专题 1.10 乘法公式（专项练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.10 乘法公式(专项练习) 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1.(25-26七年级上 上海 期末)下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 2.(25-26八年级上 天津西青 月考)化简的结果为( ) A. B.9 C. D. 3.(25-26八年级上 辽宁大连 期末)已知,则的值为( ) A.3 B.2 C.1 D. 4.(2024七年级下 浙江 专题练习)已知:,求:代数式的值为( ) A. B.5 C. D.25 5.(24-25七年级下 陕西西安 期中)若,则的值是( ) A. B. C.1 D.25 6.(25-26八年级上 山东临沂 期末)的个位数是( ) A.6 B.8 C.4 D.2 7.(25-26八年级上 河南周口 月考)已知,代数式的值是( ) A.24 B.30 C.35 D.36 8.(25-26八年级上 河南洛阳 期末)若实数满足,则( ). A.2026 B.1013 C. D. 9.(24-25七年级下 陕西咸阳 期中)已知是一个多项式的完全平方,与的乘积中不含关于x的一次项,则的值是( ) A.1 B. C. D.2 10.(23-24七年级下 江苏镇江 期中)如图,若一块长方形广场的原长为18米,宽为10米;现因施工改造,将广场的长和宽各增大米,广场面积增加了20平方米,同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃.请你计算出花圃的总面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分) 11.(25-26八年级上 广东汕头 月考) . 12.(25-26八年级上 河南新乡 期末)已知,则代数式的值为 . 13.(25-26八年级上 重庆铜梁 期末)已知,则 . 14.(24-25七年级上 上海徐汇 期中)比较大小: . 15.(25-26八年级上 山东威海 期中)计算:的值为 . 16.(2025七年级下 全国 专题练习)如果等式恒成立,其中B,C为常数, . 17.(2025八年级上 全国 专题练习)计算: . 18.(25-26八年级上 河南周口 月考)有两个大小不同的正方形A,B,正方形A的边长为a,正方形B的边长为b.现将A,B并列放置构造新的正方形得到图1,其阴影部分的面积为16;将B放在A的内部得到图2,其阴影部分的面积为5,则 , . 三、解答题(本大题共6小题,共58分) 19.(本小题满分8分)(2025七年级下 江苏徐州 专题练习)计算: (1); (2). 20.(本小题满分8分)(25-26八年级上 四川宜宾 期末)计算或化简 (1)先化简再求值:,其中,. (2)已知:,.求和的值. 21.(本小题满分10分)(24-25七年级下 全国 期末)(1)先化简,再求值:,其中,; (2)已知,,,为正整数,求的值; (3)若,求的值. 22.(本小题满分10分)(25-26八年级上 吉林 期末)完全平方公式经过适当的变形,可以解决很多数学问题. 例如:若,,求的值. 解:,, ,, 根据上面的解题思路与方法,解决下列问题: (1)若,,则的值为_; (2)若,,求的值; 23.(本小题满分10分)(25-26八年级上 河北廊坊 月考)“整体思想”在数学中应用极为广泛. 例如:已知,求的值. 解:∵, ∴ ∴. 请尝试应用“整体思想”解决以下问题: (1)已知,求的值; (2)已知,求的值. 24.(本小题满分12分)(25-26八年级上 山西大同 期末)阅读与思考 (1)观察图①,用等式表示图中图形的面积的运算为_. [类比探究] 观察图②,用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_. [知识应用] (2)根据图②所得的公式,若,,则_. (3)若x满足,求的值. [拓展应用] (4)如图③,在四边形ABCD中,于点E,,,,若与的面积和为,则与的面积和为_. 2 / 30 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $ 专题 1.10 乘法公式（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，即两项中一项相同，另一项互为相反数，据此特点逐一判断即可． 解：A、，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； C、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为和，相反项为和，可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·天津西青·月考）化简的结果为（　　） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可． 解：原式 ． 故选B． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 解：∵， ∴， 故选：C． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：，求：代数式的值为（   ） A． B．5 C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简和求值的应用，用了整体代入得思想，熟练掌握运算法则是关键．先根据已知进行计算得出，再把所求的代数式化简得，最后代入求出即可． 解：∵， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答． 解： … ， ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故选：A． 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 8．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 10．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可． 解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·广东汕头·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 解： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 由已知方程变形得出 ，再利用完全平方公式计算所求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴两边除以得，，即， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）已知，则 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．利用完全平方公式展开已知条件，通过加减方程组求解和的值，再代入所求表达式计算． 解：∵，， ∴两式相加得， ∴； 两式相减得， ∴． 则． 故答案为：8． 14．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 解： ， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 解：原式 ， 故答案为：． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立，其中B，C为常数， ． 【答案】11 【分析】此题考查了整式的混合运算和多项式相等．因为恒成立，根据对应相等即可得出答案． 解：∵恒成立， ∴，， ∴， 故． 故答案为：11． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用、有理数的乘法运算．利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解． 解： ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·河南周口·月考）有两个大小不同的正方形A，B，正方形A的边长为a，正方形B的边长为b．现将A，B并列放置构造新的正方形得到图1，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图2，其阴影部分的面积为5，则 ， ． 【答案】 8 21 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1阴影部分的面积为16，图2阴影部分的面积为5，列式计算，从而得出，的值． 解：∵正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1阴影部分的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∵图2阴影部分的面积为5， ∴， 即， ∴， 故答案为：8，21． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)， 【分析】本题考查乘法公式，整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的变形求值，熟练掌握相关公式是关键． （1）先利用乘法公式展开，再按照整式混合运算的法则进行化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式对代数式进行变形，然后求值即可． （1）解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ， ； （2）解：由完全平方公式可得： ， ∴， 由完全平方公式可得： ， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，，，为正整数，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1），1；（2）；（3）27 【分析】本题考查整式的运算、代数式求值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号展开，再加减运算化简原式，然后代值求解即可； （2）先由已知得到，再化为，然后代值求解即可； （3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则得到，然后代值求解即可． 解：（1） ， 把，代入，得 原式； （2） 因为， 所以． （3） 因为， 所以． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1)12(2)4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山西大同·期末）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【答案】（1）；；（2）5；（3）5；（4）2． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用． （1）由题意知，； 由题意知，； （2）将，代入，计算求解即可； （3）由题意知，，根据，计算求值即可； （4）由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 解：（1）由题意知，， 故答案为：； 由题意知，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：5； （3）解：由题意知，， ∴； （4）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $