23.1一次函数寒假预习讲义（4知识点+5大题型+过关检测）2025-2026学年度人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

23.1一次函数的概念寒假预习讲义 （4知识点+5大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正比例函数】 1 【题型2 识别一次函数】 2 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 3 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 5 【题型5 列一次函数解析式并求值】 6 1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握二者的解析式形式与结构特征。 2.明确正比例函数是特殊的一次函数，理清二者的联系与区别。 3.能根据实际问题列出一次函数（含正比例函数）的解析式，初步判断函数类型。 4.回顾函数基本概念，为后续学习一次函数的图像与性质打基础。 模块三 知识点梳理 知识点1 函数基础回顾 · 变量与常量：变化过程中，数值改变的量是变量，数值不变的量是常量。 · 函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x、y，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。 · 函数表示法：解析式法、列表法、图像法。 知识点2 一次函数的概念 1. 定义：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 2. 结构特征（判断依据）： · 解析式是整式； · 自变量x的次数为1； · 一次项系数k≠0（k=0时，函数退化为常数函数，不是一次函数）； · 常数项b可为任意实数（正数、负数、0）。 3. 示例：y=2x+3、y=−5x、y=x−1均为一次函数。 知识点3 正比例函数的概念 1. 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2. 结构特征（判断依据）： 3. 解析式是整式； 3. 自变量x的次数为1； 3. 比例系数k≠0； 3. 无常数项（常数项b=0）。 3. 示例：y=3x、y=−x均为正比例函数。 知识点4 一次函数与正比例函数的关系 · 联系：当一次函数y=kx+b中b=0时，解析式变为y=kx，即正比例函数是特殊的一次函数。 · 区别： 2. 一次函数：b可为任意实数，图像是不过原点的直线（b≠0时）； 2. 正比例函数：b=0，图像是过原点的直线。 易混点与注意事项 1. 判断一次函数时，必须满足k≠0，仅看x次数为 1 不够； 2. 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数； 3. 实际问题中，自变量x的取值范围需结合题意确定（如时间、长度不能为负）。 模块四 题型汇总 【题型1 正比例函数】 【典例1】．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 【变式1-1】．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为，对各选项进行判断即可得解． 【详解】解：正比例函数需满足的形式， A、，有常数项，不是正比例函数，不符合题意； B、，是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C、，符合形式，且是正比例函数，符合题意； D、，是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由定义得函数形式应为（），因此常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ，且， 解得， ． 故答案为：． 【题型2 识别一次函数】 【典例2】．下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，准确区分一次函数的概念是解题关键． 根据一次函数的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：一次函数的标准形式为， 对于：，其中，，故一定是一次函数； 对于：，在分母上，不是一次函数； 对于：，当时是一次函数，但当时，，不是一次函数，故不一定是一次函数； 对于：，的最高次数为，是二次函数，不是一次函数． 故选：． 【变式2-1】．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 【变式2-2】．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 【变式3-1】．关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，得且 ，解方程即可求解． 【详解】解：是一次函数， 且 ， 解得，， ． 故答案为． 【变式3-2】．已知点，在一次函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点和点在一次函数图象上，则，，两个式子相减得出关于的方程，解方程得到的值，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，， 由可得：， 解得：， 故答案为：． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】．点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．由点在直线上的条件，得到n与m的关系，代入代数式求值即可． 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 代入代数式，得： ， 故答案为：4． 【变式4-1】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入函数解析式，作差后利用已知条件求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过两点， ∴，， 则， 又∵， ∴． 故答案为：4． 【变式4-2】．声音在空气中传播时，声音速度与空气温度满足一次函数关系．部分数据如下表所示，则的值为 ． 0 10 20 30 324 330 336 348 【答案】342 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，利用表格数据找到规律，再计算即可． 【详解】解：由表格发现，空气温度每增加，声音速度增加， ∴， 故答案为：． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【变式5-1】．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式5-2】．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 模块五 过关检测 1．若点在直线上，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，已知点在直线上，将点的坐标代入解析式是解决此题的关键． 点A在直线上，故其坐标满足直线方程，直接代入计算即可． 【详解】解：∵点在直线 ∴将代入，得， ∴， 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．，，是一组勾股数 B．的平方根是 C．若点，则点A到x轴的距离为3 D．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程是行驶时间的正比例函数 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义、平方根的概念、点到坐标轴的距离以及正比例函数的判断．掌握勾股数的正整数性质、平方根的双值性、点到坐标轴距离的计算方法以及正比例函数的定义是解题的关键．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、勾股数必须是正整数，且满足，，，不是正整数，故A不符合题意； B、的平方根是，不是，故B不符合题意； C、 点到x轴的距离为，故C不符合题意； D、匀速运动中，路程y与时间x的关系为，符合（k为常数）的形式， 则 y是x的正比例函数，故D符合题意． 故选：D． 3．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的形式为（k为常数，），根据定义直接判断各选项是否符合． 【详解】∵正比例函数的标准形式为， 选项A：，含有常数项+1，不符合形式； 选项B：，是反比例函数，不符合形式； 选项C：，符合形式，且； 选项D：，是二次函数，不符合形式． 故选：C． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 5．已知函数，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．减少2 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值．通过计算自变量增加1前后的函数值之差，确定函数值的变化量，即可作答． 【详解】解：∵函数， 当自变量x增加1，则， ∴， 即当自变量x增加1时，函数值增加3， 故选：C． 6．一次函数（，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的轴对称变换及函数解析式的求解，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变化规律，并能将对应点代入函数解析式计算是解题的关键．先确定原函数图象上与对称点对应的点的坐标，再将该点代入原函数解析式求解的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得， 故选：B． 7．如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时，或 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，由图2可知，当时，点P运动到点B，当时，点P运动到点C，当时，点P运动到点D，据此可得的长，利用勾股定理可求出的长，据此可判断A、B、C；当时，点P在上运动，则，当时，点P在上运动，则， 当时，点P在上运动，则，据此可判断D． 【详解】解：由图2可知，当时，点P运动到点B， 当时，点P运动到点C， 当时，点P运动到点D， ∴ 由长方形对边相等可得，， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论错误，符合题意； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 当时，点P在上运动，则，此时不满足； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 综上所述，当时，或，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 8．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 9．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 10．点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点在一次函数图象上，则其坐标满足函数解析式． 将代入求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．如果函数是正比例函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，函数形式需为（其中），即指数为1且系数非零，据此列方程求解． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且， 解得或且， 即． 故答案为：． 12．如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用将军饮马求三角形的最短周长，待定系数法求一次函数的解析式； 作B关于x轴的对称点，连接，根据A、、C共线时的周长最小时，得，求出所在直线的解析式即可解答． 【详解】解：作B关于x轴的对称点，连接，当A、、C共线时的周长最小时， ∵B，关于x轴对称，，， ∴， 设所在直线的解析式为 则， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，，即， 故答案为2． 13．在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；根据加密函数，然后把，，，分别代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有，解得：，对应字母n； 当时，则有，解得：，对应字母i； 当时，则有，解得：，对应字母c； 当时，，解得：，对应字母e； 故明文为， 故答案为． 14．下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数，设一次函数解析式为，根据对应点代入解析式，可得：，，，利用整体代入法求的值． 【详解】解：设一次函数解析式为， 当时，， 可得：， 当时， ， 可得：， 当时，， 可得：， ． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．若点的“可控变点”点M在函数的图象上，则点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数上点的特征：解题关键是掌握新定义材料所讲内容，根据定义区分点M和点N． 根据题意得，分类讨论：当时，当时，将代入相应的解析式求得m的值，再将代入对应的解析式即可求解； 【详解】解：由题意，当时，将代入得， 当时，将代入得． 把代入M点所在解析式，得，即M点坐标为， 把代入M点解析式，得，及M点坐标为． 综上所述，点M的坐标为或 故答案为：或． 16．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 17．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 【答案】(1) (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，点在第二象限． (1)若点关于轴的对称点恰好在直线上，求的值． (2)在（1）的条件下，若点向下平移个单位后落在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质以及点的轴对称和平移，熟练掌握点坐标的轴对称特性，坐标平移特性，是解题的关键． （1）先求出关于y轴的对称点B的坐标，代入解析式即可求出m的值； （2）点向下平移个单位得到，代入解析式，即可求出n的值． 【详解】（1）解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 点在直线上， （2）解：点向下平移个单位得到， 点在直线上， ， ． 故的值为4． 19．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【详解】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 20．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 21．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； 问题2：分和列出函数关系式即可． 【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人． 根据题意，列方程组：，解得：． 答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人； 问题2，当时， ； 当时， ． 综上所述． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1一次函数的概念寒假预习讲义 （4知识点+5大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正比例函数】 1 【题型2 识别一次函数】 2 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 3 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 5 【题型5 列一次函数解析式并求值】 6 1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握二者的解析式形式与结构特征。 2.明确正比例函数是特殊的一次函数，理清二者的联系与区别。 3.能根据实际问题列出一次函数（含正比例函数）的解析式，初步判断函数类型。 4.回顾函数基本概念，为后续学习一次函数的图像与性质打基础。 模块三 知识点梳理 知识点1 函数基础回顾 · 变量与常量：变化过程中，数值改变的量是变量，数值不变的量是常量。 · 函数定义：在一个变化过程中，若有两个变量x、y，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。 · 函数表示法：解析式法、列表法、图像法。 知识点2 一次函数的概念 1. 定义：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 2. 结构特征（判断依据）： · 解析式是整式； · 自变量x的次数为1； · 一次项系数k≠0（k=0时，函数退化为常数函数，不是一次函数）； · 常数项b可为任意实数（正数、负数、0）。 3. 示例：y=2x+3、y=−5x、y=x−1均为一次函数。 知识点3 正比例函数的概念 1. 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2. 结构特征（判断依据）： 3. 解析式是整式； 3. 自变量x的次数为1； 3. 比例系数k≠0； 3. 无常数项（常数项b=0）。 3. 示例：y=3x、y=−x均为正比例函数。 知识点4 一次函数与正比例函数的关系 · 联系：当一次函数y=kx+b中b=0时，解析式变为y=kx，即正比例函数是特殊的一次函数。 · 区别： 2. 一次函数：b可为任意实数，图像是不过原点的直线（b≠0时）； 2. 正比例函数：b=0，图像是过原点的直线。 易混点与注意事项 1. 判断一次函数时，必须满足k≠0，仅看x次数为 1 不够； 2. 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数； 3. 实际问题中，自变量x的取值范围需结合题意确定（如时间、长度不能为负）。 模块四 题型汇总 【题型1 正比例函数】 【典例1】．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 【题型2 识别一次函数】 【典例2】．下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【变式2-2】．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【变式3-1】．关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【变式3-2】．已知点，在一次函数的图象上，则k的值为 ． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】．点在直线上，则代数式的值是 ． 【变式4-1】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则 ． 【变式4-2】．声音在空气中传播时，声音速度与空气温度满足一次函数关系．部分数据如下表所示，则的值为 ． 0 10 20 30 324 330 336 348 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 【变式5-1】．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【变式5-2】．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 模块五 过关检测 1．若点在直线上，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列说法正确的是（    ） A．，，是一组勾股数 B．的平方根是 C．若点，则点A到x轴的距离为3 D．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程是行驶时间的正比例函数 3．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．减少2 6．一次函数（，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C．1 D． 7．如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时，或 8．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 9．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 10．点在一次函数的图象上，则 ． 11．如果函数是正比例函数，那么 ． 12．如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为 ． 13．在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是 ． 14．下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．若点的“可控变点”点M在函数的图象上，则点M的坐标为 ． 16．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 17．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 18．如图，在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，点在第二象限． (1)若点关于轴的对称点恰好在直线上，求的值． (2)在（1）的条件下，若点向下平移个单位后落在直线上，求的值． 19．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 20．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 21．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $