5.2.2 导数的四则运算法则 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 学科素养 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(重点) 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(难点) 数学抽象 直观想象 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 基本初等函数的导数公式 复习导入 探究新知 教材P77-例2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)= p0(1+5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 追问 探究新知 问题1:有什么关系? 探究1:若,如何求的导数? 探究新知 探究2:对于任意可导函数和,如何求的导数? 由导数的几何意义知,当无限小时: . . . 探究新知 法则1——和与差的求导法则 探究新知 例3.求下列函数的导数: 解: 教材P76 探究新知 , ∴ 问题2:与和有什么关系? 思考:若计算与判断是否相等?与商的导数是否等于它们导数的商? ,则: ∴ , ∴ ,则: ∴ ∴ 探究新知 探究3:对于任意可导函数和,如何求的导数? 由导数的几何意义知,当无限小时: . . . = 轮流求导 探究新知 法则2——积的求导法则 两个函数乘积的导数等于两项之和,其中第一项是第一个因子的导数与第二个因子的乘积,而第二项是第二个因子的导数与第一个因子的乘积,即 探究新知 探究4:对于任意可导函数和,如何求的导数? 由导数的几何意义知,当无限小时: . . . 探究新知 法则3——商的求导法则 两个函数商的导数等于一个分式,其中分母是原分母函数的平方,分子等于两项之差,其中第一项是原分子函数的导数与原分母函数的乘积,而第二项是原分母函数的导数与原分子函数的乘积,即 探究新知 法则4——数乘的求导法则 常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,也就是说,在求导时可以把常数因子提出来,即 探究新知 导数的四则运算法则 探究新知 例4.求下列函数的导数: 解: 教材P77 探究新知 例5.日常生活中的饮用水通常是经过净化的, 随着水的纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90%; (2) 98%. 函数的导数 ∴纯净度为90%和98%时,所需净化费用的瞬时变化率分别为52.84元/吨和1321元/吨. 解: 探究新知 题型一 利用导数的四则运算法则求导 例题 解: 探究新知 题型一 利用导数的四则运算法则求导 例题 解: 探究新知 变式训练 详解 题型一 利用导数的四则运算法则求导 探究新知 变式训练 详解 题型一 利用导数的四则运算法则求导 探究新知 题型二 抽象函数的导数 例题 探究新知 2x2+3x+c sinx-lnx+c 目的:求g(x) 例题 题型二 抽象函数的导数 题型三 导数运算法则的简单应用(含参) 探究新知 课堂小结 导数的四则运算法则 作业布置 1.教材P78练习3题. 2.导学案:P66-P68. 3.课时作业(十八). 作业本:教材P78练习2. 如果某种商品的 ,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 当 时,函数变为 和 的导数可以直接求得 思考:可否用 与 的导数来表示他们乘积的导数. 并由此将结论推广到多个函数的和与差的情形,即 . 两个函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差),即; 追问2:你能用两个函数乘积的导数运算法则推出数乘(常数与函数的乘 积)的运算法则吗?并能用文字语言和符号语言分别描述函数 (为常数)的导数运算法则吗? 求下列函数的导数: (1);(2);(3);(4). (1) . (2). (3). 求下列函数的导数: (1);(2);(3);(4). (4)方法一: . (4)方法二:, . (1);(2);(3); 1.求下列函数的导数. (1). (2). (3)∵, ∴; 1.求下列函数的导数. (4),n为常数.(5) (4) . (5) $