24.2数据的离散程度＆24.3数据的四分位数＆24.4数据的分组寒假预习讲义（6知识点+10大题型+过关检测）2025-2026学年度人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

24.2数据的离散程度＆24.3数据的四分位数＆24.4数据的分组寒假预习讲义 （6知识点+10大题型+过关检测） 【题型1 求离差平方和】 6 【题型2 离差平方和的应用】 7 【题型3 求方差】 9 【题型4 利用方差求未知数据的值】 12 【题型5 根据方差判断稳定性】 13 【题型6 运用方差做决策】 16 【题型7 求四分位数】 18 【题型8 画箱线图】 22 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 25 【题型10 利用合适的统计量做决策】 26 1. 理解数据离散程度的意义，掌握极差、方差、标准差的定义和计算公式，能根据简单数据计算三者，明确其反映数据波动大小的作用。 2. 理解四分位数的定义，掌握四分位数的计算步骤（排序、找四分位线），能根据数据求出第一四分位数（Q₁）、第二四分位数（Q₂，即中位数）、第三四分位数（Q₃），初步理解四分位距的意义。 3. 掌握数据分组的基本方法和步骤，能根据数据特点确定分组的组数、组距，正确绘制频数分布表，理解分组的核心作用是简化数据、便于分析。 4. 初步区分数据离散程度、四分位数、数据分组的应用场景，能结合简单数据，选择合适的方法进行初步分析，提升数据处理能力。 模块三 知识点梳理 知识点一：离差平方和 1. 定义（必记）：一组数据中，每个数据与这组数据平均数的差的平方之和，叫做这组数据的离差平方和，记作（预习阶段重点理解定义和计算，明确其与方差的关联）。 2. 核心关联（必记）：离差平方和是计算方差的“中间关键步骤”，方差本质上是离差平方和除以数据总数n，即：，反过来，。 计算公式（必记）： 知识点二：极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 知识点三：方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 【微点拨】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 知识点四：标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s. 【微点拨】 （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 极差、方差、标准差、离差平方和的对比 统计量 核心特点 优点 缺点 极差 反映数据波动范围，基于最大值和最小值 计算最简单、直观易懂 未利用所有数据，易受极端值影响，不能反映内部波动 方差 反映数据整体波动大小，基于所有数据与平均数的差，是离差平方和的平均数 利用所有数据，反映波动更全面、准确 计算复杂，单位与原数据不一致，不便于直观理解 标准差 反映数据整体波动大小，是方差的算术平方根 利用所有数据，单位与原数据一致，直观易懂 计算复杂，需先求方差再开平方 离差平方和 反映数据偏离平均数的总波动，是方差的分子（中间量） 利用所有数据，直接体现总波动，是后续统计分析的基础 计算复杂，未消除数据总数的影响（数据越多，总和可能越大），不便于不同组数据对比 统计量 核心特点 优点 缺点 极差 反映数据波动范围，基于最大值和最小值 计算最简单、直观易懂 未利用所有数据，易受极端值影响，不能反映内部波动 方差 反映数据整体波动大小，基于所有数据与平均数的差 利用所有数据，反映波动更全面、准确 计算复杂，单位与原数据不一致，不便于直观理解 标准差 反映数据整体波动大小，是方差的算术平方根 利用所有数据，单位与原数据一致，直观易懂 计算复杂，需先求方差再开平方 知识点五：四分位数的定义与计算 1. 三个四分位数的定义 1. 第一四分位数（Q₁，也叫下四分位数）：将排序后的数据分成前25%和后75%两部分，Q₁是前25%数据的最大值，也是后75%数据的最小值（即第25百分位数）。 2. 第二四分位数（Q₂，也叫中四分位数）：就是这组数据的中位数，将数据分成前50%和后50%两部分（即第50百分位数）。 3. 第三四分位数（Q₃，也叫上四分位数）：将排序后的数据分成前75%和后25%两部分，Q₃是前75%数据的最大值，也是后25%数据的最小值（即第75百分位数）。 4. 补充：四分位距（IQR）= Q₃ - Q₁，反映数据中间50%部分的波动大小，四分位距越大，中间50%数据的波动越大。 2. 四分位数的计算步骤 1. 排序：将一组数据按照从小到大的顺序整理好（关键步骤，不可遗漏）。 2. 计算四分位位置（确定Q₁、Q₂、Q₃的位置，n为数据总数）： · Q₂（中位数）的位置：（与中位数计算位置一致）； · Q₁的位置：； · Q₃的位置：。 3. 确定四分位数（分两种情况）： · 情况1：四分位位置为整数——对应位置上的数据，就是对应的四分位数； · 情况2：四分位位置为小数——取小数前后两个位置的数据，计算其算术平均数，作为对应的四分位数（预习阶段重点掌握整数位置的计算，小数位置初步了解即可）。 3. 简单示例（整数位置，便于预习理解） 示例1：数据1、3、5、7、9、11、13、15（n=8） 1. 排序：已从小到大排好； 2. 计算位置：Q₁位置=（小数），Q₂位置=（小数），Q₃位置=（小数）； 3. 计算四分位数： · Q₁：第2位数据（3）和第3位数据（5）的平均数，即； · Q₂：第4位数据（7）和第5位数据（9）的平均数，即（中位数）； · Q₃：第6位数据（11）和第7位数据（13）的平均数，即； · 四分位距IQR=12-4=8。 知识点六：数据分组的方法与步骤 1. 分组的核心原则 ①分组要合理，每组的范围（组距）要统一，不可出现组距不一致的情况；②分组要“不重不漏”——每个数据只能属于一个小组（不重），所有数据都要被分到某个小组（不漏）；③组数要适中，一般根据数据总数确定（数据较少时组数少，数据较多时组数多，通常组数为5-12组）。 2. 关键概念 1. 组距：每个小组的最大值与最小值的差，叫做组距（通常组距取整数，便于计算）； 2. 组数：数据分组的个数，组数≈（最大值 - 最小值）÷ 组距（结果向上取整，确保所有数据都能被包含）； 3. 组限：每个小组的边界值，分为上限（小组的最大值）和下限（小组的最小值），如小组“150-155”，下限是150，上限是155（注意：相邻小组的上限和下限要衔接，避免遗漏数据）。 3. 分组的具体步骤 1. 求极差：计算这组数据的最大值与最小值的差（R=最大值-最小值），确定数据的波动范围； 2. 确定组距和组数：①根据数据特点和分析需求，确定组距（通常取整数）；②计算组数，组数≈极差÷组距，结果向上取整（如极差25，组距5，组数=25÷5=5组；极差26，组距5，组数=26÷5=5.2，向上取整为6组）； 3. 确定组限：①从最小值开始，依次确定每个小组的下限和上限，确保组距统一、衔接连贯；②注意：若数据为整数，可采用“连续组限”（如150-155、155-160），此时数据155属于后一个小组（避免重复）； 4. 统计频数：逐一统计每个数据属于哪个小组，记录每个小组的频数（数据个数）； 5. 绘制频数分布表：将小组、频数（可选频率）整理成表格，清晰呈现数据的分组情况。 预习易错点汇总 1. 24.2：计算方差时漏算平方、漏除以n；混淆方差与标准差、离差平方和的关系；计算离差平方和时未先求平均数或漏算平方项； 2. 24.3：未排序就计算四分位数；混淆Q₁、Q₃的位置公式；小数位置的四分位数计算错误； 3. 24.4：组数计算未向上取整；组距不统一、组限不衔接；频数统计重复或遗漏； 4. 共性错误：数据整理不规范、计算粗心大意；混淆不同统计量的定义和作用。 模块四 题型汇总 【题型1 求离差平方和】 【典例1】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】数据2，3，4，5，6的平均数为． 离差平方和为． 故答案为：10． 【变式1-1】．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】A 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值之差的平方和． 【详解】解：∵ 平均值 ∴ 离差平方和 = ． 故选：A． 【变式1-2】．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 【题型2 离差平方和的应用】 【典例2】．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 【变式2-1】．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 【变式2-2】．学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 【题型3 求方差】 【典例3】．某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的变化情况，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，分别分析去掉一个最高分和一个最低分后各统计量是否发生变化，关键是掌握中位数的定义及性质． 【详解】解：∵原数据排序为，共7个数据， ∴原中位数为第4个数据，即， ∵去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据为，共5个数据， ∴剩余数据的中位数为第3个数据，即，中位数未发生变化， ∵原数据平均数为，去掉后平均数为，平均数发生变化， ∵原众数为（出现2次），去掉后仅出现1次，众数发生变化， ∵方差与数据和平均数有关，平均数改变且数据调整，方差发生变化， ∴一定不发生变化的是中位数， 故选B． 【变式3-1】．某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． (1)此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ (2)求乐融融近五次上篮成绩的方差． 【答案】(1)中位数为28分；众数为30分 (2)乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4 【分析】本题考查了中位数、众数、方差，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据求方差的公式计算即可； 【详解】（1）解：由题意得，此班级男生总人数为（人）， 将此班级男生上篮成绩从大到小顺序排列，则中位数为第13个的数据，即28分， 此班级男生上篮成绩30分出现次数最多，故众数为30分； （2）乐融融近五次上篮成绩的平均数为（分）， ∴乐融融近五次上篮成绩的方差为 ， 答：乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4． 【变式3-2】．某学校从八年级学生中任意选取20名男生，按人数平均分成甲、乙两个小组进行体能测试．根据测试成绩（单位：分）绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数 2 5 2 1 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_____，乙组成绩的中位数是_____分． (2)已知甲组成绩的方差为，求乙组成绩的方差，并根据方差判断哪个小组的成绩更加稳定？ 【答案】(1)3；8 (2)甲组 【分析】此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图． （1）由人数即可求出m，根据众数的定义结合条形统计图可知中位数； （2）根据条形统计图可求出乙组平均数，进而求出乙组方差，对比甲组方差，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∵乙组成绩中，， ∴排在第5和第6位的数都是8，则中位数是8， 故答案为：3，8； （2）解：乙组的平均数是：， 则乙组的方差是：， ， ， ∴甲组的成绩更加稳定． 【题型4 利用方差求未知数据的值】 【典例4】．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是 ． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 【变式4-1】．已知一组数据的方差为：，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 【变式4-2】．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 【题型5 根据方差判断稳定性】 【典例5】．在“川超”（四川省城市足球联赛）的一场比赛中，成都锦城队获得了点球机会．若该队甲、乙、丙三名球员近期训练中的点球平均命中率相同，方差分别是，，教练需要选择一名发挥最稳定的球员罚球，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，通过比较三名球员点球命中率的方差大小即可得出结论． 【详解】∵方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定， 又0.004 < 0.02 < 0.05，即 ∴丙的发挥最稳定，应选择丙． 故选：C． 【变式5-1】．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，在平均数相同的前提下，方差越大，数据波动越大，长势越不整齐；方差越小，数据波动越小，长势越整齐，据此判断即可．掌握方差的意义是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴四种麦苗的平均高度相同， ∵， 又∵方差越小，麦苗长势越整齐， ∴麦苗又高又整齐的是甲． 故选：A． 【变式5-2】．数学文化是打开数学世界的钥匙，它不仅是严谨的逻辑与计算，更承载着人类探索未知的智慧与文明．从《九章算术》的智慧到欧拉公式的简洁之关，数学文化中蕴含的创新精神与人文价值，正等待着同学们去发现与传承．某校为营造“爱数学、懂文化”的校园氛围，开展“数学文化进校园”知识竞赛．以下是从八年级和九年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98 九年级学生竞赛成绩： 组别/分数 九年级 1 3 8 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.5 12.08 九年级 94 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________，__________，所在组别是____________（填“”或“”或“”）； (2)若，则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的____________年级； (3)八年级共有600人，九年级共有900人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中两个年级一共有多少人获得优秀等级． 【答案】(1)90，90，C (2)八 (3)此次竞赛中获得优秀等级的人数大约为1000人 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）根据方差分析即可得解； （3）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：八年级12名学生成绩中，按照从低到高排列，处在第6名和第7名的成绩分别为分，分， 八年级学生成绩的中位数， 得分为分的人数最多， 八年级学生成绩的众数， 九年级学生竞赛成绩落在A组的有1人，B组的有3人，C组的有8人， 九年级学生成绩的中位数在C组； 故答案为：90，90，C； （2）， 八年级的方差小于九年级的方差， 则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的是八年级； 故答案为：八； （3）抽查的12名学生中，八年级的竞赛成绩达到优秀的有8人， 九年级的竞赛成绩达到优秀的有8人， 则估算此次竞赛中两个年级竞赛成绩达到优秀一共有（人）． 【题型6 运用方差做决策】 【典例6】．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查方差；根据方差越小，其稳定性也就越好进行求解即可． 【详解】解：因为甲、乙两名同学的平均分都是95分， 由，可知：，所以选择乙会更好； 故选：B． 【变式6-1】．甲、乙两班举行计算机汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的情况统计如下（每分钟录入汉字个为优秀）： 班级 参赛人数 中位数 平均数 方差 甲班 55 149 135 191 乙班 55 151 135 110 给出下列结论： （1）甲、乙两班学生比赛成绩的平均水平相同； （2）乙班比赛成绩优秀的学生多于甲班； （3）乙班学生比赛的成绩比较稳定． 其中，正确的结论是（   ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差，正确理解统计量的意义是解题的关键．通过比较两班的平均数、中位数和方差，判断各结论的正确性． 【详解】解：∵甲班平均数为135，乙班平均数为135， ∴两班平均水平相同，结论（1）正确； ∵甲班中位数为149， ∴成绩排序后第28名的学生成绩为149，因此甲班优秀（）人数至多27人， ∵乙班中位数为151， ∴成绩排序后第28名的学生成绩为151，因此乙班优秀人数至少28人， ∴乙班优秀学生人数多于甲班，结论（2）正确； ∵乙班方差为110，甲班方差为191，且， ∴乙班成绩更稳定，结论（3）正确； ∴结论（1）（2）（3）正确． 故选：A． 【变式6-2】．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素．随机选择、两款保温杯各20个，统计每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表． 获保温杯的保温时效统计表 保温时效（） 个数 根据以上信息解答下列问题： (1)将下列表格补充完整：      保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 _______① 款保温杯 ______② (2)如果你是顾客，你会选择哪款保温杯？结合你所学的统计知识说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)我会选择款保温杯，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数，方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平均数、众数的定义计算即可． （2）根据平均数和方差进行比较即可． 【详解】（1）解：款保温杯的保温时效的平均数为：， ∵款保温杯的保温时效为的个数为，数量最多， ∴款保温杯的保温时效的众数为， 补充表格如下：      保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 款保温杯 （2）解：我会选择款保温杯，理由如下： 从平均数上看：款保温杯的平均保温时长高于款保温杯，并且保温时长在小时以上的比例达到，而款保温杯只占， ∴款保温杯保温效果更好， 从方差上看：款保温杯的保温时效的方差小于款保温杯的保温时效的方差， ∴款保温杯的保温时效比款保温杯的保温时效稳定， ∴款保温杯保温效果更好， ∴我会选择款保温杯． 【题型7 求四分位数】 【典例7】．祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 【变式7-1】．甲、乙两支体育教师代表队参加专业技能大赛，大赛组委会安排8位评委对这两支代表队从动作规范、动作整齐、精神面貌三项分别评分（单位：分）．其中对甲代表队动作规范评分为：8.6，8.8，8.9，9.1，9.1，9.2，9.5，9.6；对乙代表队动作规范评分为：8.6，8.6，8.9，9.0，9.1，9.1，9.3，9.4．现将每项八个评分的平均值作为该项的得分，甲、乙两支体育教师代表队各项的得分如下表： 动作规范 动作整齐 精神面貌 甲代表队 9.2 9.0 乙代表队 9.5 8.9 (1)八位评委对乙代表队的动作规范评分的上四分位数是___________分； (2)求表格中的值，并以此为依据，请判断哪支体育教师代表队动作更规范； (3)如果大赛组委会将动作规范、动作整齐、精神面貌三项的得分按的比例确定两支体育教师代表队的最终得分，并以此为依据评选出最终的冠军，请问哪支体育教师代表队是最终的冠军？ 【答案】(1)9.2 (2)，；甲代表队的动作更规范 (3)乙代表队是最终的冠军 【分析】本题考查了上四分位数，平均数以及加权平均数，正确理解题意是解题的关键． （1）数据从小到大排列，再根据上四分位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案． （3）根据加权平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：评分排序为8.6，8.6，8.9，9.0，9.1，9.1，9.3，9.4，共8个数据， 上四分位数， 故答案为：9.2； （2）解：， ， 甲代表队的动作更规范； （3）解：（分）， （分）， ， 乙代表队是最终的冠军. 【变式7-2】．市里要举办乒乓球比赛，某校需要组织乒乓球队参加比赛，现有、两班各8名同学参加乒乓球队选拔． 班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位: cm)如下:155，162，165，167，169，170，175，185； 班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位: cm)如下:155，158，165，179，181，182，184，190 根据所给数据绘制班和班学生身高的四分位数表及箱线图如下： 班级 最小值 155 155 下四分位数 163.5 中位数 168 180 上四分位数 183 最大值 185 190 (1)班的上四分位数为 ，班的下四分位数为 ． (2)根据四分位数表及箱线图，说明，两班参加乒乓球队选拔的同学的身高特点． 【答案】(1)172.5， 161.5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数和箱线图的应用，掌握四分位数和箱线图的概念是解题的关键． （1）根据四分位数的概念以及算法求值即可； （2）根据四分位数表和箱线图分析即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，班的上四分位数为， 班的下四分位数为． 故答案为：172.5， 161.5． （2）解：班参加乒乓球队选拔的同学的身高更集中，但班中位数比班更大，且班的身高集中在180~183 cm的人数更多． 【题型8 画箱线图】 【典例8】．一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，，．这组数据的箱线图如图所示．若数据中，则的值等于 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了箱线图，上四分位数，中位数．由箱线图可知：最小值是5，最大值是13，中位数是，下四分位数是，上四分位数是10，一共是12个数，即可求解． 【详解】解：由箱线图可知：最小值是5，最大值是13，中位数是，下四分位数是，上四分位数是10，一共是12个数， 所以第6和第7个数分别是7和8，第3和第4个数分别是6和7，第9和第10个数都是10， 所以这组数据从小到大排列为：5，5，6，7，7，，8，9，10， ，11，13． 所以a的值为7， 故答案为：． 【变式8-1】．老师记录了全班40名学生跳绳的次数：， (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为__________，其中__________，__________，__________． (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 【答案】(1)箱线图；144；136；132 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查四分位数，箱线图； （1）根据箱线图和四分位数的定义求解即可； （2）根据箱线图的特征解答即可； （3）由箱线图可知中位数离下四分位数近，平均数大于中位数． 【详解】（1）解：老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为箱线图， 在这组数据中居于中间的两个数为,，故中位数； 上四分位数为； 下四分位数为； 故答案为：箱线图；144；136；132． （2）解：说明中位数更靠近下四分位数，数据在中位数以下更集中． （3）解：估计全班学生跳绳次数的平均数大，因为最大值和上四分位数距离中位数比最小值和下四分位数远，会拉高平均数． 【变式8-2】．学校举办投篮比赛，八年级（1）班和（2）班各派出12名选手参赛，每位选手投篮10次命中数如下： 八（1）班选手命中数：4，2，6，5，2，4，3，3，2，4，4，7． 八（2）班选手命中数：3，4，3，4，3，4，5，5，4，4，5，4． (1)两个班的数学兴趣小组对以上两组数据进行分析，制作出如下表格，请补全表中5处空格． 班级 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 八（1） 2 4 八（2） 3 3.5 5 (2)根据上表格制作了如下箱线图，结合四分位数分析哪个班级的投篮水平更稳定． 【答案】(1)2.5，4.5，7，4，4.5 (2)八（2）班选手的投篮水平更稳定；理由：八（2）班的箱线图箱子较短，四分位数间距较小，数据离散程度小 【分析】本题考查了四分位数的计算，以及根据箱线图判断稳定性，解决本题的关键是熟练掌握四分位数的概念及计算． （1）将两个班的命中数从小到大排列，根据四分位数的计算方法计算即可； （2）根据两个班级的箱线图判断即可． 【详解】（1）解：八（1）班选手命中数：2，2，2，3，3，4，4，4，4，5，6，7； ∴；；最大值是7． 八（2）班选手命中数：3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5； ∴，． 表格如下： 班级 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 八（1） 2 2.5 4 4.5 7 八（2） 3 3.5 4 4.5 5 （2）解：由箱线图可知，八（1）班的箱子明显比八（2）班的箱子长，说明它的四分位数间距更大，数据离散程度更大， 而八（2）班的箱子更短，说明它的四分位数间距更小，数据离散程度更小， 综上，八（2）班选手的投篮水平更稳定， 理由：八（2）班的箱线图箱子较短，四分位数间距较小，数据离散程度小． 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 【典例9】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解决此题的关键． 本题需判断哪个统计量能让同学知晓自己是否入选前4名，核心是找到入选与未入选的分界成绩，结合各统计量的定义分析即可． 【详解】解：∵9名同学成绩各不相同，将成绩按从优到劣（跑步时间由短到长）排序后，前4名可入选， 又∵9个数据的中位数是排序后第5个数据，恰好是入选与未入选的分界成绩， ∴同学将自身成绩与中位数对比，若成绩优于中位数（时间更短）则入选，反之则未入选， ∵平均数易受极端值影响、众数在本题无意义（成绩均不同），下四分位数均无法直接判断是否进入前4名， ∴老师只需公布中位数． 故选：B． 【变式9-1】．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩 ∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意， ∴符合题意的统计量是中位数， 故选：C． 【变式9-2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的确定，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合已知数据判断哪个统计量不受缺失数据影响． 【详解】解：∵总共有25名学生，中位数是将数据从小到大排列后第13个数据． 又∵171及以下有1人，172有4人，173有8人，． ∴第13个数据是173，中位数为173，不受缺失数据影响． ∵平均数、方差需要所有数据的具体信息，缺失数据无法确定这两个统计量． 又∵成绩为174次及以上的人数未知，无法判断哪个成绩出现次数最多，所以众数无法确定． ∴能分析出的统计量是中位数． 故选：B． 【题型10 利用合适的统计量做决策】 【典例10】．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了用众数做决策，商场购进滑冰鞋时，最关心的是哪种鞋号销售量最大，以确保进货符合市场需求，避免库存积压．众数表示数据中出现次数最多的值，即最受欢迎的鞋号，因此是商场最关心的统计量． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的值，能反映最受欢迎的鞋号； ∴商场在购进时最关心的统计量为众数， 故选：C． 【变式10-1】．某药店销售五种品牌的N95型口罩，店长统计了近一个月内这五种N95型口罩的销售量如下表： 品牌 A B C D E 销售量/盒 14 27 11 8 6 则近期在进货时，该药店店长最应关注的是这组数据的 ． 【答案】众数 【分析】本题考查统计分析中平均数、方差、众数及中位数的概念及识别，理解定义及统计意义是解题的关键．根据平均数、方差、众数和中位数的定义及统计意义求解． 【详解】解：由表知：销售B品牌的数量最多，即统计数据中，B品牌的销售量数最多，共27次，即为众数； 故答案为：众数． 【变式10-2】．贵阳市和南宁市2025年7月抽样数据（每隔10天记录1次当天最高气温（单位：）如下表： 日期 温度城市 7月1日 7月11日 7月21日 7月31日 贵阳 26 25 24 31 南宁 32 33 30 33 (1)贵阳市7月抽样数据的平均数是__________，南宁市7月抽样数据的中位数是_________． (2)某数学小组研究发现： 相对湿度（空气中水汽的“饱和度”百分比，对人体而言在之间最舒适）：贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天．请你利用所学统计知识判断哪个城市夏天更热？ 【答案】(1)26.5， 32.5 (2)南宁市 【分析】本题考查了统计表，平均数，中位数等知识，解题的关键是： （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均相对湿度和高温的天数判断即可． 【详解】（1）解：贵阳市7月抽样数据的平均数为， 南宁市7月抽样数据从小到大排序为30，32，33，33， ∴中位数为， 故答案为：26.5 ；32.5； （2）解：∵贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；， 高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天，， ∴南宁市的夏天更热． 模块五 过关检测 1．某校举办庆“五一”迎“五四”文艺晚会，在优秀节目评选中，某班演出的节目得分如下：，，，，，，，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A．中位数是 B．方差是 C．众数是 D．平均数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数和方差的计算，熟练掌握各统计量的定义和计算公式，并能准确进行数据处理是解题的关键．先将数据从小到大排序，依次计算中位数、众数、平均数和方差，再逐一判断选项的正确性，找出错误的说法． 【详解】解：将数据从小到大排列为，共 7 个数据，居中的一个数据是 95 ， ∴中位数是 95 ，故A选项正确； 这组数据中出现次数最多的数据是 95 ，故众数是 95 ，故C选项正确； 这组数据的平均数是，故D选项正确； 这组数据的方差为，故B选项错误； 故选：B． 2．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 3．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别为：，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差越小，数据波动越小，成绩越稳定是解题的关键．先根据方差的意义判断数据波动与稳定性的关系，再比较甲、乙两人成绩的方差大小，从而确定谁的成绩更稳定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故选：B． 4．如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图的知识，理解箱线图的数据是关键，根据箱线图即可得到下四分位数是6，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，这组数据的下四分位数是6环， 故选：C ． 5．现有一组数据：2，5，3，1，5，x，若该组数据的中位数是，则该组数据的下四分位数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位数和下四分数，首先根据中位数为求出x的值，数据排序后中位数为第三和第四位的平均值，令其等于，解得． 然后求下四分位数，即数据下半部分的中位数． 【详解】解：将已知的五个数据从小到大排列为1，2，3，5，5， ∵该组数据（共6个）的中位数为， ∴排序后第3个和第4个数据的平均数为， 若x为第1或第2个数据，则中位数为，与题意不符， 若x为第3个数据，则1，2，x，3，5，5的中位数小于等于3，与题意不符， 若x为第4或第5个数据，则中位数为，与题意不符， ∴x必为第4个数据，则有， ∴， ∴这组数据排序为1，2，3，4，5，5． ∵下四分位数为下半部分数据的中位数，下半部分为1，2，3， ∴下四分位数为2． 故选：A． 6．专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】专卖店关注销售数据通常是为了了解最畅销的鞋号，以便进货或营销. 众数表示出现次数最多的值，即销售量最大的鞋号，符合实际需求. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握意义是解题的关键. 【详解】解：∵ 销售量数据中，鞋号39的销售量12双为最高， ∴ 众数为39号，表示最受欢迎的鞋号， ∴ 专卖店最关注众数， 故选：C. 7．甲、乙两学生在军训10次打靶训练中，所中环数的平均数相等，但方差分别为，，那么两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 比较甲和乙的方差，甲的方差较小，故甲的成绩更稳定． 【详解】方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为 0.96，乙的方差为 1.01， ∵ 0.96 < 1.01， ∴甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 8．小丽投掷10次标枪，前9次标枪落点如图所示，这9次成绩平均数为，方差为．若第10次标枪成绩恰为，这10次成绩方差为，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查方差，正确掌握方差的计算是解题的关键． 根据方差的计算公式，分别表示出，的值，比较即可． 【详解】解：设前9次的成绩分别为，，，， 则，， ． 故答案为：． 9．在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的 部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数 中位数（填“大于”或“小于”） 【答案】 前半 大于 【分析】本题考查箱线图（箱形图）的统计意义，涉及知识点：四分位数、中位数、平均数与数据分布的关系．解题技巧是理解箱线图中 “上四分位数 - 下四分位数” 代表中间 50% 数据的范围，中位数靠近下四分位数说明前半部分数据更集中；解题关键是结合数据偏态判断平均数与中位数的大小，易错点是混淆数据偏态对平均数和中位数的影响． 【详解】箱线图的中间 50% 数据是下四分位数（Q1）到上四分位数（Q3）之间的数据．中位数（Median）靠近下四分位数，说明从 Q1 到 Median 的距离小于 Median 到 Q3 的距离，即中间 50% 数据的前半部分（Q1 到 Median）更集中．中位数靠近下四分位数，说明数据呈右偏分布（大部分数据集中在左侧，右侧有长尾）．在右偏分布中，平均数会被右侧的长尾拉高，因此平均数大于中位数． 故答案为：前半；大于． 10．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了下四分位数，先将数据从小到大排序，求出中位数，进而确定下半部分数据，再求出下半部分数据的中位数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：数据排序后为：， ∵数据个数为偶数， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下半部分数据为：， ∵下半部分数据个数为， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下四分位数为， 故答案为：． 11．已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和= ． 【答案】40 【分析】本题考查了中位数的定义和离差平方和的计算，掌握奇数个数据的中位数为排序后中间位置的数，离差平方和为各数据与平均数差的平方和是解题的关键． 由中位数为确定的值，再计算数据的平均数，最后求离差平方和． 【详解】解：数据有个，中位数为排序后第三个数，因此， 数据为，平均数， 离差平方和为：， 故答案为：40． 12．某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），先根据离差平方和的定义分别求出两组数据的离差平方和，再根据组内离差平方和的定义列式计算即可． 【详解】解：第一组数据的平均数为：， 第一组数据的离差平方和为：， 第二组数据的平均数为：， 第二组数据的离差平方和为：， 所以组内离差平方和为， 故答案为：24． 13．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，小颖根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映　　　　的成绩（填“甲”或“乙”）； (2)图1中甲的众数为　　　　环，乙的平均数为　　　　环； (3)图2中，直接写出A的和B的，并根据平均数判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)乙 (2)7；8 (3)，乙的成绩比较好 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识及计算，掌握箱线图是关键． （1）直接根据箱线图解答可知； （2）根据中位数，平均数的计算求解即可； （3）根据的计算求解，结合平均数作决策即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，乙的成绩波动较小， 在图2中，A的数据比较集中，故A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； 故答案为：乙； （2）解：因为甲的成绩中7环出现的次数最多， 所以甲的众数为7环， 乙的平均数为（环）， 故答案为：7；8； （3）解：A反映乙的成绩，即， ∴， ∴第位置的数是第3，4个数据的平均数， ∴A的， B反映甲的成绩，即， ∴， ∴第位置的数是第9，10个数据的平均数， ∴B的， 因为甲的平均数为（环）， ∵， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 14．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映________的成绩，B反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (2)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为________环； (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)乙；甲 (2)7；8 (3)A的；B的；乙的成绩比较好 【分析】本题主要考查了箱线图，众数，平均数： （1）直接根据箱线图解答即可； （2）根据众数，平均数的定义解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：在图2中，A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； 故答案为：乙；甲 （2）解：因为甲的成绩中7环出现的次数最多， 所以甲的众数为7环， 乙的平均数为环； 故答案为：7；8 （3）解：A的； B的， 因为甲的平均数为， 所以甲的平均数小于乙的平均数， 所以乙的成绩比较好． 15．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，哪组成绩波动大． 【答案】(1) (2)见解析 (3)甲组成绩明显比乙组的波动大 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 则； （2）解：如答图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，甲组成绩明显比乙组的波动大． 16．学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： (1)甲地2月日均气温的中位数为___________； (2)请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； (3)结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了求中位数，箱线图，熟知中位数和箱线图的知识是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）所求结合箱线图的知识作图即可； （3）根据箱线图结合题意言之有理即可． 【详解】（1）解：∵2025年2月一共有28天， ∴将甲地这28天的日均气温按照从低到高的顺序排列，第14名和第15名的气温的平均数为甲地2月日均气温的中位数，即为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，甲地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于，乙地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于． 17．为进一步了解午餐配餐的情况，教体局针对评价较高的A，B两校，随机分别选择10个班级，对配餐家长们调查后，家委会对配餐情况作出相关评价，信息如下： 【收集数据】 1．菜品口味得分（满分10分）： A：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 B：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 2．饭菜的色泽观感得分（满分10分） A：7  8  6  8  7  5  8  6  8  7 B：4  8  10  6  9  5  7  5  10  6 【整理数据】 菜品口味得分 A 6 7 8 9 10 频数 2 3 1 3 1 B 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 色泽观感得分 A 4 5 6 7 8 9 10 频数 0 1 2 3 4 0 0 B 4 5 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 1 1 1 2 【分析数据】菜品口味和色泽观感得分统计表 项目 菜品口味得分 色泽观感得分 统计量 平均数 中位数 平均数 方差 A 7.8 7 1 B 8 7 【解决问题】 (1)求出表格中的_____，_____，并计算的值； (2)综合表中的统计量，你认为学生的家长更喜欢哪所学校的配餐？请说明理由； 【答案】(1)，，； (2)学生的家长更喜欢学校的配餐，理由见解析． 【分析】本题考查中位数、加权平均数、方差的计算以及统计量的实际应用，核心是掌握各统计量的定义和计算方法，并能结合统计量分析实际问题． （1）计算中位数时，需先将数据排序，再根据数据个数取中间值或中间两数的平均值；加权平均数根据各数据的频数计算；方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，利用加权形式计算即可． （2）判断家长更喜欢的配餐，需综合对比两校菜品口味的集中趋势(平均数、中位数)和色泽观感的离散程度(方差)，优先关注对配餐更重要的评价维度(如菜品口味)的统计量． 【详解】（1）解：校菜品口味得分排序为，共个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数， ∴； 根据校菜品口味得分的频数，； 已知校色泽观感得分的平均数为7， ； 故答案为：，，； （2）解：学生的家长更喜欢学校的配餐，理由如下： 校菜品口味得分的平均数为8，高于校的，且校菜品口味得分的中位数为8，也高于校的，这说明校的菜品口味整体评价更高； 虽然校色泽观感得分的方差为1，小于校的，即校色泽观感得分更稳定，但两校色泽观感得分的平均数均为7，而菜品口味是家长评价配餐的核心维度之一， 综合以上统计量可知，家长更喜欢校的配餐． 18．随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； (3)通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 【答案】(1)7；8 (2)估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人 (3)乙款手机实用性的满意度更高，理由见解析 【分析】本题考查统计图表，中位数，众数以及利用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）将数据排序后，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数，得到a的值，找到出现次数最多的数据，得到b的值； （2）利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例，进行计算即可得出结果； （3）结合表格数据进行分析即可． 【详解】（1）解：乙款手机具体评分情况（单位：分）如下： 6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9， ∴，， 故答案为：7，8； （2）解：由题意得，（人），（人）， 答：估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人； （3）解：乙款手机实用性的满意度更高，理由如下： 甲款手机的受益人数的百分比为， 乙款手机的受益人数的百分比为， ∴乙款手机实用性的满意度更高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2数据的离散程度＆24.3数据的四分位数＆24.4数据的分组寒假预习讲义 （6知识点+10大题型+过关检测） 【题型1 求离差平方和】 6 【题型2 离差平方和的应用】 6 【题型3 求方差】 7 【题型4 利用方差求未知数据的值】 8 【题型5 根据方差判断稳定性】 8 【题型6 运用方差做决策】 9 【题型7 求四分位数】 11 【题型8 画箱线图】 13 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 14 【题型10 利用合适的统计量做决策】 14 1. 理解数据离散程度的意义，掌握极差、方差、标准差的定义和计算公式，能根据简单数据计算三者，明确其反映数据波动大小的作用。 2. 理解四分位数的定义，掌握四分位数的计算步骤（排序、找四分位线），能根据数据求出第一四分位数（Q₁）、第二四分位数（Q₂，即中位数）、第三四分位数（Q₃），初步理解四分位距的意义。 3. 掌握数据分组的基本方法和步骤，能根据数据特点确定分组的组数、组距，正确绘制频数分布表，理解分组的核心作用是简化数据、便于分析。 4. 初步区分数据离散程度、四分位数、数据分组的应用场景，能结合简单数据，选择合适的方法进行初步分析，提升数据处理能力。 模块三 知识点梳理 知识点一：离差平方和 1. 定义（必记）：一组数据中，每个数据与这组数据平均数的差的平方之和，叫做这组数据的离差平方和，记作（预习阶段重点理解定义和计算，明确其与方差的关联）。 2. 核心关联（必记）：离差平方和是计算方差的“中间关键步骤”，方差本质上是离差平方和除以数据总数n，即：，反过来，。 计算公式（必记）： 知识点二：极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 知识点三：方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 【微点拨】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 知识点四：标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s. 【微点拨】 （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 极差、方差、标准差、离差平方和的对比 统计量 核心特点 优点 缺点 极差 反映数据波动范围，基于最大值和最小值 计算最简单、直观易懂 未利用所有数据，易受极端值影响，不能反映内部波动 方差 反映数据整体波动大小，基于所有数据与平均数的差，是离差平方和的平均数 利用所有数据，反映波动更全面、准确 计算复杂，单位与原数据不一致，不便于直观理解 标准差 反映数据整体波动大小，是方差的算术平方根 利用所有数据，单位与原数据一致，直观易懂 计算复杂，需先求方差再开平方 离差平方和 反映数据偏离平均数的总波动，是方差的分子（中间量） 利用所有数据，直接体现总波动，是后续统计分析的基础 计算复杂，未消除数据总数的影响（数据越多，总和可能越大），不便于不同组数据对比 统计量 核心特点 优点 缺点 极差 反映数据波动范围，基于最大值和最小值 计算最简单、直观易懂 未利用所有数据，易受极端值影响，不能反映内部波动 方差 反映数据整体波动大小，基于所有数据与平均数的差 利用所有数据，反映波动更全面、准确 计算复杂，单位与原数据不一致，不便于直观理解 标准差 反映数据整体波动大小，是方差的算术平方根 利用所有数据，单位与原数据一致，直观易懂 计算复杂，需先求方差再开平方 知识点五：四分位数的定义与计算 1. 三个四分位数的定义 1. 第一四分位数（Q₁，也叫下四分位数）：将排序后的数据分成前25%和后75%两部分，Q₁是前25%数据的最大值，也是后75%数据的最小值（即第25百分位数）。 2. 第二四分位数（Q₂，也叫中四分位数）：就是这组数据的中位数，将数据分成前50%和后50%两部分（即第50百分位数）。 3. 第三四分位数（Q₃，也叫上四分位数）：将排序后的数据分成前75%和后25%两部分，Q₃是前75%数据的最大值，也是后25%数据的最小值（即第75百分位数）。 4. 补充：四分位距（IQR）= Q₃ - Q₁，反映数据中间50%部分的波动大小，四分位距越大，中间50%数据的波动越大。 2. 四分位数的计算步骤 1. 排序：将一组数据按照从小到大的顺序整理好（关键步骤，不可遗漏）。 2. 计算四分位位置（确定Q₁、Q₂、Q₃的位置，n为数据总数）： · Q₂（中位数）的位置：（与中位数计算位置一致）； · Q₁的位置：； · Q₃的位置：。 3. 确定四分位数（分两种情况）： · 情况1：四分位位置为整数——对应位置上的数据，就是对应的四分位数； · 情况2：四分位位置为小数——取小数前后两个位置的数据，计算其算术平均数，作为对应的四分位数（预习阶段重点掌握整数位置的计算，小数位置初步了解即可）。 3. 简单示例（整数位置，便于预习理解） 示例1：数据1、3、5、7、9、11、13、15（n=8） 1. 排序：已从小到大排好； 2. 计算位置：Q₁位置=（小数），Q₂位置=（小数），Q₃位置=（小数）； 3. 计算四分位数： · Q₁：第2位数据（3）和第3位数据（5）的平均数，即； · Q₂：第4位数据（7）和第5位数据（9）的平均数，即（中位数）； · Q₃：第6位数据（11）和第7位数据（13）的平均数，即； · 四分位距IQR=12-4=8。 知识点六：数据分组的方法与步骤 1. 分组的核心原则 ①分组要合理，每组的范围（组距）要统一，不可出现组距不一致的情况；②分组要“不重不漏”——每个数据只能属于一个小组（不重），所有数据都要被分到某个小组（不漏）；③组数要适中，一般根据数据总数确定（数据较少时组数少，数据较多时组数多，通常组数为5-12组）。 2. 关键概念 1. 组距：每个小组的最大值与最小值的差，叫做组距（通常组距取整数，便于计算）； 2. 组数：数据分组的个数，组数≈（最大值 - 最小值）÷ 组距（结果向上取整，确保所有数据都能被包含）； 3. 组限：每个小组的边界值，分为上限（小组的最大值）和下限（小组的最小值），如小组“150-155”，下限是150，上限是155（注意：相邻小组的上限和下限要衔接，避免遗漏数据）。 3. 分组的具体步骤 1. 求极差：计算这组数据的最大值与最小值的差（R=最大值-最小值），确定数据的波动范围； 2. 确定组距和组数：①根据数据特点和分析需求，确定组距（通常取整数）；②计算组数，组数≈极差÷组距，结果向上取整（如极差25，组距5，组数=25÷5=5组；极差26，组距5，组数=26÷5=5.2，向上取整为6组）； 3. 确定组限：①从最小值开始，依次确定每个小组的下限和上限，确保组距统一、衔接连贯；②注意：若数据为整数，可采用“连续组限”（如150-155、155-160），此时数据155属于后一个小组（避免重复）； 4. 统计频数：逐一统计每个数据属于哪个小组，记录每个小组的频数（数据个数）； 5. 绘制频数分布表：将小组、频数（可选频率）整理成表格，清晰呈现数据的分组情况。 预习易错点汇总 1. 24.2：计算方差时漏算平方、漏除以n；混淆方差与标准差、离差平方和的关系；计算离差平方和时未先求平均数或漏算平方项； 2. 24.3：未排序就计算四分位数；混淆Q₁、Q₃的位置公式；小数位置的四分位数计算错误； 3. 24.4：组数计算未向上取整；组距不统一、组限不衔接；频数统计重复或遗漏； 4. 共性错误：数据整理不规范、计算粗心大意；混淆不同统计量的定义和作用。 模块四 题型汇总 【题型1 求离差平方和】 【典例1】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 【变式1-1】．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【变式1-2】．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【题型2 离差平方和的应用】 【典例2】．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【变式2-1】．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【变式2-2】．学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【题型3 求方差】 【典例3】．某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式3-1】．某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． (1)此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ (2)求乐融融近五次上篮成绩的方差． 【变式3-2】．某学校从八年级学生中任意选取20名男生，按人数平均分成甲、乙两个小组进行体能测试．根据测试成绩（单位：分）绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数 2 5 2 1 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_____，乙组成绩的中位数是_____分． (2)已知甲组成绩的方差为，求乙组成绩的方差，并根据方差判断哪个小组的成绩更加稳定？ 【题型4 利用方差求未知数据的值】 【典例4】．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是 ． 【变式4-1】．已知一组数据的方差为：，则 ． 【变式4-2】．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 【题型5 根据方差判断稳定性】 【典例5】．在“川超”（四川省城市足球联赛）的一场比赛中，成都锦城队获得了点球机会．若该队甲、乙、丙三名球员近期训练中的点球平均命中率相同，方差分别是，，教练需要选择一名发挥最稳定的球员罚球，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样 【变式5-1】．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式5-2】．数学文化是打开数学世界的钥匙，它不仅是严谨的逻辑与计算，更承载着人类探索未知的智慧与文明．从《九章算术》的智慧到欧拉公式的简洁之关，数学文化中蕴含的创新精神与人文价值，正等待着同学们去发现与传承．某校为营造“爱数学、懂文化”的校园氛围，开展“数学文化进校园”知识竞赛．以下是从八年级和九年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98 九年级学生竞赛成绩： 组别/分数 九年级 1 3 8 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.5 12.08 九年级 94 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________，__________，所在组别是____________（填“”或“”或“”）； (2)若，则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的____________年级； (3)八年级共有600人，九年级共有900人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中两个年级一共有多少人获得优秀等级． 【题型6 运用方差做决策】 【典例6】．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【变式6-1】．甲、乙两班举行计算机汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的情况统计如下（每分钟录入汉字个为优秀）： 班级 参赛人数 中位数 平均数 方差 甲班 55 149 135 191 乙班 55 151 135 110 给出下列结论： （1）甲、乙两班学生比赛成绩的平均水平相同； （2）乙班比赛成绩优秀的学生多于甲班； （3）乙班学生比赛的成绩比较稳定． 其中，正确的结论是（   ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3） 【变式6-2】．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素．随机选择、两款保温杯各20个，统计每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表． 获保温杯的保温时效统计表 保温时效（） 个数 根据以上信息解答下列问题： (1)将下列表格补充完整：      保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 _______① 款保温杯 ______② (2)如果你是顾客，你会选择哪款保温杯？结合你所学的统计知识说明理由． 【题型7 求四分位数】 【典例7】．祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【变式7-1】．甲、乙两支体育教师代表队参加专业技能大赛，大赛组委会安排8位评委对这两支代表队从动作规范、动作整齐、精神面貌三项分别评分（单位：分）．其中对甲代表队动作规范评分为：8.6，8.8，8.9，9.1，9.1，9.2，9.5，9.6；对乙代表队动作规范评分为：8.6，8.6，8.9，9.0，9.1，9.1，9.3，9.4．现将每项八个评分的平均值作为该项的得分，甲、乙两支体育教师代表队各项的得分如下表： 动作规范 动作整齐 精神面貌 甲代表队 9.2 9.0 乙代表队 9.5 8.9 (1)八位评委对乙代表队的动作规范评分的上四分位数是___________分； (2)求表格中的值，并以此为依据，请判断哪支体育教师代表队动作更规范； (3)如果大赛组委会将动作规范、动作整齐、精神面貌三项的得分按的比例确定两支体育教师代表队的最终得分，并以此为依据评选出最终的冠军，请问哪支体育教师代表队是最终的冠军？ 【变式7-2】．市里要举办乒乓球比赛，某校需要组织乒乓球队参加比赛，现有、两班各8名同学参加乒乓球队选拔． 班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位: cm)如下:155，162，165，167，169，170，175，185； 班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位: cm)如下:155，158，165，179，181，182，184，190 根据所给数据绘制班和班学生身高的四分位数表及箱线图如下： 班级 最小值 155 155 下四分位数 163.5 中位数 168 180 上四分位数 183 最大值 185 190 (1)班的上四分位数为 ，班的下四分位数为 ． (2)根据四分位数表及箱线图，说明，两班参加乒乓球队选拔的同学的身高特点． 【题型8 画箱线图】 【典例8】．一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，，．这组数据的箱线图如图所示．若数据中，则的值等于 ． 【变式8-1】．老师记录了全班40名学生跳绳的次数：， (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为__________，其中__________，__________，__________． (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 【变式8-2】．学校举办投篮比赛，八年级（1）班和（2）班各派出12名选手参赛，每位选手投篮10次命中数如下： 八（1）班选手命中数：4，2，6，5，2，4，3，3，2，4，4，7． 八（2）班选手命中数：3，4，3，4，3，4，5，5，4，4，5，4． (1)两个班的数学兴趣小组对以上两组数据进行分析，制作出如下表格，请补全表中5处空格． 班级 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 八（1） 2 4 八（2） 3 3.5 5 (2)根据上表格制作了如下箱线图，结合四分位数分析哪个班级的投篮水平更稳定． 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 【典例9】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【变式9-1】．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式9-2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型10 利用合适的统计量做决策】 【典例10】．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式10-1】．某药店销售五种品牌的N95型口罩，店长统计了近一个月内这五种N95型口罩的销售量如下表： 品牌 A B C D E 销售量/盒 14 27 11 8 6 则近期在进货时，该药店店长最应关注的是这组数据的 ． 【变式10-2】．贵阳市和南宁市2025年7月抽样数据（每隔10天记录1次当天最高气温（单位：）如下表： 日期 温度城市 7月1日 7月11日 7月21日 7月31日 贵阳 26 25 24 31 南宁 32 33 30 33 (1)贵阳市7月抽样数据的平均数是__________，南宁市7月抽样数据的中位数是_________． (2)某数学小组研究发现： 相对湿度（空气中水汽的“饱和度”百分比，对人体而言在之间最舒适）：贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天．请你利用所学统计知识判断哪个城市夏天更热？ 模块五 过关检测 1．某校举办庆“五一”迎“五四”文艺晚会，在优秀节目评选中，某班演出的节目得分如下：，，，，，，，分析这组数据，下列说法错误的是（ ） A．中位数是 B．方差是 C．众数是 D．平均数是 2．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 3．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别为：，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 4．如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 5．现有一组数据：2，5，3，1，5，x，若该组数据的中位数是，则该组数据的下四分位数是（   ） A．2 B． C．3 D． 6．专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．甲、乙两学生在军训10次打靶训练中，所中环数的平均数相等，但方差分别为，，那么两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 8．小丽投掷10次标枪，前9次标枪落点如图所示，这9次成绩平均数为，方差为．若第10次标枪成绩恰为，这10次成绩方差为，则 （填“>”“=”或“<”）． 9．在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的 部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数 中位数（填“大于”或“小于”） 10．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是 ． 11．已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和= ． 12．某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为 ． 13．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，小颖根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映　　　　的成绩（填“甲”或“乙”）； (2)图1中甲的众数为　　　　环，乙的平均数为　　　　环； (3)图2中，直接写出A的和B的，并根据平均数判断甲和乙谁的成绩比较好． 14．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映________的成绩，B反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (2)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为________环； (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 15．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，哪组成绩波动大． 16．学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： (1)甲地2月日均气温的中位数为___________； (2)请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； (3)结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 17．为进一步了解午餐配餐的情况，教体局针对评价较高的A，B两校，随机分别选择10个班级，对配餐家长们调查后，家委会对配餐情况作出相关评价，信息如下： 【收集数据】 1．菜品口味得分（满分10分）： A：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 B：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 2．饭菜的色泽观感得分（满分10分） A：7  8  6  8  7  5  8  6  8  7 B：4  8  10  6  9  5  7  5  10  6 【整理数据】 菜品口味得分 A 6 7 8 9 10 频数 2 3 1 3 1 B 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 色泽观感得分 A 4 5 6 7 8 9 10 频数 0 1 2 3 4 0 0 B 4 5 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 1 1 1 2 【分析数据】菜品口味和色泽观感得分统计表 项目 菜品口味得分 色泽观感得分 统计量 平均数 中位数 平均数 方差 A 7.8 7 1 B 8 7 【解决问题】 (1)求出表格中的_____，_____，并计算的值； (2)综合表中的统计量，你认为学生的家长更喜欢哪所学校的配餐？请说明理由； 18．随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； (3)通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $