精品解析：四川德阳市广汉市广汉中学2026-2027学年上学期第一次学情调查数学试卷

初2024级初三上期第一次学情调查 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义． 【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程，符合题意； B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； 、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程，不符合题意； D、方程，展开得，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 3. 下列关于抛物线的说法中不正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 该抛物线对应的函数有最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、C选项正确； ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故B选项正确； ∵抛物线开口向上， ∴函数有最小值，为，无最大值，故D选项错误． 4. 把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将向左平移2个单位，得， 再向下平移1个单位，得， 展开整理得． 5. 小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数是即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为， 由题意得：， 解得：（舍）， 故选：D． 6. 设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴． 7. 当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意； D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点， 当时，， 当时，， 所以，点， 由勾股定理得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 9. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 10. 已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则常数h的值为（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得或．然后分两种情况分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，有最大值0，而当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为． ∴或． 当时，时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值， ∴，解得：，（舍去）． 此时； 当时，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， ∴，解得：，（舍去），此时； 综上可知或5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，明确题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是关于的二次函数，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】二次函数需要满足两个条件，一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴x的次数等于，可得方程：， 解得，即或， ∵二次项系数不能为， ∴，解得， 和都满足， 因此或． 12. 顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，开口方向和形状与抛物线相同， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 13. 将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 14. 某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 【答案】 【解析】 【分析】设这个年级共有个班，根据循环赛规则，每两个班之间仅比赛一场，总场次可表示为，据此列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设这个年级共有个班， 根据题意列方程，得 整理，得 解得，（舍去） 即这个年级共有个班． 15. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质等知识点，从函数图像获取信息是解题的关键． 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；由图像可知：当时，，即可判断出②的正误；根据二次函数的性质即可判断出③的正误；先求出该抛物线的最值，然后与抛物线上横坐标为m的点的纵坐标比较即可解答，即可判断④；根据抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为结合对称轴即可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三．解答题（共90分） 16. 用适当方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 17. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3；函数图象，如图所示： （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当时，； 【小问3详解】 解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， 由（1）可知方程有实数根，， ∴应舍去， 即：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 19. 在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）球出手时，他跳离地面的高度是米 【解析】 【分析】（1）根据题中建立的平面直角坐标系，将二次函数经过的点的坐标找出来，再利用待定系数法求解； （2）根据题意，小杨所在位置为轴处，令求出球出手时的高度，即可求出小杨跳离地面的高度． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线经过点， 其中点为抛物线的顶点， ∴设抛物线表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， （米）， ∴球出手时，他跳离地面的高度是米． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； （3）若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）否 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值； （3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， 所以不是“三倍根方程”； 【小问2详解】 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 解得， ∴； 【小问3详解】 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 即，， ∴． 22. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； （3）如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把点，代入函数解析式，解方程组求解即可； （2）确定直线的表达式，设，则点的坐标可用含的代数式表示，进而表示出的长度，利用函数性质求最大值； （3）先确定对称轴及点坐标，再分情况进行讨论求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， ，， 解得 ， 设， 轴， ， ， 点在轴下方的抛物线上， ， 当时，值最大，最大值为； 【小问3详解】 解：对抛物线， 当时，， ， 对称轴为直线， 设， 则，，， 当时， 解得， ； 当时，， 解得，， 或； 当时，， 解得，， 或， 设直线关系式为， 解得 直线关系式为， 当时，，即在直线上，点，，三点共线，故舍去； 综上可知点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级初三上期第一次学情调查 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 3. 下列关于抛物线的说法中不正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 该抛物线对应的函数有最大值是 4. 把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5 9. 若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则常数h的值为（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是关于的二次函数，则________． 12. 顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是______． 13. 将方程配方成的形式，则______． 14. 某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 15. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 三．解答题（共90分） 16. 用适当方法解方程． （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 19. 在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； （3）若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 22. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； （3）如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $