5.1 导数的概念及其意义课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

【人教A版】选择性必修一 第五章一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 2026数学 变化率问题 导数的几何意义 变化率问题 1.平均速度 平均速度：在时间段[t1,t2]内位移为[s1,s2]，则其平均速度 2.平均变化率 运动员的速度随时间的变化关系为：h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11 (1)平均速度：时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 (2)瞬时速度：当t=t0时的瞬时速度 引入 3.瞬时速度 4.瞬时变化率与导数 瞬时速度：在[t,t+△t]时间内，当t=t0时的瞬时速度 变化率问题 例题1 例题2 (1) 求 在-3到-1之间的平均变化率 . (2) 求 在1到1+Δx之间的平均变化率 . (3) 求 在 附近的平均变化率 . 2 2Δx+4 设 ，求 .（用瞬时变化率相关推算） 例题3 化简： (1) (2) (3) 思考 变化率问题 导数的几何意义 1.平均速度 2.平均变化率 3.瞬时速度 4.瞬时变化率与导数 导数的几何意义 引入 1. 运动员的速度随时间的变化关系为：h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11 (1)平均速度：时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 (2)瞬时速度：当t=t0时的瞬时速度 2. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 定义抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. 导数的几何意义 引入 2. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 定义抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. 我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线． 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 导数的几何意义 1.导数的几何意义 当点Pn无限趋近于点P，割线P0P的斜率kn无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.则f(x)在x=x0处的导数即为切线PT的 斜率k. 2.导函数 1.导数的几何意义 2.导函数 导数的几何意义 3.切线问题（初步） 4.求解导数步骤 (1)求函数的增量 (2)求平均变化率 (3)取极限，得导数 在 处的切线方程为 在 例题1 已知函数 求抛物线在x＝1和x＝4处的切线斜率． =Δx+3=3 =2Δx+12=12 例题2 已知函数 ,求过该曲线哪一点的切线满足以下条件． (1)平行于 (2)垂直于 (3)与x轴正向成135°角 例题3 求 过点 处的切线方程. 或 变化率问题 导数的几何意义 1.导数的几何意义 2.导函数 3.切线问题（初步） 4.求解导数步骤 对于函数，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .这时， 的变化量为 ， 的变化量为 .我们把比值 ，即 叫做函 数 从 到 的平均变化率. 如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ，即 . 从求函数 在 处导数的过程可以看到，当 时， 是一个唯一确定的数.这样，当 变化时， 就是 的函数， 我们称它为 的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记 作 ，即 . $