第5章 专题课 求数列的通项公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“求数列的通项公式”核心知识点，系统梳理利用前n项和Sn求an（含Sn=f(n)与Sn=f(an)两类）、累加法、累乘法及构造法（构造等比数列、等差数列、取倒数转化）等方法，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过典型例题解析与方法步骤总结，结合跟踪训练，以具体问题（如Sn=2an-1构造等比数列）培养学生抽象能力（数学眼光）与推理能力（数学思维），规范的符号表达强化数学语言。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固方法，查漏补缺。

专题课　求数列的通项公式 [例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝，求an； (2)若Sn＝2an－1，求an. 【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 因为a1＝不满足上式， 所以an＝ (2)当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，所以an＝2an－1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＝1×2n－1＝2n－1. 利用Sn求an一般有两种情况： (1)给定Sn＝f(n)，则an＝注意检验当n＝1时S1是否符合n≥2的式子． (2)给定Sn＝f(an)，通常是通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(构造两式作差)进行求解. [跟踪训练1] 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N＋，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________． 解析：因为an，Sn，a成等差数列， 所以2Sn＝an＋a. 当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a. 又a1＞0，所以a1＝1. 当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a， 所以(a－a)－(an＋an－1)＝0. 所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝1， 所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n. 答案：n [例2] 已知数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝________． 【解析】　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1， 故当n≥2时，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3， a2－a1＝2， 以上各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2， 故an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝. 当n＝1时，a1＝1满足上式， 所以an＝. 【答案】　 累加法求通项公式的四个步骤 [跟踪训练2] 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，则an＝________． 解析：由an＝3n－1＋an－1可得an－an－1＝3n－1(n≥2). 则a2－a1＝31， a3－a2＝32， a4－a3＝33， … an－an－1＝3n－1. 将以上n－1个式子相加， 得an－a1＝3＋32＋…＋3n－1 ＝＝(3n－1－1). 所以an＝－＋1＝－. 当n＝1时，上式成立，所以an＝－. 答案：－ [例3] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式． 【解】　方法一：由题意可得an≠0，所以＝，则当n≥2时，有＝，＝，＝，…，＝，把以上各式累乘，得＝n， 即an＝2n(n≥2). 又因为a1＝2也符合上式，所以an＝2n. 方法二：由题知，＝＝＝…＝＝2，所以an＝2n. 累乘法求通项公式的四个步骤 [跟踪训练3] 已知a1，，…，，…构成首项为1，公比为2的等比数列，则an＝________． 解析：由题意知，当n≥2时，＝1×2n－1＝2n－1，则有＝2n－2，…，＝22，＝21，而an＝a1···…·＝1×21＋2＋…＋n－1＝2(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1也满足该式，故an＝2. 答案：2 角度1　构造等比数列 [例4] 已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式． 【解】　设an＋1＋a＝2(an＋a)，a为待定系数，展开得an＋1＝2an＋a，与原式对比知a＝3，则有an＋1＋3＝2(an＋3). 因为a1＋3＝7，所以{an＋3}是以7为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋3＝7×2n－1， 所以an＝7×2n－1－3. 构造法求通项公式 递推公式形如an＋1＝can＋d(c≠0，a1＝a) (1)当c≠1，d≠0时，可以通过待定系数法构造等比数列，设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，通过比较系数求出λ，构造等比数列； (2)结合等比数列的通项公式求出数列{an＋λ}的通项公式； (3)由(2)进一步得到数列{an}的通项公式. 角度2　构造等差数列 [例5] 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝4an＋3×4n，则此数列的通项公式an＝________． 【解析】　将an＋1＝4an＋3×4n两边同时除以4n＋1， 得＝＋，即－＝， 则是首项为＝，公差为的等差数列， 则＝＋(n－1)＝n，得an＝3n×4n－1. 【答案】　3n×4n－1 递推公式形如an＋1＝pan＋qn (其中q是常数，且n≠0，1) (1)当p＝q时，两边同除以pn＋1，构造等差数列； (2)当p≠q时，可以利用待定系数法构造等比数列，设an＋1＋λ·qn＋1＝p(an＋λ·qn)，通过比较系数求出λ，构造等比数列{an＋λ·qn}； (3)由(1)或(2)进一步得到数列{an}的通项公式. [跟踪训练4] (1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，则an＝________． 解析：由题意设an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 所以{an＋2n＋1}是以a1＋22＝5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5·3n－1， 即an＝5·3n－1－2n＋1. 答案：5·3n－1－2n＋1 (2)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝n2＋n，设bn＝.则bn＝________． 解析：因为nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)， 所以－＝1，即bn＋1－bn＝1， 所以数列{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．所以bn＝1＋(n－1)×1＝n. 答案：n [例6] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则此数列的通项公式an＝________． 【解析】　由an＋1＝，取倒数得＝＋1， 所以＋1＝2(＋1)， 因为＋1＝2≠0，所以＝2， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2×2n－1＝2n， 则＝2n－1，所以an＝. 【答案】　 递推公式形如an＝ (1)两边取倒数，构造等差或者等比数列； (2)结合构造的等差或者等比数列进一步求数列{an}的通项公式. [跟踪训练5] (多选)设数列满足a1＝－1，an＋1＝(n∈N＋)，则(　　) A．为等比数列 B．的通项公式为an＝ C．为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n＋2－5n－4 解析：选ABD.因为an＋1＝， 则＝＝＋5， 整理得＋5＝2，且＋5＝4≠0， 所以是首项为4，公比为2的等比数列，故A正确； 可得＋5＝4×2n－1＝2n＋1，解得an＝，故B正确； 因为a1＝－1，a2＝，即a2>a1，所以不是递减数列，故C错误； 因为＝2n＋1－5，所以的前n项和Tn＝－5n＝2n＋2－5n－4，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $