第三单元 啤酒生产中的数学——比例（解决问题讲义）数学青岛版六年级下册

第三单元 啤酒生产中的数学——比例 1、 比例的意义： （1） 核心概念：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2） 比例的组成：组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 （3） 应用场景：判断两个比能否组成比例，如3:4和6:8，因为3×8=4×6=24，所以3:4=6:8。 （4）比和比例的区别与联系： 2、 比例的基本性质： （1） 核心性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （2） 数学表达：如果a：b=c:d，那么a×d=b×c。 （3） 特点：这是解比例和判断比例的重要依据。 3、 解比例： （1） 核心方法：根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫作解比例； （2） 解比例的基本方法：根据比例的基本性质，先把比例转化为“外项之积=内项之积”的等式，再解方程求出未知项的值。 （3） 应用场景：已知比例中的三项，求第四项。 4、 正比例的意义： （1） 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量。 （2） 数学表达：如果，那么x和y成正比例关系。 （3） 特点：一个量增加，另一个量也按相同的比增加，一个量减少，另一个量也按相同的比减少。 （4） 判断方法： 5、 反比例的意义： （1） 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量。 （2） 数学表达：如果x×y=k（k为常量），那么x和y成反比例关系。 （3） 特点：一个量增加，另一个量按相同的比减少，一个量减少，另一个量按相同的比增加。 （4） 判断方法： 6、 用比例解决问题： 利用解比例解决实际问题的步骤： （1） 根据相关量之间的关系列出比例； （2） 根据比例的基本性质，先将比相等转化为积相等，再解方程； （3） 对所求未知数进行验证。 （4） 特点：先判断两种量的关系，再根据关系特点列出比例式求解。 类型1 比例的意义： 典型例题1：(1)学校操场上国旗的长是2.4米,宽是1.6米,长和宽的比是(　　　　)． (2)教室墙上国旗的长是60厘米,宽是40厘米,长和宽的比是(　　　　)． (3)这两个比能组成比例吗?为什么? 变式训练：用下图中的4个数据可以组成多少个比例? 类型2 比例的基本性质： 典型例题2：根据0.9×5=4.5×1写出几个不同的比例． ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) 变式训练1：填一填． (1)在一个比例里,两个外项的积是20,其中一个内项是4,另一个内项是( )． (2)如果4∶a=b∶5,那么ab=( )． 变式训练2：在比例中，两个外项的积是30，其中一个内项是3，另一个内项是( )。 类型3 解比例： 典型例题3：解比例． 4∶3=x∶9　　　　1.7∶51=2∶x　　　　=　　　　  0.7∶x=2.8∶24 变式训练1：依照下面的条件列出比例,并解比例． (1)5和3的比等于x和6的比．     (2)3和x的比等于15和40的比． 类型4 正比例的意义： 典型例题4：下列各表中的两种量是不是成正比例？为什么？ 变式训练1：在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下表． （1）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例吗？说明理由． （2）在图中描出表示物体质量和弹簧伸长长度相对应的点，然后把它们按顺序连接起来． （3）根据上图估计一下，称2.5千克物体时，弹簧大约伸长多少厘米？ 类型5 反比例的意义： 典型例题5：学校举行四驱车模比赛．小强的车模速度为480米/分，跑完全程用了5分钟．小瑞的车模跑完全程比小强的多用了1分钟，他的车模速度是多少？ 变式训练1：（1）明新骑车从甲地到乙地，前5分钟行了700米，照这样的速度，从甲地到乙地一共用了20分钟．甲、乙两地相距多少米？ （2）明新骑车从甲地到乙地一共用了20分钟，每分钟行140米；返回时每分钟行100米，返回时用了多少分钟？ 类型6 用比例解决问题： 典型例题6：小东在100米赛跑中跑到终点时领先小凡10米,领先小强15米,如果小凡、小强按他们原来的速度继续跑向终点,那么当小凡到达终点时,小强还差多少米到达终点? 变式训练1：有一堆煤,计划每天烧100千克,可以烧24天．改进炉灶后,每天只烧80千克,这堆煤可以烧多少天? A夯实基础 一、填空题 1．因为6a＝5b（a、b均不为0），所以a∶b＝( )∶( )；a∶5＝( )∶( )。 2．正方形A、B的边长分别是6cm和3cm，则它们的边长比是( )，周长比是( )，面积比是( )。 3．在比例5∶3=15∶9中，如果内项3加上3，那么外项9 （ ），比例仍成立。 4．美术组有男生15人，女生20人，男生人数与女生人数的最简整数比是( )，男生人数占美术组人数的( )。 5．把改写成百分数，写作( )%；240的25%是( )。 6．甲数和乙数的比是，已知甲、乙两数的和是24，则甲数是( )。 7．一个长45米、宽30米的长方形操场，把它按1∶500的比例尺画在图纸上，长应画( )厘米，宽应画( )厘米。 8．如果，那么a∶b＝（ ），b∶c＝（ ）。 9．如果a：5＝3：b，那么ab＝（  ）；如果7m＝9n，那么m：n＝（  ∶  ）． 10．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.8，另一个外项是( )。 11．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 二、判断题 12．=，则x=．   ( ) 13．在中，1.6和8是比例的外项，2和10是比例的内项。( ) 14．在放大或缩小图形时，图形的面积变了，图形的形状也变了．( ) 15．3A＝4B，那么A∶B＝3∶4。( ) 16．把一个长方形按5∶1进行放大，就是把长方形的长扩大到原来的5倍，宽不变。    ( ) 17．如果把比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。( ) 18．从学校到广场，甲用了5分钟，乙用了6分钟，甲与乙的速度比是6∶5。( ) 19．一个长2毫米的零件画在图纸上长是1分米，这张图纸的比例尺是1：50。 ( ) 20．把一个正方形按1∶10的比缩小，就是把这个正方形的面积缩小到原来的。( ) 21．在比例a∶＝∶b中，a、b一定互为倒数。( ) 22．设计一个厂房，平面图上用10厘米的距离表示实际10米的距离，这个平面图的比例尺是1∶1。( ) B培优拔高 三、选择题 23．如果把3∶7的前项加上6，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上6 B．加上14 C．乘2 D．9 24．甲÷3＝乙×，甲与乙的最简整数比是（    ）。 A．1∶8 B．∶ C．1∶2 25．两个数相除的商是0.7，如果除数扩大到原来的10倍，被除数不变，则商（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的10倍 C．缩小到原来的 D．无法确定 26．下面几杯糖水中，最甜的是（    ）。 A．糖40g，水160g B．糖30g，水120g C．糖20g，水100g D．糖10g，水30g 27．修一条路，若每天修180m，则40天可以完成；若每天修200m，则x天可以完成。正确的比例是（    ）。 A．180x＝200×40 B．200x＝180×40 C．＝ 28．把4.5、7.5、、这四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 29．如图，把三角形A按1∶2缩小后，得到三角形B．三角形B三条边的长分别是（ ） A．14cm、10cm、8cm B．3.5cm、2.5cm、4cm C．3.5cm、2.5cm、2cm 30．下面的三个比中，能与12：15组成比例的是（  ）． A．1：2 B．4：5 C．1：9 31．下面三组数中，可以组成比例的是（    ）。 A．、、和 B．0.05、0.3、0.4和0.6 C．8、、和12 32．因为0.6：3=，：4=， 所以0.6：3和：4可以组成比例，这是根据（　　）判断的。 A．比的意义 B．比的基本性质 C．比例的意义 D．比例的基本性质 33．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 四、计算题 34．求比值。 24∶36                  7.5∶4          35．解比例。 8∶x＝          ∶x＝∶        4∶＝x∶ 36．化简比。 1.5∶2              ∶           0.625∶1.6 37．已知，，求。 38．解比例。            五、作图题 39．（每个小方格的面积是1平方厘米） （1）按的比画出三角形放大后的图形。 （2）按的比画出长方形缩小后的图形。 C思维拓展 六、解答题 40．一辆汽车第一次行驶60千米，耗油5千克；第二次行驶324千米，耗油27千克。 （1）分别写出每次行驶路程与耗油量的比，是否能组成比例？如果能，请写出比例。 （2）分别写出两次行驶路程的比以及两次耗油量的比，是否能组成比例？如果能，请写出比例。 41．修一条公路，每天修0.5千米，36天完成。如果每天修0.6千米，多少天可修完？（用两种方法解答） 42．用84厘米长的铜丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，则这个三角形的三条边各是多少厘米？ 43．学生们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？（用两种方法解答） 44．一颗人造卫星绕地球5周需小时。用同样的速度绕地球12周需多少小时？（用两种方法解答） 45．在比例尺是1：300的地图上，量得一块直角三角形地的周长是24厘米。已知三条边的长度比是3：4：5，求三角形地三条边实际的长各是多少米？ 46．奇奇看一本科普书，已经看了63页，这时已经看的与没看的页数比是3∶7，这本科普书有多少页？ 47．王强按表中的比例配制一种盐水。 盐的质量/克 水的质量/克 5 20 （1）如果用12克盐配制这样的盐水，需要加入多少克水？ （2）如果要配制这样的盐水2千克，需要加入多少千克盐？ 48．李梅为了布置教室墙报，剪了三张大小不同的长方形剪纸。 （1）写出每张长方形剪纸长与宽的比，并算出比值。 （2）选择其中的两个比组成比例。 49．根据比例24∶8＝9∶3回答下列问题。 （1）如果第一项24减6，第二项变成几才能使等式成立？ （2）如果第三项乘2，第四项应该怎样变化才能使等式成立？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 啤酒生产中的数学——比例 1、 比例的意义： （1） 核心概念：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2） 比例的组成：组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 （3） 应用场景：判断两个比能否组成比例，如3:4和6:8，因为3×8=4×6=24，所以3:4=6:8。 （4）比和比例的区别与联系： 2、 比例的基本性质： （1） 核心性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （2） 数学表达：如果a：b=c:d，那么a×d=b×c。 （3） 特点：这是解比例和判断比例的重要依据。 3、 解比例： （1） 核心方法：根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫作解比例； （2） 解比例的基本方法：根据比例的基本性质，先把比例转化为“外项之积=内项之积”的等式，再解方程求出未知项的值。 （3） 应用场景：已知比例中的三项，求第四项。 4、 正比例的意义： （1） 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量。 （2） 数学表达：如果，那么x和y成正比例关系。 （3） 特点：一个量增加，另一个量也按相同的比增加，一个量减少，另一个量也按相同的比减少。 （4） 判断方法： 5、 反比例的意义： （1） 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量。 （2） 数学表达：如果x×y=k（k为常量），那么x和y成反比例关系。 （3） 特点：一个量增加，另一个量按相同的比减少，一个量减少，另一个量按相同的比增加。 （4） 判断方法： 6、 用比例解决问题： 利用解比例解决实际问题的步骤： （1） 根据相关量之间的关系列出比例； （2） 根据比例的基本性质，先将比相等转化为积相等，再解方程； （3） 对所求未知数进行验证。 （4） 特点：先判断两种量的关系，再根据关系特点列出比例式求解。 类型1 比例的意义： 典型例题1：(1)学校操场上国旗的长是2.4米,宽是1.6米,长和宽的比是(　　　　)． (2)教室墙上国旗的长是60厘米,宽是40厘米,长和宽的比是(　　　　)． (3)这两个比能组成比例吗?为什么? 【答案】(1)2.4∶1.6　 (2)60∶40 (3)能组成比例,因为比值相等． 变式训练：用下图中的4个数据可以组成多少个比例? 【答案】8个 【详解】一共可以组成8个比例,分别是 6∶3=8∶4　 3∶6=4∶8　 6∶8=3∶4　 8∶6=4∶3 8∶4=6∶3    4∶8=3∶6    3∶4=6∶8    4∶3=8∶6 类型2 比例的基本性质： 典型例题2：根据0.9×5=4.5×1写出几个不同的比例． ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) ( )∶( )=( )∶( ) 【答案】 0.9 4.5 1 5 0.9 1 4.5 5 4.5 0.9 5 1 4.5 5 0.9 1 变式训练1：填一填． (1)在一个比例里,两个外项的积是20,其中一个内项是4,另一个内项是( )． (2)如果4∶a=b∶5,那么ab=( )． 【答案】 5 20 变式训练2：在比例中，两个外项的积是30，其中一个内项是3，另一个内项是( )。 【答案】10 【分析】根据比例的基本性质“两内项的积等于两外项的积”，先确定出两个内项的积也是30，用积30除以一个内项3，即可求得另一个内项的数值。 【详解】30÷3＝10 【点睛】此题考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。 类型3 解比例： 典型例题3：解比例． 4∶3=x∶9　　　　1.7∶51=2∶x　　　　=　　　　  0.7∶x=2.8∶24 【答案】x=12　x=60　x=　x=6 变式训练1：依照下面的条件列出比例,并解比例． (1)5和3的比等于x和6的比．     (2)3和x的比等于15和40的比． 【答案】(1)5∶3=x∶6　x=10(2)3∶x=15∶40　x=8 类型4 正比例的意义： 典型例题4：下列各表中的两种量是不是成正比例？为什么？ 【答案】（1）正方形的边长和面积不成正比例，因为比值不一定． （2）铁的质量和体积成正比例，因为比值一定． 变式训练1：在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下表． （1）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例吗？说明理由． （2）在图中描出表示物体质量和弹簧伸长长度相对应的点，然后把它们按顺序连接起来． （3）根据上图估计一下，称2.5千克物体时，弹簧大约伸长多少厘米？ 【答案】（1）物体质量和弹簧伸长长度成正比例，因为比值一定． （2）如图： （3）称2.5千克物体时，弹簧大约伸长1.25厘米． 类型5 反比例的意义： 典型例题5：学校举行四驱车模比赛．小强的车模速度为480米/分，跑完全程用了5分钟．小瑞的车模跑完全程比小强的多用了1分钟，他的车模速度是多少？ 【答案】400米/分 【详解】480×5÷（5+1）=400（米/分） 变式训练1：（1）明新骑车从甲地到乙地，前5分钟行了700米，照这样的速度，从甲地到乙地一共用了20分钟．甲、乙两地相距多少米？ （2）明新骑车从甲地到乙地一共用了20分钟，每分钟行140米；返回时每分钟行100米，返回时用了多少分钟？ 【答案】（1）2800米   （2）28分钟 【详解】（1）解：设甲乙两地相距x米 5:700=20：x 解得，x=2800 答：两地相距2800米． （2）解：设返回时用了x分钟 20×140=100x 解得，x=28 答：返回时用了28分钟． 类型6 用比例解决问题： 典型例题6：小东在100米赛跑中跑到终点时领先小凡10米,领先小强15米,如果小凡、小强按他们原来的速度继续跑向终点,那么当小凡到达终点时,小强还差多少米到达终点? 【答案】米 【知识点】正比例、反比例的应用、行程问题 【详解】解:设小凡到达终点时,小强还差x米到达终点． (100-10)∶(100-15)=100∶(100-x) 18∶17=100∶(100-x) 1800-18x=1700 x= 答:小凡到达终点时,小强还差米到达终点． 变式训练1：有一堆煤,计划每天烧100千克,可以烧24天．改进炉灶后,每天只烧80千克,这堆煤可以烧多少天? 【答案】30天 【详解】解:设这堆煤可以烧x天． 80x=100×24　 x=30 答：这堆煤可以烧30天． A夯实基础 一、填空题 1．因为6a＝5b（a、b均不为0），所以a∶b＝( )∶( )；a∶5＝( )∶( )。 【答案】 5 6 b 6 【分析】根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，可知a∶b＝5∶6，a∶5＝b∶6，据此解答即可。 【详解】因为6a＝5b（a、b均不为0），所以a∶b＝5∶6；a∶5＝b∶6。 【点睛】熟记比例的基本性质并能灵活利用是解答本题的关键。 2．正方形A、B的边长分别是6cm和3cm，则它们的边长比是( )，周长比是( )，面积比是( )。 【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 【分析】根据比的意义，求它们的边长比，用正方形A的边长∶正方形B的边长，化简即可； 求它们的周长比；根据正方形周长公式：周长＝边长×4，代入数据，分别求出正方形A和正方形B的周长，再用正方形A的周长∶正方形B的周长，化简即可； 求它们的面积比；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；代入数据，分别求出正方向A的面积和正方形B的面积，再用正方形A的面积∶正方形B的面积，化简即可。 【详解】6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 （6×4）∶（3×4） ＝24∶12 ＝（24÷12）∶（12÷12） ＝2∶1 （6×6）∶（3×3） ＝36∶9 ＝（36÷9）∶（9÷9） ＝4∶1 正方形A、B的边长分别是6cm和3cm，则它们的边长比是2∶1，周长比是2∶1，面积比是4∶1。 【点睛】熟练掌握比的意，比的基本性质，正方形周长公式，正方形面积公式是解答本题的关键。 3．在比例5∶3=15∶9中，如果内项3加上3，那么外项9 （ ），比例仍成立。 【答案】加上9（答案不唯一） 【分析】先计算内项3加上3之后的数，然后乘另一个内项，再除以没有改变的外项，就可以得到另一个改变的外项，最后减去原本的这个外项，或者除以原本的这个外项，就是外项的变化规律。 【详解】3+3=6，6×15÷5=18，18-9=9（或者18÷9=2），所以外项9加上9（或者乘2），比例仍成立。 故答案为：加上9 4．美术组有男生15人，女生20人，男生人数与女生人数的最简整数比是( )，男生人数占美术组人数的( )。 【答案】 3∶4 【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变，将男生与女生的比化简即可；求一个数是另一个数的几分之几，用除法，据此解答即可。 【详解】15∶20 ＝（15÷5）∶（20÷5） ＝3∶4 15÷（15＋20） ＝15÷35 ＝ 即男生人数与女生人数的最简整数比是3∶4，男生人数占美术组人数的。 【点睛】本题考查比的基本性质，以及求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要重点掌握。 5．把改写成百分数，写作( )%；240的25%是( )。 【答案】 27.3 60 【分析】先把化成小数，用3÷11，得到的商就是小数，再根据小数化百分数的分法，小数点向右移动两位，再添上百分号即可；把240看作单位“1”，求它的25%是多少，用240×25%解答。 【详解】3÷11≈0.273 0.273＝27.3% 240×25%＝60 把改写成百分数，写作27.3%；240的25%是60。 【点睛】熟练掌握分数、小数和百分数之间的互化，以及求一个数的百分之几的计算方法是解答本题的关键。 6．甲数和乙数的比是，已知甲、乙两数的和是24，则甲数是( )。 【答案】15 【分析】由题意可知：分别把甲数和乙数看作5份和3份，则甲数与乙数共有份，于是可以求出1份是多少，进而求出甲数是多少。 【详解】 故答案为：15。 【点睛】解答此题的关键是：利用份数解答，求出1份是多少，问题即可得解。 7．一个长45米、宽30米的长方形操场，把它按1∶500的比例尺画在图纸上，长应画( )厘米，宽应画( )厘米。 【答案】 9 6 【分析】要求长和宽各是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，分别进行计算即可。 【详解】45米＝4500厘米 30米＝3000厘米 （厘米） （厘米） 所以长应该画9厘米，宽应画6厘米。 8．如果，那么a∶b＝（ ），b∶c＝（ ）。 【答案】 7∶8 8∶9 【分析】先把改写成两个比例a∶14＝b∶16，b∶16＝c∶18。运用比例的基本的性质得解，注意化简比。在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 【详解】因为，所以a∶14＝b∶16，b∶16＝c∶18。 （1）a∶14＝b∶16 16a＝14b a∶b＝14∶16 a∶b＝7∶8 （2）b∶16＝c∶18 18b＝16c b∶c＝16∶18 b∶c＝8∶9 9．如果a：5＝3：b，那么ab＝（  ）；如果7m＝9n，那么m：n＝（  ∶  ）． 【答案】15     9    7 10．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.8，另一个外项是( )。 【答案】1.25 【分析】根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积即可解答。 【详解】因为两个内项互为倒数，则两内项的积为1，所以两外项的积也是1，一个外项是0.8，则另一个外项为： 1÷0.8＝1.25 【点睛】此题主要考查比例的基本性质以及倒数的意义。 11．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 【答案】3∶10； 【分析】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【详解】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【点睛】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 二、判断题 12．=，则x=．   ( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质，把比例写成两个外项积等于两个内项积的形式，然后根据等式的性质求出未知数的值即可做出判断. 【详解】 解：0.6x=4×0.09 x=0.36÷0.6 x= 原题计算正确. 故答案为正确 13．在中，1.6和8是比例的外项，2和10是比例的内项。( ) 【答案】× 【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；据此解答。 【详解】根据对比例的认识可知：在中，1.6和10是比例的外项，2和8是比例的内项；原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查对比例各项的认识，较为简单。 14．在放大或缩小图形时，图形的面积变了，图形的形状也变了．( ) 【答案】× 15．3A＝4B，那么A∶B＝3∶4。( ) 【答案】× 16．把一个长方形按5∶1进行放大，就是把长方形的长扩大到原来的5倍，宽不变。    ( ) 【答案】× 【分析】放大图形时是把图形的每条边都放大，由此判断即可。 【详解】把一个长方形按5：1进行放大，就是把长方形的长和宽都扩大到原来的5倍。原题说法错误。 故答案为：× 17．如果把比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例基本性质的内容直接解答。 【详解】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。 故答案为：√ 【点睛】此题考查学生对比例基本性质的内容理解和记忆。 18．从学校到广场，甲用了5分钟，乙用了6分钟，甲与乙的速度比是6∶5。( ) 【答案】√ 【分析】将学校到广场这段路程看作单位“1”，从而将甲、乙的速度表示出来，再作比化简即可求出速度比。 【详解】∶ ＝（×30）∶（×30） ＝6∶5 所以，甲与乙的速度比是6∶5。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了比的化简，比的前项和后项都是分数时，可利用比的性质，将前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，再化简出最简整数比。 19．一个长2毫米的零件画在图纸上长是1分米，这张图纸的比例尺是1：50。 ( ) 【答案】× 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，1分米＝100毫米，将数字代入后统一单位。 【详解】根据分析： 1分米∶2毫米 ＝100∶2 ＝（100÷2）∶（2÷2） ＝50∶1 所以这张图纸的比例尺是50∶1，原题说法错误。 故答案为：× 20．把一个正方形按1∶10的比缩小，就是把这个正方形的面积缩小到原来的。( ) 【答案】× 【分析】图形的放大或缩小指的是把对应边进行放大或缩小，据此结合正方形的面积＝边长×边长判断即可。 【详解】把一个正方形按1∶10的比缩小，即把正方形的边长缩小到原来的，则面积缩小到原来的×＝。 故答案为：× 21．在比例a∶＝∶b中，a、b一定互为倒数。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质，a和b都在外项，求出两个内项的积，如果积是1，a、b互为倒数，据此分析。 【详解】ab＝×＝1，a、b一定互为倒数，所以原题说法正确。 【点睛】本题考查了比例的基本性质和倒数，比例的两内项积＝两外项积。 22．设计一个厂房，平面图上用10厘米的距离表示实际10米的距离，这个平面图的比例尺是1∶1。( ) 【答案】× 【分析】根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，带入数值求出比例尺，再与1∶1比较即可。 【详解】10米＝1000厘米 10厘米∶1000厘米＝1∶100 因为1∶100≠1∶1，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查比例尺的求法，解题时注意单位要统一。 B培优拔高 三、选择题 23．如果把3∶7的前项加上6，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上6 B．加上14 C．乘2 D．9 【答案】B 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】3∶7的前项加上6，前项变为9，扩大到原来的3倍，要使它的比值不变，后项也要扩大到原来的3倍，变为7×3＝21，21－7＝14； 故答案为：B。 【点睛】熟练掌握比的基本性质是解答本题的关键。 24．甲÷3＝乙×，甲与乙的最简整数比是（    ）。 A．1∶8 B．∶ C．1∶2 【答案】C 【分析】利用比例的基本性质写成比的形式，再化简比即可。 【详解】甲÷3＝乙×，甲×＝乙×，甲∶乙＝∶＝1∶2。 故答案为：C。 【点睛】此题也可以举例解决：令甲÷3＝乙×＝1，则甲＝3，乙＝6，所以甲∶乙＝3∶6＝1∶2。 25．两个数相除的商是0.7，如果除数扩大到原来的10倍，被除数不变，则商（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的10倍 C．缩小到原来的 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据商的变化规律可知，被除数不变，除数扩大到原来的10倍，商缩小到原来的，据此解答。 【详解】根据分析可知，两个数相除的商是0.7，如果除数扩大到原来的10倍，被除数不变，则商缩小到原来的。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。 26．下面几杯糖水中，最甜的是（    ）。 A．糖40g，水160g B．糖30g，水120g C．糖20g，水100g D．糖10g，水30g 【答案】D 【分析】根据含糖率＝糖÷糖水×100%，求出含糖率，比较即可。 【详解】A．40÷（40＋160）×100% ＝40÷200×100% ＝20% B．30÷（30＋120）×100% ＝30÷150×100% ＝20% C．20÷（20＋100）×100% ＝20÷120×100% ≈16.7% D．10÷（10＋30）×100% ＝10÷40×100% ＝25% 故答案为：D 【点睛】××率＝要求量（就是××所代表的信息）/单位“1”的量（总量）×100%。 27．修一条路，若每天修180m，则40天可以完成；若每天修200m，则x天可以完成。正确的比例是（    ）。 A．180x＝200×40 B．200x＝180×40 C．＝ 【答案】B 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间；由于这条路的长度不变，工作效率和工作时间成反比例，设x天可以完成，x天修的长度等于40天修的长度；列方程：200x＝180×40，据此解答。 【详解】根据分析可知，修一条路，若每天修180m，则40天可以完成；若每天修200m，则x天可以完成。正确的比例是200x＝180×40。 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是求出工作效率和工作时间成成什么比例，进而进行解答。 28．把4.5、7.5、、这四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【答案】D 【分析】把4.5、7.5、、这四个数组成比例，把最大数和最小数做内项，其余两个数做外项，据此写出比例，再进一步求出内项的积。 【详解】4.5、7.5、、这四个数可以组成比例4.5∶＝7.5∶ 所以内项积是×7.5＝2.25。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握求四个数组成比例的方法是解题的关键。 29．如图，把三角形A按1∶2缩小后，得到三角形B．三角形B三条边的长分别是（ ） A．14cm、10cm、8cm B．3.5cm、2.5cm、4cm C．3.5cm、2.5cm、2cm 【答案】C 【详解】7÷2=3.5（cm），5÷2=2.5（cm），4÷2=2（cm） 30．下面的三个比中，能与12：15组成比例的是（  ）． A．1：2 B．4：5 C．1：9 【答案】B 【详解】考点：比例的意义和基本性质． 分析：根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积，如果等于就说明两个比能组成比例，不等于就不能组成比例． 解答： A、因为12×2≠15×1，所以不能组成比例； B、因为12×5=15×4，所以能组成比例； C、因为12×9≠15×1，所以不能组成比例． 31．下面三组数中，可以组成比例的是（    ）。 A．、、和 B．0.05、0.3、0.4和0.6 C．8、、和12 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质，比的外项之积等于内项之积，用选项中最大的数和最小的数相乘，看是否等于剩下两位数的乘积，即可选择。 【详解】A．，，不相等，所以不成比例； B．0.05×0.6＝0.03，0.3×0.4＝0.12，不相等，所以不成比例； C．，，相等即成比例。 故答案为：C 32．因为0.6：3=，：4=， 所以0.6：3和：4可以组成比例，这是根据（　　）判断的。 A．比的意义 B．比的基本性质 C．比例的意义 D．比例的基本性质 【答案】C 【详解】解：因为0.6∶3＝ ， ∶4＝ ，所以0.6∶3和 ∶4可以组成比例，这是根据比例的意义判断的； 【分析】因为两个比0.6∶3和 ∶4的比值都是 ，说明这两个比相等，所以0.6∶3和 ∶4可以组成比例，这是根据比例的意义判断的，因为比例是表示两个比相等的式子。据此进行选择。 故选：C 33．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【详解】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 四、计算题 34．求比值。 24∶36                  7.5∶4          【答案】；4；1.875； 【分析】用比的前项除以比的后项，即可求出比值。 【详解】（1）24÷36＝ （2） ＝ ＝4 （3）7.5÷4＝1.875 （4） ＝ ＝ 35．解比例。 8∶x＝          ∶x＝∶        4∶＝x∶ 【答案】x＝96；x＝；x＝ 【分析】（1）先根据比例的基本性质把比例转化成x＝8，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以即可； （2）先根据比例的基本性质把比例转化成x＝×，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算； （3）先根据比例的基本性质把比例转化成x＝4×，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算。 【详解】8∶x＝ 解：x＝8 x＝8÷ x＝8×12 x＝96 ∶x＝∶ 解：x＝× x＝ x＝÷ x＝× x＝ 4∶＝x∶ 解：x＝4× x＝ x＝÷ x＝× x＝ 36．化简比。 1.5∶2              ∶           0.625∶1.6 【答案】3∶4；15∶4；25∶64 【分析】化简比就是把比化简成最简整数比，据此结合比的基本性质：给比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，对给出的比进行化简即可。 【详解】1.5∶2 ＝（1.5×10）∶（2×10） ＝15∶20 ＝（15÷5）∶（20÷5） ＝3∶4 ∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶4 0.625∶1.6 ＝（0.625×40）∶（1.6×40） ＝25∶64 37．已知，，求。 【答案】9∶12∶8 【分析】因为a∶b＝3∶4，b∶c＝4∶，两比例式中b的值相同，所以直接比即可。 【详解】a∶b＝3∶4，b∶c＝4∶ a∶b∶c ＝3∶4∶ ＝3∶4∶ ＝9∶12∶8 38．解比例。          【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先写成的形式，两边同时÷3即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可。 【详解】 解： 解： 解： 五、作图题 39．（每个小方格的面积是1平方厘米） （1）按的比画出三角形放大后的图形。 （2）按的比画出长方形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）按2∶1的比例画出三角形放大后的图形，就是把原三角形的底和高分别扩大到原来的2倍，原三角形的底和高分别是2格和4格，扩大后的三角形的底和高分别是4格和8格； （2）按1∶3的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的，原长方形的长和宽分别是9格和3格，缩小后的长方形的长和宽分别是3格和1格。 【详解】 （1）、（2）如图： 【点睛】本题是考查图形的放大与缩小，使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 C思维拓展 六、解答题 40．一辆汽车第一次行驶60千米，耗油5千克；第二次行驶324千米，耗油27千克。 （1）分别写出每次行驶路程与耗油量的比，是否能组成比例？如果能，请写出比例。 （2）分别写出两次行驶路程的比以及两次耗油量的比，是否能组成比例？如果能，请写出比例。 【答案】（1）能；60∶5＝324∶27 （2）能；60∶324＝5∶27 【分析】（1）根据题意，写出两次行驶路程与耗油数量的比，然后根据比例含义：表示两个比相等的式子，叫做比例式，判断出两次行驶路程与耗油数量的比能不能组成比例，如果能，写出来即可； （2）同理，写出两次行驶的路程的比，与两次耗油量的比，根据比例的含义，判断出两次行驶路程与耗油数量的比能不能组成比例，如果能，写出来即可． 【详解】（1）60∶5＝60÷5＝12 324∶27＝324÷27＝12 所以60∶5＝324∶27 答：每次行驶路程与耗油量的比能组成比例，比例为60∶5＝324∶27。 （2）60∶324＝60÷324＝ 5∶27＝5÷27＝ 所以60∶324＝5∶27 答：两次行驶路程的比以及两次耗油量的比能组成比例，比例为60∶324＝5∶27。 41．修一条公路，每天修0.5千米，36天完成。如果每天修0.6千米，多少天可修完？（用两种方法解答） 【答案】30天 【分析】方法一：根据题意知道总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答；方法二：用每天修的米数×修的天数求出这条路的总长度，再用总长度÷每天修的米数求出修的天数；据此解答。 【详解】第一种方法： 解：设x天可以修完 0.6x＝0.5×36 0.6x＝18 0.6x÷0.6＝18÷0.6 x＝30 第二种方法： 0.5×36÷0.6 ＝18÷0.6 ＝30（天） 答：30天可以修完。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 42．用84厘米长的铜丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，则这个三角形的三条边各是多少厘米？ 【答案】21厘米；28厘米；35厘米 【详解】84×＝21（厘米）， 84×＝28（厘米）， 84×＝35（厘米） 答：这个三角形的三条边分别是21厘米，28厘米，35厘米。 43．学生们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？（用两种方法解答） 【答案】15行 【分析】第一种方法：原来每行人数×正好站成的行数＝做操总人数，做操总人数÷现在每行站的人数＝现在可以占的行数； 第二种方法：设可以站x行，总人数＝每行站的人数×站成的行数；由于总人数不变，每行站的人数和行数成反比例。现在每行站的人数×现在可以站的行数＝原来每行站的人数×正好站成的行数，列方程：24x＝20×18，解方程，即可解答。 【详解】第一种：20×18÷24 ＝360÷24 ＝15（行） 第二种：解：设可以站x行。 24x＝20×18 24x＝360 24x÷24＝360÷24 x＝15 答：可以站15行。 【点睛】解答本题的关键明确总人数不变，利用总人数不变，进行解答。 44．一颗人造卫星绕地球5周需小时。用同样的速度绕地球12周需多少小时？（用两种方法解答） 【答案】32小时 【分析】方法一：用同样的速度，说明绕地球转的速度不变；先求出绕地球1周需要多长时间，再求出12周需要的时间，据此求解即可； 方法二：设运行12周约需要x小时，因为运行速度一定，进而列出比例，解答即可。 【详解】方法一： ÷5×12 ＝÷5×12 ＝××12 ＝×12 ＝32（小时） 答：用同样的速度绕地球12周需32小时。 方法二： 解：设用同样的速度绕地球12周需x小时。 ∶5＝x∶12 5x＝×12 5x＝×12 5x＝160 x＝160÷5 x＝32 答：用同样的速度绕地球12周需32小时。 【点睛】此题考查的是根据总时间、周数和运行一周用的时间三个量之间的关系，用算术解法和比例解答同一应用题的方法和思路。 45．在比例尺是1：300的地图上，量得一块直角三角形地的周长是24厘米。已知三条边的长度比是3：4：5，求三角形地三条边实际的长各是多少米？ 【答案】18米、24米、30米 【分析】先计算在地图上，三角形的周长按照3：4：5分别计算出三条边的长度。然后根据比例尺计算出三角形三条边的实际长度。 【详解】24×＝6（厘米） 24×＝8（厘米） 24×＝10（厘米） 6÷＝1800（厘米） 1800厘米＝18米 8÷＝2400（厘米） 2400厘米＝24米 10÷＝3000（厘米） 3000厘米＝30米 答：三角形地三条边实际的长分别是18米、24米、30米。 【点睛】本题考查了按比例分配计算和比例尺的计算，注意比例尺计算时，图上距离和实际距离的单位一致。 46．奇奇看一本科普书，已经看了63页，这时已经看的与没看的页数比是3∶7，这本科普书有多少页？ 【答案】210页 【分析】根据比的意义可知：可以把已经看的页数看成3份，则没看的页数是7份，据此根据已经看了63页用除法求出1份是多少页，再用1份的页数乘（3＋7）即可得到这本书的总页数。 【详解】63÷3＝21（页） 21×（3＋7） ＝21×10 ＝210（页） 答：这本科普书有210页。 47．王强按表中的比例配制一种盐水。 盐的质量/克 水的质量/克 5 20 （1）如果用12克盐配制这样的盐水，需要加入多少克水？ （2）如果要配制这样的盐水2千克，需要加入多少千克盐？ 【答案】（1）48克 （2）0.4千克 【分析】（1）要配制同样的盐水，可以根据比例的意义解答，据此设用12克盐配制这样的盐水，需要加入水克。根据盐∶水＝5∶20，列出比例为5∶20＝12∶，然后解出比例即可。 （2）同理，设要配制这样的盐水2千克，需要加入千克盐。根据盐∶盐水＝5∶（20＋5），列出比例为5∶（20＋5）＝∶2，然后解出比例即可。 【详解】（1）解：设需要加入水克。 5∶20＝12∶ 5＝20×12 ＝20×12÷5 ＝48 答：需要加入48克水。 （2）解：设需要加入千克盐。 5∶（20＋5）＝∶2 5∶25＝∶2 25＝5×2 ＝5×2÷25 ＝0.4 答：需要加入0.4千克盐。 48．李梅为了布置教室墙报，剪了三张大小不同的长方形剪纸。 （1）写出每张长方形剪纸长与宽的比，并算出比值。 （2）选择其中的两个比组成比例。 【答案】（1）15∶10；18∶12；24∶16；比值都是1.5 （2）18∶12＝24∶16（答案不唯一） 【分析】（1）根据比的意义，分别写出每张长方形剪纸长与宽的比；比的前项除以后项即可求出比值。据此解答。 （2）表示两个比相等的式子叫做比例，据此把（1）中比值相等的两个比组成比例。 【详解】（1）第一张：15∶10 ＝15÷10 ＝1.5 第二张：18∶12 ＝18÷12 ＝1.5 第三张：24∶16 ＝24÷16 ＝1.5 则第一张剪纸长和宽的比是15∶10，第二张剪纸长和宽的比是18∶12，第三张剪纸长和宽的比是24∶16；它们的比值都是1.5。 （2）根据比例的意义，可以选（1）中的两个比组成比例：18∶12＝24∶16。 49．根据比例24∶8＝9∶3回答下列问题。 （1）如果第一项24减6，第二项变成几才能使等式成立？ （2）如果第三项乘2，第四项应该怎样变化才能使等式成立？ 【答案】（1）第二项变成6才能使等式成立； （2）第四项应该乘2才能使等式成立。 【分析】（1）如果第一项24减6，第一项变成18，用两个外项的积除以第三项，求出第二项变成几才能使等式成立即可。 （2）根据比例的基本性质，如果第三项乘2，第四项应该乘2才能使等式成立。 【详解】（1）（24－6）×3÷9 ＝18×3÷9 ＝54÷9 ＝6 答：第二项变成6才能使等式成立。 （2）（9×2）×8÷24 ＝18×8÷24 ＝144÷24 ＝6 由3到6，第四项应该乘2才能使等式成立 答：第四项应该乘2才能使等式成立。 【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个外项或两个内项的积的变化情况。 1 学科网（北京）股份有限公司 $