精品解析：江西省九江外国语学校2025-2026学年九年级上学期第四次综合练习数学试题

九江外国语学校2025−2026学年度上学期第四次综合练习 九年级 数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是2022； 故选D． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质及判定条件逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故该选项是错误的，符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故该选项是正确的，不符合题意； D、顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：B 3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 4. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 5. 已知正比例函数的图像与反比例函数图像相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图像的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 反比例函数随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，涉及求函数解析式，函数图像的交点，函数的性质，掌握这些知识点是关键；由点可求正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：设正比例函数， ∵点在正比例函数上， ∴， ∴， ∴； 设反比例函数， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴； A错误，反比例函数解析式为，不是； B错误，联立和，即， 解得：， 则两图像交点为和， ∴两个函数图像的另一交点坐标为，不是； D错误，反比例函数在每个象限内y随x增大而减小，但选项未指定区间，表述不准确； C正确，由于两图像交点为和， 当或时，． 故选C． 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：① ② ③阴影部分面积是 ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． ①作轴于点E，轴于点F，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有；②再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；③由， ，得到；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线关于y轴对称． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，如图， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形、是矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则，， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， 故③错误； 若是菱形，则， 而， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴两双曲线关于y轴对称，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故C正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 8. 若关于的一元二次方程的两个根是，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积． 因此，． 故答案为：． 9. 如图，在平行四边形中，E是边的中点，连接交于点F，若，则的长是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键； 根据平行四边形的性质可得，再利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4. 10. 对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】分两种情况： 当时， ※， ， ， 或（舍去）； 当时， ※， ， （舍去）； 综上所述：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，分两种情况进行计算是解题的关键． 11. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案． 【详解】解：延长到，连接，如图： ，，， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 12. 如图，在中，，，．将折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．，分别在边，上，若为等腰三角形，则的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论；分三种情况：；；，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠知：， 由勾股定理得：； 当时，则， ∴； 当时，如图，过点作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 即 当时，如图，过点作于点D， 同理得：， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上，的长为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 14. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先合并括号里的分式，再将分式各部分因式分解并化简，代值求解即可； 【详解】解：原式= = = = ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的化简并求值，掌握分式化简的相关运算法则是解本题的关键． 15. 盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率 （精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 【答案】（1）0.25 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率． （1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解； （2）先估计出盒中黑棋与白棋各有多少枚，再利用列表法或画树状图法计算出一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率即可． 【小问1详解】 解：表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 故答案为：0.25； 【小问2详解】 解：由（1）可知，黑棋的个数为，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由表可知，所有等可能结果共有12种情况， 其中这两枚棋颜色相同的有6种结果， 所以这两枚棋颜色相同的概率为． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，请在上找一点N，使； （2）如图2，请在线段上找出点P，使得平分的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点D，连接交于点N即可； （2）取格点E，连接交于P，点P即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点E，连接交于P，点P，即为所求； 理由：由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P即为所求． 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）点是轴正半轴上一点，若，求与的面积． 【答案】（1）， （2）的面积为12，的面积为4 【解析】 【分析】（1）先将C点的坐标代入一次函数解析式中，求得k，再求出A点的坐标，再代入反比例函数解析式中求出m； （2）先求出B点的坐标，再根据三线合一求出的长，从而可求得的面积与的面积，两个三角形的面积相减可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式是， 又一次函数的图像过点， ∴， ∴， 又点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 【小问2详解】 一次函数的解析式是， 取，则， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中．，于，作于，中点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三线合一，直角三角形斜边上中线的性质，掌握这些知识是关键． （1）证明即可； （2）连接，由直角三角形斜边上中线的性质求得，由三角形中位线定理得，则可证明即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴，即点D是的中点， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2）背垫旋转的度数为 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点G作于点H， 中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． 【小问2详解】 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 20. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； （2）若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 【答案】（1）， （2）的长度分别为 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，根据建立一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为，则 所以 所以（舍去）， 所以， ， 所以收纳盒底面的边的长度分别为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 其中八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 八年级 80 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，扇形统计图中D部分的圆心角度数为_____， （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则_____教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，请从中位数和方差的角度说明理由 【答案】（1）20，77，， （2）甲 （3）八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好 【解析】 【分析】本题考查了求扇形统计图的圆心角，求中位数，运用中位数做决策，求众数，根据方差判断稳定性等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）由B类人数除以总人数可得a的值，由乘以D类的百分比可求得的值，再根据众数和中位数的含义可求得b，c； （2）根据中位数的含有求解即可； （3）从中位数与方差的角度分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵七年级20名数学教师课件的成绩中，B组有4人， ∴， ∴， 扇形统计图中D部分的圆心角度数为， ∵七年级20名数学教师课件的成绩中77出现次数最多， ∴七年级20名数学教师课件的成绩的众数为， ∵八年级教师的成绩中A、B、C三组之和为人，D组为8人，E组为4人，共20人， ∴中位数是第10，11位，位于D组， 又八年级数学教师课件成绩在D组的数据从小到大排列为：80，82，83，84，86，87，88，89， 第10，11位的成绩分别是82，83， ∴八年级数学教师课件成绩的中位数是， 故答案为：20，77，，； 【小问2详解】 ∵抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，七年级的中位数为分，八年级的中位数为分， ∴甲教师的成绩在本年级的排名更靠前， 故答案为：甲． 【小问3详解】 八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． 理由：因为七、八年级数学教师课件成绩的平均数一样，八年级数学教师课件成绩的中位数和众数均比七年级的高，且八年级数学教师课件成绩的方差比七年级的小，成绩较稳定， 所以八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． 22. 有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角． （1）已知为智慧三角形，且最短的边长为，则该智慧三角形的面积为 ； （2）如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； （3）如图②，是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，，点B，C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形时，求k的值． 【答案】（1）或1 （2）见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）分类讨论：①当较长的直角边为最短的边长的倍时和②当斜边为最短的边长的倍时，结合勾股定理和三角形面积公式求解即可； （2）过C作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，易得，即是智慧三角形； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，即只分或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵为智慧三角形，且最短的边长为，故需要分类讨论：①当较长的直角边为最短的边长的倍时，即较长的直角边长， ∴； ②当斜边为最短的边长的倍时，即斜边长， ∴较长的直角边长， ∴． 综上可知该智慧三角形的面积为或1． 故答案为：或1； 【小问2详解】 证明：如图，过点C作于点D． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是智慧三角形； 【小问3详解】 解：∵是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ∴． ∵是直角三角形， ∴不可能为斜边，即， ∴或． 分类讨论：①当时，过B作轴于E，过C作于F，过C作轴于G，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵B的纵坐标为，即， ∴，，， ∴， ∴． ∵点B、C在函数的图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ②当时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴，． ∵点B、C在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴． 综上可知k的值为或． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，相似和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识．解题关键是利用分类讨论和数形结合的思想，理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题探究】 （1）如图①，已知等腰与等腰的顶点重合（点在内部），，连接，．求证：； 【初步应用】 （2）如图2，已知正方形与正方形的顶点重合（点在内部），连接，，求的值； （3）该数学兴趣小组进一步探究活动中，将两块大小不同的且都含的直角和直角，按如图3的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，，．．当，，三点在同一直线上时，请求出线段的长度． 【答案】（1）见详解（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）理解题意，结合等腰直角三角形的性质，证明，故，即可作答． （2）连接，结合正方形的性质，证明，则，即可作答． （3）理解题意，先整理得，，，证明，则，又因为，，三点在同一直线上时，然后分类讨论且作图，进行分析，即可作答． 【详解】（1）证明：∵等腰与等腰的顶点重合（点在内部），， ∴，， 即， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵正方形与正方形的顶点重合（点在内部）， ∴， ∴，， ∴， 则， 即， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得：，， 如图，旋转任意角度，作直线，，交于点，记，的交点为， ∵两块大小不同的含的直角和直角， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 如图，∵当B，D，E三点在同一直线上时， 当在的延长线上时， 同理得， 则， ∵， ∴， ∵， ∴重合， 过作于， ∵， ∴，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，也重合，过作于， 同理得，， ∵ 则， ∵ ∴同理可得：，，， ∴， 综上：或 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江外国语学校2025−2026学年度上学期第四次综合练习 九年级 数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2022 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正比例函数的图像与反比例函数图像相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图像的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 反比例函数随的增大而减小 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：① ② ③阴影部分面积是 ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：x2－9＝______． 8. 若关于的一元二次方程的两个根是，，则_____． 9. 如图，在平行四边形中，E是边的中点，连接交于点F，若，则的长是_______． 10. 对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 __． 11. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是________． 12. 如图，在中，，，．将折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．，分别在边，上，若为等腰三角形，则的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2） 14. 先化简，再求值： ，其中，． 15. 盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率 （精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，请上找一点N，使； （2）如图2，请在线段上找出点P，使得平分的周长． 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）点是轴正半轴上一点，若，求与的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 20. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； （2）若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 其中八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 八年级 80 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，扇形统计图中D部分的圆心角度数为_____， （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则_____教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，请从中位数和方差的角度说明理由 22. 有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角． （1）已知为智慧三角形，且最短的边长为，则该智慧三角形的面积为 ； （2）如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； （3）如图②，是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，，点B，C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形时，求k的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题探究】 （1）如图①，已知等腰与等腰的顶点重合（点在内部），，连接，．求证：； 【初步应用】 （2）如图2，已知正方形与正方形的顶点重合（点在内部），连接，，求的值； （3）该数学兴趣小组进一步探究活动中，将两块大小不同且都含的直角和直角，按如图3的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，，．．当，，三点在同一直线上时，请求出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $