，对，，，下面等式成立： ． 记， 假设时上式成立，即， 那么当时， ， 也就是说，等式对也成立. 综上所述，当，，时，题设对任意的均成立. 【变式3-2】证明：． 【答案】证明见解析 【详解】①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时等式成立，即 ． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 原等式得证. 【变式3-3】用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 题型04 不等式的证明 【例7】用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 【例8】求证：不论正数，，是等差数列还是等比数列，当，且，，互不相等时，均有． 【答案】证明见解析 【详解】（1）设，，为等比数列，，（且）， 则； （2）设，，为等差数列，则，猜想（且）， 下面用数学归纳法证明： （i）时，由，得； （ii）假设当时成立， 则当时， ， 也就是说，等式对也成立． 由（i）（ii）知，对一切，均成立． 【变式4-1】用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【详解】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 【变式4-2】用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 【变式4-3】已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【详解】当或时，原不等式中等号显然成立． 下面用数学归纳法证明： 当，且，时，． （i）当时，左边，右边， 因为，所以，即左边右边，成立； （ii）假设当时，不等式成立，即， 则当时，因为，所以． 又因为，，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以， 即当时，不等式也成立． 综上所述，所证不等式成立． 题型05 归纳-猜想-证明 【例9】观察下列等式： …… 据此规律，请你猜想出第个等式并证明你的结论． 【答案】，证明见解析. 【详解】由已知：第个等式为， 当时，显然成立； 若，成立， 那么时，， 所以都有成立. 【例10】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【答案】，证明见解析 【详解】当时，，解得； ，解得，同理得，，， 猜想，以下用数学归纳法加以证明． （i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，成立， 当时，， 即， 去分母并整理得，解得． 故（负值舍去），则时等式成立． 由（i）（ii）知对任意，成立． 【变式5-1】已知在无穷数列中，，．求出，，，并猜想通项公式，利用数学归纳法加以证明． 【答案】，，，，证明见解析 【详解】，且， ， ； 由此猜想 用数学归纳法进行证明如下： ①当时，，满足要求，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即, 那么当时，， 这就表明当时，猜想成立， 根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即. 【变式5-2】已知函数，设，且任意的，有. (1)求的值； (2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【详解】（1）由，任意的，有， 得，，， 所以. （2）由（1）猜想：. 用数学归纳法证明如下： ①当时，，猜想正确； ②假设当时，猜想正确，即， 则当时，，因此当时，猜想正确， 由①②知，对任意的，都有. 【变式5-3】设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 题型06 整除问题的证明 【例11】求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时，能被整除，命题成立； （ii）假设当（为正偶数）时命题成立，即能被整除， 当时，． 由可被整除，能被整除，则能被整除， 故当时，命题成立． 由（i）和（ii）知对任意正偶数，命题成立． 【例12】用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式6-1】已知 (1)化简 ① ② (2)用数学归纳法证明： 能被整除. 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【详解】（1）①： ， ②：； （2）当时， 显然能被整除，命题成立. 假设当时命题成立，即 能被整除.设 ， 则当时，    ， ∴当时， 命题也成立     综上所述，命题对所有正整数都成立. 【变式6-2】用数学归纳法证明：可以被7整除. 【答案】证明见解析． 【详解】证明：（1）时，，能被7整除， （2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数）， 则时，，是正整数，所以能被7整除， 所以时，命题成立， 综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除． 【变式6-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 一、单选题 1．在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知．当时，， 时，，． ，，分别为：、、． 猜想当时，． 故选：B 2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 3．用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数学归纳法的证明过程如下： 当 时 ，左边 ，原不等式成立； 设当 时，原不等式成立，即  …①成立， 则当 时，左边 ， 即要证明左边 也成立，即证  ， 由①知即证 ； 故选：D. 4．用数学归纳法证明对任意 的自然数都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 等价于 ， 当 时，不等式成立，所以k的最小值是3，下面用数学归纳法证明： 显然 时，不等式成立， 假设 时， 成立， 则当 时，左边= ， 右边 ，当 时， ， 即 ， 所以对于任意的 ，原不等式成立； 故选：C. 5．用不相交的对角线把凸多边形分成几个三角形，叫做“凸多边形的三角剖分”，不同的剖分方法的总数叫做“三角剖分数”．下图是一个平面凸五边形用其不相交的对角线作三角剖分，总共有五种不同的剖分方法．已知凸边形与三角剖分数的关系满足：当时，，且．则凸七边形的三角剖分数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易得，， 即，所以， 故， 即，解得， 又， 所以，解得． 故选：A. 二、多选题 6．已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【详解】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 7．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【详解】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 三、填空题 8．已知，则中共有 项. 【答案】 【详解】因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成， 其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为； 所以它的项数为，即为的项数为． 故答案为：． 9．以下是用数学归纳法证明“时，”的过程．证明：（1）当时，，不等式显然成立． （2）假设当时不等式成立，即． 那么，当时，． 即当时不等式也成立． 根据（1）和（2），可知对任何不等式都成立．其中错误的步骤为 （填序号）． 【答案】（2） 【详解】在中用了， 这是一个不确定的结论．如时，． 故答案为：（2）. 10．用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【详解】当时，. 故答案为：  . 四、解答题 11．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 12．已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）， ， ， ． （2）猜想：． 下面运用数学归纳法进行证明： ①当时，，猜想成立． ②假设当（为正整数）时猜想成立，即， 则时，， ∴当时，猜想成立， ∴对一切正整数，均成立． 13．已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）， ，． （2）当时，左边，右边，等式成立． 假设（k为正整数，），， 则当时， ， 此时等式成立． 综合（1）（2）知，对任何n为正整数，． 14．是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？ 【答案】存在 【详解】若存在常数、、，使上述等式对任何正整数都成立，则当时，由等式成立，有，即；① 当时，等式也成立，有，即；② 当时，等式也成立，有，即；③ 联立①②③，解关于、、的三元一次方程组得，，． 故猜想等式对一切正整数都成立. 下面用数学归纳法证明： 1）当时，由上面的探求可知等式成立． 2）假设时猜想成立， 即． 当时， ． 所以当时，等式也成立． 由1）2）知猜想成立，即存在，，使命题成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $