专题03乘法公式与整式的除法（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03乘法公式与整式的除法 【题型01 运用平方差公式进行计算】...................................2 【题型02 平方差公式与几何图形】.....................................4 【题型03 运用完全平方公式进行计算】.................................6 【题型04 完全平方公式在几何图形中的应用】...........................8 【题型05 整式乘法混合运算】.......................................10 【题型06 多项式乘多项式-化简求值】.................................13 【题型07 通过对完全平方公式变形求值】..............................15 【题型08 求完全平方式中的字母系数】................................16 【题型09 计算单项式除以单项式】....................................18 【题型10 多项式除以单项式】........................................20 【题型11 整式四则混合运算】........................................21 【题型12 整式的混合运算】..........................................23 【题型13 解答题6题】..............................................25 知识梳理 知识点01:乘法公式（两大核心公式） 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 口诀：同号平方减异号平方 结构：相同项 ² − 相反项 ² 2. 完全平方公式 和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方 3. 常用变形 (1)a2+b2=(a+b)2−2ab (2)a2+b2=(a−b)2+2ab (3)(a+b)2−(a−b)2=4ab 知识点02:整式的除法 1. 同底数幂的除法 公式：am÷an=am−n（a0，m,n 为正整数，m>n） 法则：底数不变，指数相减 2. 零指数幂 公式：a0=1（a0） 注意：0 的 0 次幂无意义 3. 单项式 ÷ 单项式 步骤： (1)系数相除 (2)同底数幂相除 (3)只在被除式里含有的字母，连同指数照抄 4. 多项式 ÷ 单项式 法则：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m 要点：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加 知识点03:高频易错点 1.完全平方一定有三项，别漏中间 2ab 2.平方差必须是一同一反，不满足不能用 3.幂运算：乘是指数加，除是指数减，别搞混 4.除法中系数、符号、字母要逐项算清 【题型1.运用平方差公式进行计算】 【典例】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：∵ 平方差公式：， 完全平方公式：，． A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】观察：；，那么， ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【跟踪专练3】如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 【答案】B 【分析】先化简“奇差数”的表达式，得到，即“奇差数”是 8 的倍数，再验证各选项是否能被 8 整除． 本题考查了平方差公式的应用，化简是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 故选 B． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】已知正方形边长是，如果边长增加 2，那么它的面积增加 ． 【答案】4a 【分析】先根据正方形的面积公式列式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意得它的面积增加了： ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的面积公式，平方差公式，解题根据是熟练掌握平方差公式：． 【跟踪专练1】如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 【跟踪专练2】长方形的长是，周长是，（其中）则这个长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能求出长方形的宽是解此题的关键． 根据长方形的周长公式求出宽，再根据面积公式计算面积，运用平方差公式简化表达式． 【详解】解：设长方形的宽为 cm，由周长公式得：， 两边除以：， 解得：， 这个长方形的面积是：， 故答案为：． 【跟踪专练3】从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形， 因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． 图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为 因此该平行四边形的面积为底乘高，即． 由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即 所以． 故选：D． 【题型3.运用完全平方公式进行计算】 【典例】 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，将等式右边用完全平方公式展开，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：16 【跟踪专练1】下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 【跟踪专练2】如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 【跟踪专练3】若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．通过消去参数建立与的关系式，将转化为，再用含的式子代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得： ，即． 故选：A 【题型4.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是 ．    【答案】 【分析】根据图形中面积两种求法验证即可． 【详解】解：大长方形的面积， 大长方形的面积， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式与图形的面积关系，解题的关键是正确用两种方法表示出矩形的面积． 【跟踪专练1】如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积关系，解题的关键是理解题意；由图形分别表示两个图形阴影部分的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：图1表示阴影部分的面积为； 图2表示阴影部分的面积为， ∴； 故选A． 【跟踪专练2】如图，两个正方形边长分别为a，b．已知，阴影部分的面积为14，则值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 【跟踪专练3】把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图①可得：阴影部分的面积为：； 由图②可得：阴影部分的面积为：， 再利用阴影部分的面积相等可得答案． 本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键． 【详解】解：由图①可得，阴影部分的面积为．由图②可得，阴影部分的面积为． ∵阴影部分的面积相等，、 ∴． 故选：D． 【题型5.整式乘法混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】先计算单项式乘多项式，然后在合并同类项即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握整式乘法运算是解决本题的关键． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 【跟踪专练3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【分析】由题意知，小长方形的较长边为，阴影A的较短边为，较长边为，阴影B的较短边为，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误． 【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为，①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为，阴影B的较长边为15， ∴阴影A和阴影B的周长和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当时，阴影A和阴影B的面积和为，④错误，故不符合要求； ∴正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影的边长是解题的关键． 【题型6.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】已知，，则 ． 【答案】1 【分析】根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值． 【详解】解：当m+n=2，mn=-2， (3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n） =9-2-6 =1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【跟踪专练1】如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 【跟踪专练2】已知，代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据，即可解答本题． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式； 故答案为： 【跟踪专练3】已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键． 先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可． 【详解】解：， ，， 故选：C 【题型7.通关对完全平方公式变形求值】 【典例】已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，根据变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值．将第一个等式左边利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 根据完全平方公式展开，然后对比求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选D． 【题型8.求完全平方式中的字母系数】 【典例】已知是完全平方式，则m为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴． 故答案为． 【跟踪专练1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 【跟踪专练2】若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 【跟踪专练3】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 【题型9.计算单项式除以单项式】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键． 使用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，利用单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 【答案】2026 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方运算，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键． 由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴他输入的密码是2026； 故答案为：2026． 【跟踪专练3】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【题型10.多项式除以单项式】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式运算法则即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】，则括号内应填入的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左边多项式除以，即可得到括号内的式子． 本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 括号内应填入 ， 故选 A． 【跟踪专练2】已知，是多项式，在计算时，小明把错看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 【题型11.整式四则混合运算】 【典例】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：． 【跟踪专练1】对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据程序正确列式是解题的关键． 根据程序正确列式计算即可． 【详解】解：根据程序得 ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，若，求长方形A与B的面积差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分别表示出长方形与长方形的面积之差，再结合条件进行求解即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 【题型12.整式的混合运算】 【典例】化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握先运用平方差公式运算，再合并是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 【跟踪专练2】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案． 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征以及整体代换的思想是解题的关键． （1）将原式变形为，利用平方差公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 【答案】，（1）1，（2） 【分析】本题考查了平方差公式的几何图形，完全平方公式，表示图中阴影部分面积是解题的关键． 根据题意分别求出图与图阴影部分面积，然后由面积相等即可求解； （）利用平方差公式即可求解； （）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：图阴影面积：，图阴影面积：， ∵图与图阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：； （） ； （） ． 3．化简． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 4．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂． （1）根据单项式乘单项式的法则计算即可求解； （2）先计算积的乘方，再根据单项式除单项式的法则计算即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算即可求解； （4）根据零指数幂和负整数指数幂的性质计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式与整式的除法 【题型01 运用平方差公式进行计算】...................................2 【题型02 平方差公式与几何图形】.....................................3 【题型03 运用完全平方公式进行计算】.................................3 【题型04 完全平方公式在几何图形中的应用】...........................4 【题型05 整式乘法混合运算】........................................5 【题型06 多项式乘多项式-化简求值】..................................6 【题型07 通过对完全平方公式变形求值】...............................6 【题型08 求完全平方式中的字母系数】.................................7 【题型09 计算单项式除以单项式】.....................................7 【题型10 多项式除以单项式】.........................................8 【题型11 整式四则混合运算】.........................................8 【题型12 整式的混合运算】...........................................9 【题型13 解答题6题】...............................................9 知识梳理 知识点01:乘法公式（两大核心公式） 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 口诀：同号平方减异号平方 结构：相同项 ² − 相反项 ² 2. 完全平方公式 和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方 3. 常用变形 (1)a2+b2=(a+b)2−2ab (2)a2+b2=(a−b)2+2ab (3)(a+b)2−(a−b)2=4ab 知识点02:整式的除法 1. 同底数幂的除法 公式：am÷an=am−n（a0，m,n 为正整数，m>n） 法则：底数不变，指数相减 2. 零指数幂 公式：a0=1（a0） 注意：0 的 0 次幂无意义 3. 单项式 ÷ 单项式 步骤： (1)系数相除 (2)同底数幂相除 (3)只在被除式里含有的字母，连同指数照抄 4. 多项式 ÷ 单项式 法则：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m 要点：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加 知识点03:高频易错点 1.完全平方一定有三项，别漏中间 2ab 2.平方差必须是一同一反，不满足不能用 3.幂运算：乘是指数加，除是指数减，别搞混 4.除法中系数、符号、字母要逐项算清 【题型1.运用平方差公式进行计算】 【典例】计算的结果为 ． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察：；，那么， ． 【跟踪专练3】如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】已知正方形边长是，如果边长增加 2，那么它的面积增加 ． 【跟踪专练1】如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】长方形的长是，周长是，（其中）则这个长方形的面积是 ． 【跟踪专练3】从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ）    A． B． C． D． 【题型3.运用完全平方公式进行计算】 【典例】 ． 【跟踪专练1】下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【跟踪专练3】若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型4.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是 ．    【跟踪专练1】如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两个正方形边长分别为a，b．已知，阴影部分的面积为14，则值为 ． 【跟踪专练3】把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【题型5.整式乘法混合运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【跟踪专练3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【题型6.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】已知，，则 ． 【跟踪专练1】如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【跟踪专练2】已知，代数式的值为 ． 【跟踪专练3】已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【题型7.通关对完全平方公式变形求值】 【典例】已知，，则 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【跟踪专练2】若，，则的值为 ． 【跟踪专练3】如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【题型8.求完全平方式中的字母系数】 【典例】已知是完全平方式，则m为 ． 【跟踪专练1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【跟踪专练2】若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【跟踪专练3】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【题型9.计算单项式除以单项式】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 【跟踪专练3】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型10.多项式除以单项式】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】，则括号内应填入的式子是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，是多项式，在计算时，小明把错看成了，结果得，则 ． 【跟踪专练3】已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【题型11.整式四则混合运算】 【典例】化简： ． 【跟踪专练1】对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，若，求长方形A与B的面积差 ． 【跟踪专练3】现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型12.整式的混合运算】 【典例】化简的结果是 ． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【跟踪专练3】有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 3．化简． 4．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $