精品解析：广东佛山市禅城区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期供题训练 九年级数学 说明：本练训卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分，训练用时120分钟． 注意： 1．训练卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在训练卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 3. 如图，五线谱是世界上通用的一种记谱法，基本结构是由五条等距离的平行线组成．直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（ ） A. B. C. D. 5. 将分别标有“学”、“在”、“禅”、“城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“禅城”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的实数根，则代数式的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 7. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 为了估计鱼塘中鱼的总数，采用标记重捕法：首次捕捞条鱼，做上标记后放回；待鱼充分混合后，再随机捕捞100条鱼，发现其中有3条带有标记．若据此估算出塘中大约有2400条鱼，则的值是（ ） A. 72 B. 60 C. 240 D. 86 9. 如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 5米 D. 3米 10. 如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 12. 计算：______． 13. 如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 14. 某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 15. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，，点在反比例函数的图象上．将绕点逆时针旋转，若点的对应点也在函数的图象上，则点坐标为________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）解方程：． （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 17. 周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． （1）请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． （2）身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 18. 某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … （1）变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． （2）一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，正方形中，点在对角线上，点在边上．现有三个选项：；；； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 20. 3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． （1）随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ （2）如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 21. 如图1，佛山电视塔是佛山市核心标志性建筑，塔身造型现代简约、挺拔高耸，是市民及游客俯瞰佛山城市风貌的重要地标． 某校九年级数学小组开展“测量电视塔高度”的实践活动后形成如下报告： 主题 测量佛山电视塔塔高（精确到）． 目的 运用所学知识解决实际问题，提升动手实践能力，培养团队协作精神． 工具 无人机等 活动背景 活动当天，电视塔现场有其他活动，30米范围内禁止放飞无人机． 测量过程 1．如图2，选取一处与电视塔塔底等高的操作无人机的位置点． 2．确认点与电视塔距离较远，可放飞无人机． 3．将无人机垂直上升至距地面的点时，测得塔顶的俯角为． 4．沿电视塔方向继续水平飞行到达点时，测得塔顶的俯角为． 数据 ，，， 计算 结果 佛山电视塔的高度是． 思考并解决下列问题：点是否违反限飞规定？的值是多少？ 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为，宽为，由题意得． ②两方程对应的函数与在同一坐标系中的图像如图2所示． ③两图像存在交点，相当于存在条件的，的值，即存在满足条件的“加倍”矩形． 【举一反三】 （1）对于矩形，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的倍的“加倍”矩形？如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形”换成满足条件“，，”的（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形． 已知周长为2，面积为的（如图4所示），，．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 23. 综合应用 如图1，矩形中，，，为边上一个动点（不与、重合），为边延长线上一点，且，线段的延长线交线段于点． （1）与之间有怎样的关系？ （2）如图2，若，为中点．动点在线段上（不与、重合），过点作交的延长线于，连接． ①当与相似时，求的长． ②点在边上，当时，周长的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期供题训练 九年级数学 说明：本练训卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分，训练用时120分钟． 注意： 1．训练卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在训练卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中含有2个未知数，则不符合题意， B．中未知数的次数是1，则不符合题意， C．中未知数的最高次数是3，则不符合题意， D．是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，则符合题意， 故选：D． 2. 《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 3. 如图，五线谱是世界上通用的一种记谱法，基本结构是由五条等距离的平行线组成．直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作过点的平行线于，交过点的平行线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作过点的平行线于，交过点的平行线于， ， ，即， 解得：， 故选：A． 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长即可． 【详解】解：∵，， ∴两对角线的一半分别为，， 由勾股定理得，边长， 故选：A． 5. 将分别标有“学”、“在”、“禅”、“城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“禅城”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用树状图法或列表法求解概率，解题关键是找出所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算．列表得出共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“禅城”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“学”、“在”、“禅”、“城”分别记为、、、表示， 列表如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“禅城”的结果有2种， 两次摸出的球上的汉字能组成“禅城”的概率为， 故选：B． 6. 若是方程的实数根，则代数式的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．根据是方程的一个实数根，可以得到，然后即可得到，再将代入所求式子计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ， 故选：A． 7. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 8. 为了估计鱼塘中鱼的总数，采用标记重捕法：首次捕捞条鱼，做上标记后放回；待鱼充分混合后，再随机捕捞100条鱼，发现其中有3条带有标记．若据此估算出塘中大约有2400条鱼，则的值是（ ） A. 72 B. 60 C. 240 D. 86 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查通过样本估计总体，利用标记鱼在总体和样本中的比例相等列方程求解即可． 【详解】解：∵标记重捕法中，标记鱼数与鱼塘总鱼数的比例等于重捕中标记鱼数与重捕鱼数的比例， ∴， 解得， 故选：A． 9. 如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 5米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．根据为等边三角形，得出，设米，则米，根据，得出，求出，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 10. 如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 12. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 14. 某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每行座位数为，则总行数为，利用总座位数每行座位数总行数，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每行座位数为，则总行数为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：22． 15. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，，点在反比例函数的图象上．将绕点逆时针旋转，若点的对应点也在函数的图象上，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形的旋转和勾股定理等内容； 过点作交于点，过点作交于点，先求出点，得到反比例函数为，在中，由勾股定理得，，代入得到，解得的值，即可解决． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， ∵将绕点逆时针旋转，点的对应点也在函数的图象上， ∴，设点， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ， 令，则，整理得， 解得，， 当时，，，即； 当时，，，即， ∵点在点的左方， ∴点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）解方程：． （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 【答案】（1），；（2）不正确，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，根的判别式． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）先证明原方程有两个不相等的实数根，再根据两根的积为负数，说明根的情况即可． 【详解】解：（1）， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）不正确，理由如下： ∵， 原方程有两个不相等的实数根， 由韦达定理得：， 两个实数根应为一正一负． 综上，说法不正确． 17. 周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． （1）请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． （2）身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 【答案】（1） 点为街灯的位置，线段为小刚的影子； （2）米 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用路牌和弟弟的影子，延长交于点，点即为所求，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作于点 依题意：，， ， 即 解得 街灯的高度是． 18. 某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … （1）变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． （2）一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】（1）变量与满足反比例函数关系， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； 【小问2详解】 解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，正方形中，点在对角线上，点在边上．现有三个选项：；；； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 【答案】 解：选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 证明如下：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 证明如下：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题． 证明如下：如图，设正方形边长为， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 选择（解法）以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 设正方形边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分别选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题；选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题；选择（解法2）以为条件，作为结论组成命题，是真命题，然后通过正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 20. 3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． （1）随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ （2）如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； 【小问2详解】 解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 21. 如图1，佛山电视塔是佛山市核心标志性建筑，塔身造型现代简约、挺拔高耸，是市民及游客俯瞰佛山城市风貌的重要地标． 某校九年级数学小组开展“测量电视塔高度”的实践活动后形成如下报告： 主题 测量佛山电视塔塔高（精确到）． 目的 运用所学知识解决实际问题，提升动手实践能力，培养团队协作精神． 工具 无人机等 活动背景 活动当天，电视塔现场有其他活动，30米范围内禁止放飞无人机． 测量过程 1．如图2，选取一处与电视塔塔底等高的操作无人机的位置点． 2．确认点与电视塔距离较远，可放飞无人机． 3．将无人机垂直上升至距地面的点时，测得塔顶的俯角为． 4．沿电视塔方向继续水平飞行到达点时，测得塔顶的俯角为． 数据 ，，， 计算 结果 佛山电视塔的高度是． 思考并解决下列问题：点是否违反限飞规定？的值是多少？ 【答案】点没有违反限飞规定，的值是238 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，先推导等腰，然后在直角中证明，再求出，求出，求出 【详解】解：点没有违反限飞规定，理由如下： 延长交延长线于点， ，， ， ， ， 在中， ， 点没有违反限飞规定， 又， ， 的值是238． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为，宽为，由题意得． ②两方程对应的函数与在同一坐标系中的图像如图2所示． ③两图像存在交点，相当于存在条件的，的值，即存在满足条件的“加倍”矩形． 【举一反三】 （1）对于矩形，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的倍的“加倍”矩形？如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形”换成满足条件“，，”的（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形． 已知周长为2，面积为的（如图4所示），，．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 【答案】（1）存在矩形，的最小值为； （2）存在，理由如下： 如图1所示，过点作于点， 在中，， ， ， 如图2所示，设为满足条件的平行四边形， 设，， 过点作于点， 在中，， ， ， 由题意得， 消去整理得， 此方程， 方程有解，且两根和、两根积均为正数， 存在满足条件的正数，值， 存在满足条件的平行四边形． （3）加倍平行四边形两邻边分别为，，且是黄金平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、方程与几何的综合应用．掌握通过建立方程组（由周长和面积关系得到）来探究几何图形“加倍”问题的存在性，并能灵活运用判别式、勾股定理和特殊角的三角函数进行求解是解题的关键． （1）解题关键在于仿照“追根溯源”的思路，设“加倍”矩形的长和宽为x、y，根据“面积为2倍、周长为a倍”的条件建立方程组，消元后得到关于x的一元二次方程．利用方程有实数解（）的条件求出a的取值范围，进而得到a的最小值． （2）解题时需先利用三角函数求出原平行四边形的面积，设“加倍”平行四边形的边长，同样根据周长和面积均为2倍的条件建立方程组．通过计算该方程组对应的一元二次方程的判别式，证明存在满足条件的正数解，从而说明这样的“加倍”平行四边形存在． （3）设边长，利用的条件表示高和面积，根据“周长为2倍、面积为4倍”建立方程组并求解．得到两组解后，根据边长实际意义（）舍去一组，再计算较短边与较长边的比值，判断是否等于黄金比． 【详解】解：（1）假设存在满足条件的矩形，其边长分别为，由题意得， ， 消去整理得， 此方程， 化简得：， ， ， 存在矩形，的最小值为． （2）略 （3）如图3所示，设为满足条件的平行四边形， 设，， 过点作于点， 在中，， ， ， 由题意得， 解得（舍去）或， ， 加倍平行四边形两邻边分别为，，且是黄金平行四边形． 23. 综合应用 如图1，矩形中，，，为边上一个动点（不与、重合），为边延长线上一点，且，线段的延长线交线段于点． （1）与之间有怎样的关系？ （2）如图2，若，为中点．动点在线段上（不与、重合），过点作交的延长线于，连接． ①当与相似时，求的长． ②点在边上，当时，周长的最小值是多少？ 【答案】（1）互相垂直，， （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到与之间的数量关系以及位置关系； （2）①由勾股定理可得，可得，则，然后确定点在线段上不成立；则满足条件的点在线段上，i．当时， 可得，则；ii．当，证明，求出，由求出，则；②可得，由①可得，，延长到，使，连接，与相交于，此时周长有最小值，过点作于，则，由勾股定理得，那么，在中，由勾股定理得，则周长的最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ， 又 ； 【小问2详解】 解：①为中点， 由勾股定理可得： 由（1）知，， 即 解得：． 依题意得 若点在线段上，如图2所示， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴ ∴ 此时与不相似 满足条件的点在线段上 i．当时，如图3所示， 则 ii．当，如图4所示， 则，， 则， ． 即 解得：． 即 解得： 综上所述，满足条件时的长为或． ②在中，， 由①可得， 如图5，延长到，使，连接，与相交于，此时周长有最小值，过点作于， ∴ 由勾股定理得 在中 周长的最小值为 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $