精品解析：江西新余市分宜县2025-2026学年上学期八年级期末质量检测数学试卷

八年级期末质量检测数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A B. C. D. 4. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 如图，在和中，，添加下列一个条件后仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 8. 已知点关于y轴的对称点是，则___________． 9. 在等腰中，若，则__________． 10. 若，则的值为___________． 11. 若则________． 12. 如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为__________________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰的三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 15. 解分式方程：． 16. 已知：如图，，，，试说明的道理. 17 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）若与关于y轴成轴对称，作出； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 19. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 20. 如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证： （1）； （2）如果，，，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合探究． 把四块长为a、宽为b长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S＝_______________；  ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S＝_______________；  【深入总结】（2）由（1）可得等式：_______________，并证明你的结论；  22. 若一个整数能表示成（是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”． 例如：因为，所以5是“神秘平方数”． （1）请你写一个大于30小于40的“神秘平方数”：_______． （2）已知x，y是正整数，且，试判断M是否是“神秘平方数”，并说明理由． （3）已知（是常数），且无论x，y的值如何变化，S都为“神秘平方数”，请求出k的值． 六（本大题共12分） 23. 【经验总结】我们在解决“如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：”这个问题时，只要证明即可． （1）请写出证明过程； 【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，，点A坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； 【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末质量检测数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的校徽图案是轴对称图形，故A符合题意； B．选项中的校徽图案不是轴对称图形，故B不符合题意； C．选项中的校徽图案不是轴对称图形，故C不符合题意； D．选项中校徽图案不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，运用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：∴， 故选：B． 3. 若分式在实数范围内有意义，则x取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得： x+3≠0， 解得x≠-3， 故选C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 4. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的长度范围，根据范围逐一判断即可得出结论． 【详解】解：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 所以第三边的长度需要满足大于，小于， 观察选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在和中，，添加下列一个条件后仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、由得，结合，根据即可证明，故选项不符合题意； B、由得，结合，无法判断，故选项符合题意； C、由得，结合，根据即可证明，故选项不符合题意； D、，，根据即可证明三角形全等，故选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出16张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：由题意可知：16张卡片的总面积， ∵ ∴拼成的大正方形的边长 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知点关于y轴的对称点是，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，轴对称变换．根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点是， ∴，， ∴， 故答案为：． 9. 在等腰中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】在等腰中，为钝角， 是等腰的顶角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 10. 若，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 11. 若则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵当是以为底的等腰三角形时， 当点P在上时， ∵， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵，D为的中点， ∴， 过D作于G，于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵于G，于H，， ∴， ∴， 当点P在上时， 同理证得， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 14. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰的三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 15. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据解分式方程的步骤求出方程的解，再进行检验即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解． 16. 已知：如图，，，，试说明的道理. 【答案】见解析 【解析】 【分析】因为，得，即可通过证明，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【详解】解： . 当时，原式 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）若与关于y轴成轴对称，作出； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）作出点A的对称点，连接，此时，则与x轴的交点即是点P的位置． 【小问1详解】 解：如图，为所求， 【小问2详解】 解：如图，点P为所作；此时点P的坐标为 19. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】（1）该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 （2）该工作室至少有人使用豆包设计作品 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 【小问1详解】 解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； 【小问2详解】 解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 20. 如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证： （1）； （2）如果，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由可得，然后分别求得、，然后再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：平分，，， 、， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 、， ，， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合探究． 把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S＝_______________；  ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S＝_______________；  【深入总结】（2）由（1）可得等式：_______________，并证明你的结论；  【答案】（1）①；②；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键． （1）①大正方形的边长为，面积为，四块木板的面积为，用大正方形面积减去四块木板的面积即可； ②空心部分是一个正方形，边长为，面积为； （2）由（1）的结论即可得，等式左边用完全平方公式展开后即可证明． 【详解】解：（1）①大正方形的边长为，面积为，四块木板的面积为， 则空心部分面积； 故答案为：； ②空心部分是一个正方形，边长为，面积为； 故答案为：； （2）由（1）知，； 证明如下： ， 故答案为：． 22. 若一个整数能表示成（是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”． 例如：因为，所以5是“神秘平方数”． （1）请你写一个大于30小于40的“神秘平方数”：_______． （2）已知x，y是正整数，且，试判断M是否是“神秘平方数”，并说明理由． （3）已知（是常数），且无论x，y的值如何变化，S都为“神秘平方数”，请求出k的值． 【答案】（1）32或34或37 （2）M是“神秘平方数”，理由见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据 “神秘平方数”的定义判断即可； （2）根据“神秘平方数”的定义进行判断即可； （3） 先利用完全平方公式进行整理，根据定义得出，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∴ 大于30小于40的“神秘平方数”为32或34或37． 故答案为：32或34或37 【小问2详解】 解：M是“神秘平方数”． 理由：，且x，y是正整数， ∴M是“神秘平方数”． 【小问3详解】 解：，且S为“神秘平方数”， 根据题意得：， ， 解得， ∴k的值为5． 六（本大题共12分） 23. 【经验总结】我们在解决“如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：”这个问题时，只要证明即可． （1）请写出证明过程； 【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； 【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点C作x轴的垂线，分别过A、B作x轴的平行线，与过点C的x轴的垂线交于点F、点E，证明，则有，再结合点A、C的坐标即可求得点B的坐标； （3）分点B、点A、点C分别为直角顶点时的情况考虑，作辅助线构造全等三角形即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：过点C作x轴的垂线，分别过A、B作x轴的平行线，与过点C的x轴的垂线交于点F、点E，如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （3）解：当点B为直角顶点时，则， 如图3-1，分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为E、D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 当点A为直角顶点时，则， 如图3-2，过点A作x轴的垂线，垂足D，过点C作于点E， 同理可证明， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 则点C的横坐标为，点C的纵坐标为2， ∴点C的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， 如图3-3，分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为E、F，过点C作交的延长线于点D， 同理可证明， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $