专题04两条直线的位置关系知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04两条直线的位置关系 【题型01 平面内两直线的位置关系】...................................3 【题型02 立体图形中平行的棱】.......................................3 【题型03 相交线】...................................................4 【题型04 对顶角的定义】.............................................5 【题型05 对顶角相等】...............................................6 【题型06 求一个角的余角】...........................................6 【题型07 求一个角的补角】...........................................7 【题型08 与余角.补角有关的计算】....................................7 【题型09 同(等)角的余(补)角相等的应用】.............................8 【题型10 垂线的定义理解】...........................................8 【题型11 画垂线】...................................................9 【题型12 垂线短最短】..............................................10 【题型13 点到直线的距离】..........................................11 【题型14 解答题5题】..............................................12 知识梳理 知识点01:同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线仅有相交与平行两种位置关系。 相交线：有且只有一个公共点（交点）。 平行线：无公共点，记作 n∥m；线段、射线平行指其所在直线平行。 关键前提：“同一平面内” 是核心条件（初中阶段不研究异面直线）。 知识点02:相交线核心：对顶角 定义：两条直线相交形成，具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等（几何证明基础结论）。 知识点03:余角与补角（数量关系） 1. 定义（无位置要求） 互余：若 ∠BOC+∠COA=90∘，则两角互为余角。 互补：若 ∠AOC+∠BOC=180∘，则两角互为补角。 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等。 同角（或等角）的补角相等。 3. 常用公式 锐角 α 的余角：90∘−α 角 α 的补角：180∘−α 同一锐角的补角比余角大 90∘。 知识点04:特殊相交：垂直 1. 定义 两条直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作 AC⊥BD，交点为垂足。 推论：垂直的两条直线所成的四个角均为直角。 2. 核心性质 存在性与唯一性：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段长度最小。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（强调：是长度，非线段本身）。 知识点05:核心易错点 1.描述位置关系时，遗漏 “同一平面内” 的前提。 2.混淆 “对顶角” 的位置特征（必须两边互为反向延长线）。 3.误将 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”（距离是数值，垂线段是图形）。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【跟踪专练1】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【跟踪专练3】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【题型2.立体图形中平行的棱】 【典例】在正方体的一个顶点处，有 条棱相交，这些棱中任意两条都 （填“是”或“不是”）平行． 【跟踪专练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【跟踪专练3】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【题型3.相交线】 【典例】如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【跟踪专练1】如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】下列说法中正确的有 ．（填写序号） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 【跟踪专练3】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 【题型4.对顶角的定义】 【典例】两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【跟踪专练3】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【题型5.对顶角相等】 【典例】如图，直线相交于点，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，直线，，则 ． 【跟踪专练3】两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．三个角都相等 【题型6.求一个角的余角】 【典例】若与互余，且，则 ． 【跟踪专练1】如图，，，则的余角是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】与互余，与互补，，那么 ． 【跟踪专练3】如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【题型7.求一个角的补角】 【典例】已知一个角的度数是，则它的补角的度数是 ． 【跟踪专练1】若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果和互余，则下列式子：①；②；③；④；⑤．其中表示的补角的式子有 ．（填序号） 【跟踪专练3】已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【题型8.与余角.补角有关的计算.】 【典例】若一个角的补角是，则这个角的度数为 ． 【跟踪专练1】如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【跟踪专练3】小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．与互余 C． D．与互补 【题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例】如果与互补，与互补，且，，那么 ． 【跟踪专练1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【跟踪专练3】如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型10.垂线的定义理解】 【典例】在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练1】如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【跟踪专练2】如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【跟踪专练3】如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 【题型11.画垂线】 【典例】如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【跟踪专练1】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【题型12.垂线段最短】 【典例】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【跟踪专练1】如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【跟踪专练2】如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【跟踪专练3】如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【题型13.点到直线的距离】 【典例】如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    【跟踪专练1】如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    【跟踪专练3】如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　） ①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．6个 D．0个 解答题 1．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 2．如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 3．如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 4．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 5．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04两条直线的位置关系 【题型01 平面内两直线的位置关系】...................................2 【题型02 立体图形中平行的棱】.......................................4 【题型03 相交线】...................................................6 【题型04 对顶角的定义】.............................................8 【题型05 对顶角相等】..............................................10 【题型06 求一个角的余角】..........................................11 【题型07 求一个角的补角】..........................................15 【题型08 与余角.补角有关的计算】...................................16 【题型09 同(等)角的余(补)角相等的应用】............................18 【题型10 垂线的定义理解】..........................................20 【题型11 画垂线】..................................................22 【题型12 垂线短最短】..............................................25 【题型13 点到直线的距离】..........................................27 【题型14 解答题5题】..............................................29 知识梳理 知识点01:同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线仅有相交与平行两种位置关系。 相交线：有且只有一个公共点（交点）。 平行线：无公共点，记作 n∥m；线段、射线平行指其所在直线平行。 关键前提：“同一平面内” 是核心条件（初中阶段不研究异面直线）。 知识点02:相交线核心：对顶角 定义：两条直线相交形成，具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等（几何证明基础结论）。 知识点03:余角与补角（数量关系） 1. 定义（无位置要求） 互余：若 ∠BOC+∠COA=90∘，则两角互为余角。 互补：若 ∠AOC+∠BOC=180∘，则两角互为补角。 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等。 同角（或等角）的补角相等。 3. 常用公式 锐角 α 的余角：90∘−α 角 α 的补角：180∘−α 同一锐角的补角比余角大 90∘。 知识点04:特殊相交：垂直 1. 定义 两条直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作 AC⊥BD，交点为垂足。 推论：垂直的两条直线所成的四个角均为直角。 2. 核心性质 存在性与唯一性：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段长度最小。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（强调：是长度，非线段本身）。 知识点05:核心易错点 1.描述位置关系时，遗漏 “同一平面内” 的前提。 2.混淆 “对顶角” 的位置特征（必须两边互为反向延长线）。 3.误将 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”（距离是数值，垂线段是图形）。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 【跟踪专练1】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 【跟踪专练2】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 【跟踪专练3】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 【题型2.立体图形中平行的棱】 【典例】在正方体的一个顶点处，有 条棱相交，这些棱中任意两条都 （填“是”或“不是”）平行． 【答案】 3 不是 【分析】本题主要考查了正方体的特点，解题的关键在于能够熟练掌握正方体的特点． 正方体每个顶点处有三条棱相交，且这些棱两两互相垂直，不平行． 【详解】解：正方体有8个顶点，每个顶点处有3条棱相交；这三条棱分别沿正方体的长、宽、高方向，两两之间的夹角均为，因此任意两条棱都不平行． 故答案为：3，不是． 【跟踪专练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可． 【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC， ∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF， ∴与棱AD平行的平面共有2个． 故选择：B． 【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键． 【跟踪专练2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 【跟踪专练3】一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 【题型3.相交线】 【典例】如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 【跟踪专练1】如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 【跟踪专练2】下列说法中正确的有 ．（填写序号） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 【答案】②③ 【分析】根据平行线、相交线、垂线的性质，对各个选项进行分析，即可得到答案． 【详解】当两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相交线、垂线的性质，从而完成求解． 【跟踪专练3】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上； C．不符合点P在直线a上； D．不符合直线a、b、c两两相交； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键． 【题型4.对顶角的定义】 【典例】两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【答案】 公共顶点 公共边 【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可． 【详解】解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角， ∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角． 故答案为：公共顶点；公共边． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是， 故选C 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 【跟踪专练3】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【题型5.对顶角相等】 【典例】如图，直线相交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，得，变形计算即可． 本题考查了对等角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故答案为：42． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，直线，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、余角的定义等知识点，明确角之间的关系成为解题的关键． 如图：由对顶角的定义可得，然后根据余角的定义列式计算即可． 【详解】解：如图：由对顶角的性质可得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．三个角都相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质、互余、对顶角相等、邻补角等知识，根据题意，数形结合，找到各个角之间的关系即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由于书本是矩形，则，，，，， ，， ，， ， ，， ； ，， ， ， ， ， ， 不一定等于， 由，，可知不一定等于， 故选：B． 【题型6.求一个角的余角】 【典例】若与互余，且，则 ． 【答案】51 【分析】本题考查余角：根据互余角的定义，两个角的和为，已知的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵与互余， ∴． 已知， 因此． 故答案为：51． 【跟踪专练1】如图，，，则的余角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义．根据余角的定义（若两个角的和为，则这两个角互为余角）求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是， 故选：A． 【跟踪专练2】与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、余角：和为的两个角互为余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，则可得，，再根据等量代换可得，，然后根据余角的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， ∵， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：B． 【题型7.求一个角的补角】 【典例】已知一个角的度数是，则它的补角的度数是 ． 【答案】/113度 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是掌握补角定义． 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可求解． 【详解】解：它的补角的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互为补角的两角之和为是解答此类题目的关键． 根据互为补角的两角之和为即可得出这个角的补角的度数． 【详解】解：这个角的补角． 故选：C． 【跟踪专练2】如果和互余，则下列式子：①；②；③；④；⑤．其中表示的补角的式子有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 由和互余，则，的补角为．分别验证每个式子是否等于或与之和为即可解答． 【详解】解：∵和互余， ∴，即． ①直接表示的补角，正确． ②，是的补角，正确． ③，是的补角，正确． ④（除非），不是补角，错误． ⑤，不是的补角，错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为①②③． 【跟踪专练3】已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于是解题的关键．利用互补两角和为，求解即可． 【详解】解：互补两角和为， 的互补角为， 故选：B． 【题型8.与余角.补角有关的计算.】 【典例】若一个角的补角是，则这个角的度数为 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义解答即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是互余与互补的含义，根据互余和互补的定义，可得，，进一步可得结论. 【详解】解：∵ 与互余， ∴ ，即， ∵ 与互补， ∴ ，即， ∴，即 ， ∴ . 故选：B 【跟踪专练2】如果一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角，一元一次方程的应用，设这个角为，由题意补角是余角的6倍，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角的概念. 由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 即，故选项A不符合题意； B、∵， ∴与互余，故选项B不符合题意； C、当时，，故选项C符合题意； D、∵， ∴与互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 【题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例】如果与互补，与互补，且，，那么 ． 【答案】55 【分析】本题考查等角的补角相等，解题的关键是熟练掌握补角的性质．根据“等角的补角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，与互补， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握补角的性质是解题的关键． 根据同角的补角相等判断即可． 【详解】解：因为， ， 所以．（依据：同角的补角相等）， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 【跟踪专练3】如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，即得，即可判断①；由得，进而根据余角性质可得，即可判断②；根据余角定义可判断③；利用余角性质可得，进而根据补角性质可得，即可判断④，掌握余角和补角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的余角，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴图中互余的角共有对，故③错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选：． 【题型10.垂线的定义理解】 【典例】在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直． 【答案】一 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直解答即可． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：一． 【跟踪专练1】如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的唯一性性质，逐一判断选项． 【详解】解：根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 【答案】C 【分析】此题考查垂直的定义，解一元一次方程，几何图形中角度计算，正确理解垂直的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵的度数比的度数的2倍少， ∴， ∴， 解得 ∴ 故选：C． 【题型11.画垂线】 【典例】如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 因此，只能画出1条垂线． 故选：A． 【跟踪专练1】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【题型12.垂线段最短】 【典例】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：，，， 到的距离为， 点是边上的动点， 则的长不可能是． 故选A． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处， 故选：C． 【题型13.点到直线的距离】 【典例】如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    【答案】 【分析】本题考查垂线段、点到直线距离的定义，熟练掌握垂线段和点到直线的距离定义是解题的关键．根据“从直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫作垂线段．”、“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．”即可得答案． 【详解】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点到直线的距离等于的长度，即为4．点到直线的垂线段是线段． 故答案为：4，． 【跟踪专练1】如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案． 【详解】解：， ， 点A到直线PC的距离是线段的长， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　） ①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．6个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【详解】解：①∵， ∴；故①正确； ②，与不垂直；故②错误； ③点C到的垂线段是线段；故③错误； ④点A到的距离是线段的长度；故④正确； ⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确； ⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误； 综上：正确的是：①④⑤，共3个； 故选：A． 解答题 1．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【详解】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 2．如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 【答案】(1)和 (2) (3)与；与 【分析】本题考查的知识点是余角和补角，解题关键是熟记如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． （1）根据余角的概念解答即可； （2）先求出，然后求出结果即可； （3）根据补角的概念进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴与互余的角是和， 故答案为：和； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴与互补； ∵， ∴， ∴与互补， 故答案为：与互补；与互补． 3．如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【详解】（1）解：， . , . （2）是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3）平分， ， 的余角的度数为. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及余角补角，解题关键是确定角之间的关系． 4．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    5．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $