精品解析：山东济南市历下区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

八年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 2. “榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是A，B两位同学9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至与重合时运动停止．在平移过程中，设平移的距离为d，长方形与长方形重叠的面积为S，S关于d的函数图象如图2．当与重合时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 12. 某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占，统一测试占．小宇的上述两项成绩依次是80分、90分，则小宇期末体育成绩为______分． 13. 如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是_______． 14. 关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程组： 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 已知：如图，在和中，，．求证：． 19. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量x之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量x之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）销售收入与销售量x之间的关系式为____________；销售成本与销售量x之间的关系式为____________； （2）该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？ 20. 问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 21. 俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图．图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系，已知点在图形①上，现将图形①先向左平移4个单位，再向下平移8个单位移动到新的位置，此时点A恰好落在点B处，请回答以下问题： （1）请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系，点B的坐标为______； （2）上述平移过程中，平移距离为______个单位长度； （3）已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点O成中心对称，则点C的对应点的坐标为______． 22. 小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理． 如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图． 下面给出了部分信息： a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89； b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96． 小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较． 最小值 最大值 八年级1班 65 a c 86 92 八年级2班 60 b 83 d 98 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全八年级1班学生成绩的频数直方图； （2）通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）； （3）通过计算可得，______，______； （4）在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛． ①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能 23. 济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件8元． （1）若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？ （2）若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． （1）分别求出点A和点B的坐标； （2）若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； （3）若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在中，，，点D是边上一动点（且不与点B，C重合）．作射线，过点B作于点H，将绕点H旋转得到，连接．线段与交于点G，连接． （1）线段和的数量关系为______，位置关系为______； （2）如图2，当时，试探究线段和线段的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的长度为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值即可得解． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故选：B． 2. “榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 3. 已知，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式的三条性质逐一分析选项，找出变形错误的选项即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变. 可得，，故A、D正确； 根据不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 可得，故B正确； 根据不等式性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 可得，故C错误． 故选：C． 4. 如图是A，B两位同学9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图及方差，根据折线统计图可知A同学的成绩比较稳定，然后问题可求解． 【详解】解：由折线图可知：A同学的波动比B同学小，即A同学的成绩比B同学的更为稳定，所以． 故选：A． 5. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 6. 我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，即可得出关于x、y，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得： 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由点A，B的坐标及可得出y随x的增大而增大，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出直线经过第一、三象限，再对照四个选项中点的坐标，即可确定结论． 【详解】解：∵点在直线上，且，， ∴随的增大而增大， ∴，该直线经过第一、三象限， ∵选项A位于第三象限，符合直线经过的象限； 选项B不在直线上； 选项C位于第二象限，不符合直线经过的象限； 选项D位于第四象限，不符合直线经过的象限； 故选：A． 8. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 9. 如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推出，得到，，由三角形的外角性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，点D是延长线上一点， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至与重合时运动停止．在平移过程中，设平移的距离为d，长方形与长方形重叠的面积为S，S关于d的函数图象如图2．当与重合时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移、函数的图象、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，能从函数图象中获取有用信息是解答的关键． 先根据函数图象和平移性质，当与重合时，平移距离，此时重叠面积，则，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，利用等腰三角形的判定与性质，结合坐标与图形得到平移前的点F坐标，再根据平移方向得到将长方形先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到与重合，进而可求得平移后的点F坐标． 【详解】解：由图1可知，，， 由函数图象和平移性质，当与重合时，平移距离，此时重叠面积， ∴， 如图1，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，则， 由图知， ∴是等腰直角三角形， ∴，则，即， 当与重合时，平移距离，此时等价于将长方形先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴平移后的点F的坐标为，即． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 12. 某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占，统一测试占．小宇的上述两项成绩依次是80分、90分，则小宇期末体育成绩为______分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将过程性评价成绩和统一测试成绩分别乘以对应的权重，然后求和即可． 【详解】解：（分）． 故答案为：86． 13. 如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 14. 关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，先根据轴对称找出最短路径，再根据勾股定理求解． 【详解】解：如图：作交于，作关于的对称点F，连接， 在矩形中，有， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则， ∵， 即：的最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，运用代入消元法进行解答即可． 【详解】解：， 由②得，， 把代入①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解，，0，1，2 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解，，0，1，2． 18. 已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解答的关键． 证明，利用全等三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 19. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量x之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量x之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）销售收入与销售量x之间的关系式为____________；销售成本与销售量x之间的关系式为____________； （2）该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？ 【答案】（1）， （2）该产品的销售量超过2吨时，生产该产品才能盈利 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息． （1）根据图象列出函数关系式即可； （2）由得，再观察图象可得答案． 【小问1详解】 解：根据图象可得，销售收入与销售量x之间的关系式为， 销售成本与销售量x之间的关系式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 由图像可知，当时. 所以该产品的销售量超过2吨时，生产该产品才能盈利. 20. 问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 【答案】 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】略 21. 俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图．图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系，已知点在图形①上，现将图形①先向左平移4个单位，再向下平移8个单位移动到新的位置，此时点A恰好落在点B处，请回答以下问题： （1）请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系，点B的坐标为______； （2）上述平移过程中，平移距离为______个单位长度； （3）已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点O成中心对称，则点C的对应点的坐标为______． 【答案】（1）平面直角坐标系如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】1本题考查旋转变换，平移变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据点A的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用勾股定理求出即可； （3）利用中心对称变换的性质判断即可． 【小问1详解】 解：点B的坐标为． 故答案为： 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，C与关于原点对称， ∴， 故答案为：． 22. 小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理． 如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图． 下面给出了部分信息： a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89； b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96． 小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较． 最小值 最大值 八年级1班 65 a c 86 92 八年级2班 60 b 83 d 98 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全八年级1班学生成绩的频数直方图； （2）通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）； （3）通过计算可得，______，______； （4）在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛． ①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能 【答案】（1） 补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图如下： （2） （3）， （4）① 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键． （1）求出八年级1班抽取的学生的B组人数，即可请补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图； （2）根据箱线图的意义解答即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）根据中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级1班抽取的学生的B组人数为：， 【小问2详解】 解：通过观察箱线图可得，八年级1班的下四分位数比八年级2班的下四分位数大，所以， 故答案为：； 【小问3详解】 解：八年级1班的中位数，所以中四分位数，八年级2班的上四分位数为， 故答案为：，91； 【小问4详解】 解：八年级1班的成绩的中位数为81.5，即学生甲的成绩大于中位数，八年级2班的成绩的中位数为83，即学生乙的成绩小于中位数， 所以学生甲进入复赛． 故答案为：①． 23. 济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件8元． （1）若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？ （2）若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）购买宣传海报20件，宣传手册30件 （2）购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设购买宣传海报x件，宣传手册y件，根据题意列方程组求解即可； （2）设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册件，购买宣传物料所用总费用为W，根据题意求出m的取值范围，再得到，利用一次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买宣传海报x件，宣传手册y件， 依题意可得：， 解得：， 答：购买宣传海报20件，宣传手册30件； 【小问2详解】 解：设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册件，购买宣传物料所用总费用为W， 依题意可得：，解得：， ， ， W随着m的增大而增大， 当时，W最小，此时元， 宣传手册需要购买：件， 答：购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． （1）分别求出点A和点B的坐标； （2）若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； （3）若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线解析式，即可求解； （2）证得，即可得解； （3）分两种情况讨论：直线绕点A沿顺时针旋转β或逆时针旋转β，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，； 在中，， ， 直线绕点A沿顺时针旋转后交y轴于点C， ， ， ， ， ， . 【小问3详解】 解：存在， 证明：情况1：若直线绕点A按逆时针方向旋转， 当时，直线平行于y轴， 此情况不成立. 情况2：若直线绕点A按顺时针方向旋转后交y轴于点C， 当， ， ， ， 设，则，由于点C在y轴负半轴，故， 在中，， ， ∴， 解得， . 25. 如图1，在中，，，点D是边上一动点（且不与点B，C重合）．作射线，过点B作于点H，将绕点H旋转得到，连接．线段与交于点G，连接． （1）线段和的数量关系为______，位置关系为______； （2）如图2，当时，试探究线段和线段的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的长度为______． 【答案】（1）， （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，含的直角三角形三边的关系等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由绕点H旋转得到，可得，，故； （2）证明，可得是等腰直角三角形，故，又，即可得，从而； （3）延长交于M，连接，证明是等边三角形，可得，求出，可得，故． 【小问1详解】 解：∵将绕点H旋转得到， ∴，D，H，E共线，F，H，B共线， ∴，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于M，连接，如图： ∵将绕点H旋转得到， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $