23.4实际问题与一次函数寒假预习讲义（3知识点+6大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

23.4实际问题与一次函数寒假预习讲义 （3知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 分配方案问题】 1 【题型2 最大利润问题】 6 【题型3 行程问题】 9 【题型4 阶梯计价问题】 14 【题型5 其它问题】 18 【题型6 一次函数与几何综合】 21 1. 回顾一次函数的解析式（，）及图象性质，能结合实际问题情境，列出一次函数关系式，掌握列函数关系式的基本方法。 2. 初步掌握常见的一次函数实际应用题型（分配方案、最大利润、行程、阶梯计价等），理解每种题型的数量关系，能结合一次函数性质分析简单问题。 3. 初步了解一次函数与几何图形（线段、三角形等）的综合应用思路，能结合几何性质列出一次函数关系式，感知“数形结合”思想的延伸应用。 4. 能运用一次函数的增减性，解决实际问题中的简单最值、方案选择等问题，为课堂深入解题铺垫基础。 模块三 知识点梳理 知识点一、一次函数定义、性质 1. 一次函数基本形式：（、为常数，），其中决定增减性，决定与轴交点。 2. 一次函数增减性：①，随的增大而增大；②，随的增大而减小。 3. 核心思想：建模思想（将实际问题、几何问题转化为一次函数模型）、数形结合思想（结合函数图象分析问题）。 4. 列一次函数关系式的关键：找到问题中的“自变量”和“因变量”，分析两者之间的线性数量关系（含常量、变量），列出等式并整理为的形式。 知识点二、常见实际问题与一次函数（重点预习） 1. 分配方案问题 1. 题型特点：题目给出两种（或多种）分配方式、资源总量（如材料、人数、资金等），要求列出不同分配方案对应的一次函数关系式，分析方案的合理性或选择最优方案。 2. 核心数量关系：总资源量 = 第一种分配方式的消耗量 + 第二种分配方式的消耗量（结合自变量取值范围，自变量通常为分配的数量，需为非负整数或符合实际的数值）。 3. 预习要点：①确定自变量（如“分配给甲的数量”），因变量（如“总消耗量、剩余量”）；②根据资源总量列出一次函数关系式；③结合自变量取值范围（实际意义），分析可行方案。 4. 简单示例：用A、B两种材料制作零件，A材料每件用2kg，B材料每件用3kg，现有A、B材料共50kg，设制作A材料零件x件，列出剩余材料总量y与x的函数关系式（，需补充总零件数条件，预习时重点找此类等量关系）。 2. 最大利润问题 1. 题型特点：结合商品销售、生产加工等场景，给出进价、售价、销售量与售价的关系（或固定销售量），求最大利润，核心是利润与自变量（售价、销售量）的一次函数关系（注意：预习阶段重点是列关系式，课堂将深入学习最值求解，预习时结合增减性初步判断）。 2. 核心数量关系（必记）：①利润 = 总售价 - 总成本；②总售价 = 售价 × 销售量；③总成本 = 进价 × 进货量（或固定成本 + 变动成本）。 3. 预习要点：①确定自变量（通常为售价，或销售量）；②根据题意表示出销售量、总成本；③代入利润公式，整理为一次函数关系式；④结合自变量取值范围（售价不低于进价、销售量为非负），结合增减性初步分析利润变化。 4. 易错提醒：区分“单件利润”与“总利润”，避免直接用单件利润作为因变量，忽略销售量的影响。 3. 行程问题 1. 题型特点：涉及相遇、追及、匀速行驶等场景，核心是路程、速度、时间的关系，结合一次函数表示路程与时间的关系，分析相遇、追及时刻或位置。 2. 核心数量关系（必记）：路程 = 速度 × 时间（），分三种常见场景： · 同向行驶（追及）：路程差 = 速度差 × 追及时间，列函数关系式时，因变量通常为“两车距离”，自变量为“行驶时间”。 · 相向行驶（相遇）：总路程 = 速度和 × 相遇时间，因变量通常为“剩余路程”，自变量为“行驶时间”。 · 单人/单车匀速行驶：路程是时间的一次函数，即（为初始路程，如出发时已距离某地）。 3. 预习要点：①明确运动方向、速度、初始位置；②确定自变量（时间）和因变量（路程或距离）；③根据运动场景列出一次函数关系式，结合图象（直线）初步判断相遇、追及时刻。 4. 阶梯计价问题 1. 题型特点：结合生活中的水费、电费、燃气费、打车费、话费等场景，收费标准分“阶梯”（不同用量/里程对应不同单价），核心是分段列一次函数关系式（预习重点是理解分段逻辑，列出各段关系式）。 2. 核心数量关系：总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + ... + 第n段费用（每段费用 = 该段单价 × 该段用量/里程，注意区分“分段节点”，如打车费3公里内起步价，超过3公里按里程计费）。 3. 预习要点：①找出分段节点（如“不超过10吨”“超过10吨不超过20吨”）；②确定每段的自变量取值范围和对应单价；③分阶段列出一次函数关系式（注意：自变量取值范围不重复、不遗漏）；④能根据自变量（用量/里程）判断对应路段，代入关系式计算总费用。 4. 易错提醒：忽略分段节点，混淆各段单价；未标注自变量取值范围，导致计算错误。 5. 其它问题（补充常见题型） 1. 题型分类：主要包括租金问题、计费对比问题、生产配比问题等，本质仍是“找数量关系→列一次函数关系式→分析问题”，与前4类题型思路一致。 2. 常见示例： · 租金问题：租两种类型的设备，给出总租金预算、每种设备的租金，设租用一种设备的数量为自变量，列出总租金的函数关系式，分析可行租用方案。 · 计费对比问题：给出两种计费方式（如手机套餐），列出两种方式的总费用函数关系式，对比不同用量下的最优计费方式。 3. 预习要点：无论哪种题型，核心是“抓变量、找等量”，将实际问题转化为一次函数模型，套用前4类题型的分析思路即可。 知识点三、一次函数与几何综合（预习重点） 1. 题型特点：结合平面直角坐标系、线段、三角形、四边形等几何图形，给出几何条件（如顶点坐标、边长、位置关系），用一次函数表示线段所在直线的解析式，或结合函数图象分析几何图形的边长、面积等。 2. 核心关联：①平面直角坐标系中，直线上的点的坐标满足对应一次函数关系式；②已知两点坐标，可求出过这两点的一次函数解析式（预习阶段重点是理解“点在直线上→坐标代入解析式”）。 3. 预习要点： · 牢记：若点在一次函数的图象上，则（代入法的核心）。 · 常见场景：已知三角形两个顶点坐标，且边平行于x轴/y轴，求第三条边所在直线的一次函数解析式；结合直线的增减性，分析几何图形的顶点坐标变化。 · 预习思路：①根据几何条件确定关键点的坐标；②将关键点坐标代入一次函数解析式，求出和，得到函数关系式；③结合函数性质和几何性质，分析图形的相关问题（如边长、交点位置）。 4. 易错提醒：忽略几何图形的位置限制（如顶点在某一象限），导致自变量取值范围错误；代入点的坐标时，横、纵坐标混淆。 预习易错点梳理 1. 列函数关系式时，遗漏常量或找错等量关系（如最大利润问题中，忽略固定成本）； 2. 阶梯计价、分配方案问题中，未标注自变量的取值范围，或取值范围不符合实际意义（如人数、件数为负数）； 3. 一次函数与几何综合中，代入点的坐标时出错，或忽略几何图形的位置限制； 4. 混淆一次函数的增减性，分析最值、方案最优时判断错误（如时，误判“x越大，y越大”）； 5. 行程问题中，混淆“相向”“同向”运动的数量关系，导致函数关系式列错。 模块四 题型汇总 【题型1 分配方案问题】 【典例1】．某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【详解】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【变式1-1】．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A为600元，B为1000元． (2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元． 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为． 解得 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元． 由题意，得， 其中，解得， 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴ 解得， 综上，的取值范围是且为整数． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低， 总费用为（元）． ∴， 故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 【变式1-2】．综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【答案】(1)图见解析 (2)，选择公司最省钱；，选择公司一样省钱，，选择公司最省钱； (3)见解析 【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象，进行说明即可； （3）分2种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 画图如下： （2）解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； （3）解：由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 【题型2 最大利润问题】 【典例2】．某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)5元；8元 (2)购进15张A书签，45张B书签；255元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每张A书签的进价是元，每张B书签的进价是元， 根据题意，得， 解得， 答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元； （2）解：设购进张A书签，则购进张B书签，根据题意，得   ． 解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为元，则 ， 即． ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值， 最大值为． 此时． 答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255元． 【变式2-1】．2025年成都世界运动会期间，某纪念品商店花费600元批发了两种纪念徽章共50枚，其中种徽章的批发价与零售价分别为10元/枚和15元/枚，种徽章的批发价与零售价分别为15元/枚和23元/枚． (1)该商店卖完这些徽章可获利多少元？ (2)卖完这些徽章后，该商店计划再次按原批发价购进两种徽章共100枚，并按原零售价售卖．设第二次批发了种徽章枚，卖完这批徽章的利润是元，求关于的函数关系式，并求利润的最大值． 【答案】(1)310元 (2)，最大值为650 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用，熟练掌握方程组和一次函数的性质是解题的关键． （1）设批发了种徽章个，种徽章个，根据批发了两种纪念徽章共50枚，共花费600元，列出方程组求解即可； （2）第二次批发了种徽章枚，则批发了种徽章枚，再根据徽章的利润列出的表达式，结合一次函数的性质得到最值即可． 【详解】（1）解：设批发了种徽章个，种徽章个， 根据题意得， 解得， 则可获利（元）， 答：该商店卖完这些徽章可获利310元； （2）解：根据题意得， ， 整理得：， ， 随的增大而增大， 又， 当时，利润最大， 此时， 答：利润的最大值为． 【变式2-2】．武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； (2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； (3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)的取值范围为，且为整数 (3)安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，则y等于A种螃蟹总利润与B种螃蟹总利润之和； （2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解； （3）根据可得随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值． 【详解】（1）解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆， 由题意知：， 即关于的函数关系式为，其中，且为整数； （2）解：由题意得， 解得， 故自变量的取值范围为，且为整数； （3）解：由（1）知，， ， 随的增大而减小， 当取最小值6时，取最大值， 最大值为：（元）， 综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元． 【题型3 行程问题】 【典例3】．在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 【变式3-1】．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 【变式3-2】．一辆汽车加满油后从甲地出发匀速行驶去往乙地，距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间单位：小时)的函数关系如图1所示，油箱剩余油量(单位：升)与距甲地的路程(单位：千米)满足一次函数关系，其部分数据如表，结合图表信息，回答下列问题： /千米 … … /升 … … (1)直接写出距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间(单位：小时)的函数关系式　　，并说明点表示的实际意义； (2)求与的函数关系式，并求出汽车从甲地出发时，油箱油量是多少升； (3)行驶多长时间时，油箱剩余油量为升？ (4)从甲地到乙地预计需要花小时，则到达前至少需要额外补充　　升油． 【答案】(1)；点表示汽车行驶3小时后，距离甲地千米； (2)，油箱油量为升； (3)小时； (4) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涵盖正比例函数与一次函数的解析式求解、函数意义解读及实际问题计算，关键是利用待定系数法求函数解析式，结合函数关系转化实际问题． （1）根据汽车匀速行驶的特点，结合图象得出行驶速度，进而得到与的正比例函数关系式；点的实际意义结合其坐标对应的时间与路程解释即可； （2）设与的一次函数解析式，代入表格中两组已知数据，通过待定系数法求解解析式，再令得到出发时的油箱油量； （3）令代入与的解析式求出对应路程，再结合与的关系式计算行驶时间； （4）先计算甲地到乙地的总路程，代入与的解析式得到到达乙地时的剩余油量，根据油量为负计算需要补充的油量． 【详解】（1）解：汽车匀速行驶，由图象可知行驶千米用时2小时，故速度为千米/小时， ∴距甲地的路程与行驶时间的函数关系式为； 点的横坐标为3，纵坐标为，表示的实际意义为：汽车行驶3小时后，距离甲地千米； （2）解：设与的函数关系式为()， 将和代入得：，解得， ∴与的函数关系式为； 当时，，即汽车从甲地出发时，油箱油量是升； （3）解：令，得：， 解得； 答：行驶小时时，油箱剩余油量为升． （4）解：∵从甲地到乙地预计小时，总路程为千米， 将代入得：， 这说明行驶到乙地时油箱油量缺口为升， ∴到达前至少需要额外补充升油； 故答案为：． 【题型4 阶梯计价问题】 【典例4】．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 【变式4-1】．某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 【变式4-2】．小明在学习了“一次函数”后，从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，还进一步分析和解决了问题，请将小明分析、解决问题的过程补充完整． 【促销信息】 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折． 【发现问题】 小明根据【促销信息】发现：分别在甲、乙两家商场的购物金额是分别购买商品原价的一次函数． 【提出问题】 在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 【分析问题】 （1）小明在【提出问题】中的条件下，设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请根据【促销信息】直接分别写出与x，与x之间的表达式； （2）小明按照下表中自变量x的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 0 100 200 300 400 500 600 … 元 0 80 160 m 320 400 480 … 元 0 100 200 300 360 420 n … 则表格中，_____，_____； （3）在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象． 【解决问题】 （4）根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请帮助小明写出购物更省钱的方案． 【答案】（1）；； （2）；；（3）见解析； （4）①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【分析】（1）根据题意，得；乙商场的费用：分类计算即可； （2）根据表达式代入计算即可； （3）根据表达式描点，画图，连线画图象即可； （4）根据题意，分类讨论即可； 本题考查了一元一次方程的应用，打折问题，画图象，列出一次函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， 故答案为：240，480． （3）解：图表数据，画图如下： ． （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 【题型5 其它问题】 【典例5】．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共24个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价是1.2万元，乙型充电桩的单价是0.8万元 (2)22.4万元 【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，准确列出方程和一次函数解析式是关键． （1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等．据此列方程，解方程并检验即可； （2）先求出购买甲型充电桩的数量m的取值范围，再设所需费用为w万元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲型充电桩的单价是万元，乙型充电桩的单价是万元； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w万元，由题意得： ， m越小，w越小， 又， 当时，w取得最小值， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为万元． 【变式5-1】．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距 ．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 【变式5-2】．小温将某种家用凳整齐地叠放在一起． 【测量发现】叠在一起的高度与凳子数量（张）之间是一次函数关系． 【获取数据】下表是测量过程中的两组数据． 凳子数量/张 4 8 高度 69 97 【问题解决】 (1)求关于的函数表达式． (2)求15张这种凳子叠在一起的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）设，将，和，分别代入求解即可； （2）设，将，和，分别代入函数解析式计算的值即可． 【详解】（1）解：设，将，和，分别代入得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得， ∴15张这种凳子叠在一起的高度为． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】．综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为， (2)的面积为3 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的表达式求解、三角形面积的坐标法计算及坐标与图形的性质，关键是通过待定系数法确定函数解析式，结合坐标特征计算面积，再利用面积相等建立方程求解点的坐标． （1）考查待定系数法求一次函数解析式，以及求直线与轴的交点坐标，通过代入两点坐标解二元一次方程组得到解析式，再令求点坐标； （2）考查三角形面积的坐标法计算，先求出直线与轴交点的坐标，再利用坐标法或割补法计算的面积； （3）考查面积相等条件下的点坐标求解，设点坐标后，用底高法表示的面积，结合已知面积列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，把和代入得， ，解得． ∴直线的表达式为． 把代入，得：， ∴； （2）解：把代入，得， ∴． 把代入，得，解得， ∴． ∴． ∴； （3）解：设，则， ∵，∴． 解得或． ∴点的坐标为或． 【变式6-1】．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． （3）解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 【变式6-2】．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 【答案】初步运用：② ，③ ，④ 点的纵坐标为，⑤ ； 迁移探究：（1）； （2）； （3）的大小不变，． 【分析】初步运用：按照阅读材料解答即可； 迁移探究： （1）过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，运用待定系数法求得直线，的解析式，再联立方程组求解即可求得点的坐标，再利用，即可求得答案； （2）设直线解析式为，将点的坐标代入可得直线解析式为，进而得出点，的坐标，则，利用完全平方公式和非负数的性质求得的值，再利用待定系数法即可求得答案； （3）在上截取，连接，，，，可证得（），（），再结合等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】初步运用：①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； ③设直线的表达式为，把，代入，得 ， 解得， 由点和点的坐标求出直线的表达式为． ④点的横坐标为，且点在直线上， ， 点的纵坐标为． ⑤点的横坐标为， ， 点坐标为， ，， ，，， ， 故答案为：②，③，⑤； 迁移探究： （1）如图，过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立得 ， 解得， ， ， ； （2）由（1）知， 设直线解析式为，则， 解得， ， 当时，， 当时，. ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当时为最小值， ，即， 直线的表达式为； （3），大小不变，理由如下： 如图，在上截取，连接，，，， 由（2）知，， 是等腰直角三角形， . ，， 在和中， ， （）， ，， ， ，即， ， ，即， 在和中， ， （）， ， 的大小不变，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题是解题关键． 模块五 过关检测 1．甲、乙两家商店销售同一种产品，每件产品的售价（单位：元）与数量（单位：件）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．买2件时，甲、乙两家售价一样 B．买1件时，买乙家的合算 C．买3件时，买甲家的合算 D．买1件时，乙商店的售价约为3元 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图像判断实际问题中的数量关系，掌握从图像中获取信息并进行比较分析是解题的关键． 根据图像，甲商店的售价与数量的关系为一次函数，乙商店的售价与数量的关系为正比例函数． 【详解】解：A、买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元。所以该说法正确，不符合题意； B、买1件时，买乙家的合算，当时，从图像上可以看出，乙商店的图像在甲商店图像的下方，表示乙的售价低于甲的售价，具体计算：甲的售价为元，乙的售价为，因为 ，所以买乙家的合算，该说法正确，不符合题意； C、买3件时，买甲家的合算，当时，从图像上可以看出，甲商店的图像在乙商店图像的下方，表示甲的售价低于乙的售价，具体计算：甲的售价为元，乙的售价为，因为，所以买甲家的合算，该说法正确，不符合题意； D、买1件时，乙商店的售价约为3元，当时，乙商店的售价为元，选项中说售价约为3元，与实际值2元不符，所以该说法错误，符合题意； 故选：D． 2．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（    ） A．二楼离地面的高度为6米 B．乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C．当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D．乙先到达一楼地面 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：令时，则有， ∴二楼离地面的高度为6米，故A正确； 设乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 由图象可把点代入得：， 解得：， ∴乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 令时，则有，解得：， ∴乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒，故B正确； 把分别代入和得：， ∴当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米，故C正确； 令时，则有，解得：， ∵， ∴甲先到达一楼地面，故D错误； 故选D． 3．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括从函数图像中获取信息、求函数解析式、解方程等知识点，熟练掌握一次函数的性质以及从图像中提取关键数据、建立函数模型是解题的关键．先根据图像信息求出甲、乙两车的速度及各自的函数解析式，再逐一验证四个结论：①由图像终点纵坐标判断、两城距离；②由图像起点和终点横坐标判断两车的出发与到达时间；③通过联立两车的函数解析式求出相遇时间，从而验证乙车追上甲车的时间；④分情况讨论两车相距千米时的时间，最后统计正确结论的个数． 【详解】解：∵甲、乙两车从城到城的最大距离为千米， ∴①、两城相距千米，正确． ∵甲车在时出发，时到达，乙车在时出发，时到达， ∴②乙车比甲车晚出发小时，早到小时，正确． ∵甲车速度千米/小时， ∴甲车函数解析式为． ∵乙车速度千米/小时， ∴乙车函数解析式为（）． 联立， 解得， ∴乙车出发后小时追上甲车，故③错误． 当时， 分两种情况： ， 解得； ， 解得． 当乙车到达城后，， 解得． 故④中或正确． 综上，①②④正确，共个． 故选：C． 4．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，若点使得的值最大，点使得的值最小，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质，找出P、Q点是解题的关键． 过点作x轴的垂线l，则直线l交直线于点，此时，的值最大，作点关于直线的对称点为,连接交直线于点，则此时的值最小，求出点P和点Q的坐标即可得出答案． 【详解】解：过点作x轴的垂线l，则直线l交直线于点，此时，的值最大，作点关于直线的对称点为,连接交直线于点，则此时的值最小， ∴直线AB的解析式为， 令，则， ∴的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线的解析式为， 当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴的坐标为． ∴， ∴． 故选：B． 5．在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的综合应用，平移的性质，用待定系数法求一次函数，勾股定理，正确掌握用待定系数法求一次函数是解题的关键． 先根据勾股定理，得，从而，再根据待定系数法求出直线的解析式，把代入求得，进而求出平移的距离，计算即可求出面积． 【详解】解：、， ， 在中，， 则， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， ， 如图，当向右平移，当点B落在直线上时， 即当时，，解得， 向右移动的距离为， 则线段扫过的面积是． 故选：D． 6．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．综合实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式可能为（   ） 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式．由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，是轴上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，由一次函数性质得，，则，，通过勾股定理求得，然后分为当时或当时或时，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由可得，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴； 如图，当或时， ∴或； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 8．已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或． 故答案为：． 9．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象、全等三角形的判定与性质，关键是分情况讨论全等三角形的对应顶点关系．首先求出、两点坐标，得到、的长度，再根据推出，然后分两种全等对应情况，分别计算的长度，进而确定点坐标． 【详解】解：当时，， ； 当时，，解得， ； ，； ， ， ∴． ，， ； 情况1：若，则； 点的纵坐标为，即； 情况2：若，则， 点的纵坐标为，即； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知等边和等边都有一条边在x轴上，并且点A、C的坐标分别为．若过点D有一条直线把两个三角形的面积和分为相等的两部分，则这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，等边三角形的性质，得，计算三角形的面积和的一半为，得到，设点Q是上的一点，解得，确定，设直线的解析式为，解答即可． 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，待定系数法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由点A、C的坐标分别为， 故, 过点D作于点M，过点B作于点N， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点Q是上的一点， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故答案为： 11．一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的距离（单位：）与两车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．两车出发 h时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 【答案】或 【分析】先求出，，两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：由图可知，甲车行驶的路程为， ∴甲车行驶的速度是， ，两地之间的距离为． 乙车行驶的速度为， ，两地之间的距离为， ，两地之间的距离为． 设两车出发时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 分两种情况： ①甲、乙相遇前，，解得； ②甲、乙相遇后，，解得． 综上所述，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出，，两两之间的距离是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，两点之间距离公式的运用，掌握以上知识，找出点N的运动路径为直线，作出点关于直线的对称点是关键． 过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，可证，得到点N坐标为，点N的移动路径为直线，过点作点关于直线的对称点，与直线交于点，得，由两点之间距离的计算公式得到，即可求解． 【详解】解：如图1，过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， 设点M坐标为，则， 由旋转可知：， 由作图可知： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N坐标为， ∴，即， ∴点N的移动路径为直线， 设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当时，，当时，，如图所示， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 过点作点关于直线的对称点，与直线交于点， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵对称， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接交直线于点N，连接， ∴，，此时的周长最小， ∵点，点，点， ∴，， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 13．小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（）设与的函数关系式为，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而列式求出时间即可； 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把和代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：把代入中得，， ∴（小时）， 答：小明从奶奶家回到自己家共用了小时． 14．某商店销售一种文具，每件成本为10元，售价y（元）与销售量x（件）之间的关系为一次函数，已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若该商店某天销售量为50件，求当天的利润．利润（售价成本）销售量 【答案】(1) (2)100元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可． （2）把代入，求出售价，最后再根据利润（售价成本）销售量求解即可． 【详解】（1）解：设售价y与销售量x的一次函数解析式为：， 把，代入， 则， 解得： 则． （2）解：把代入， 得：， 则该商店销售量为50件，当天的利润为：（元） 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，为中点，为直线上任意一点． (1)当点的横坐标为1时，求直线的表达式； (2)当直线将的面积分为两部分时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由直线，得到，，结合为中点，得到，再利用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据题意，分点在线段上和点在延长线上两种情况进行求解即可； （3）①当时，过点作交于点，作轴于点，再求出直线的表达式，联立得到点；②当时，过点作于点，作轴于点，同理求出直线的表达式，联立得到点即可． 【详解】（1）解：为直线上任意一点，且点的横坐标为1， ， 的图象与轴，轴分别交于两点， ， 为中点， ， 设直线为， 将分别代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，， ， 直线将的面积分为两部分， ①当点在线段上时， ， ， ， ； ②当点在延长线上时， 设直线交轴于点， ， ， ， 则同理求出直线的关系式为：， 联立， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：①当时，过点作交于点，作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 同理求出直线， 又， ，解得， ， 联立，解得， ； ②当时，过点作交于点，作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 此时点与点重合， 直线， 又， ，解得， ， 联立，解得， ． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 16．在平面直角坐标系中，如图，长方形的顶点分别在轴和轴上，为坐标原点，为上一点，且为长方形边上一动点（不与点重合），作点关于直线的对称点，已知． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求直线的表达式； (3)是否存在点，使是直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由，长方形性质，得，由，得； （2）连接，求出，得，由，得点在x轴上，分当点在点A的左边时，当点在点A的右边时，两种情况，结合 垂直平分解答． （3）过点作轴于点F，得，由轴对称性质和是直角三角形性质证明，得，分当点在x轴下方时，当点在x轴上方时，两种情况解答，可得点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接， ∵， ∴， 由轴对称知，，直线垂直平分， ∵轴，且， ∴点在x轴上， 当点在点A的左边时，， ∴， ∵， ∴中点坐标为， 设所在直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点A的右边时，， ∴， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴． ∴直线的表达式为或． （3）解：过点作轴于点F， 则， ∴， 由轴对称知，， ∵是直角三角形， ∴， ∴ ，∵， ∴， ∴， ∴， 当点在x轴下方时， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴； 此时点E在上， ∴时，， ∴； 当点在x轴上方时，， ∴， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵此时点E在上， ∴时，， 解得， ∴． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，长方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，分类讨论，熟练掌握以上知识，是解题的关键． 17．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，点B的坐标为或 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 18．综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】 任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】[任务学习] ，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；任务1：13；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题考查轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征、完全平方公式的应用和平方根的定义等知识，熟练掌握轴对称性质求最短距离是解答的关键． [任务学习]根据线段垂直平分线的性质求解即可； 任务1：作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，，则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H，然后利用勾股定理，结合已知数值求解即可； 任务2：作C关于平面镜的对称点，连接，，分别交于，，则线段即为所求； 任务3：先根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再根据题干中方法，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接，根据勾股定理可得，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度，过A作交延长线于F，然后利用勾股定理求解，然后解方程即可． 【详解】解：[任务学习] 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线的性质）． ， ．（等量代换） 故答案为：，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等； 任务一：如图2，作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，， 则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H， 由题意，，， 在中，， ∴， 即将军每天走的路程之和最短值为13； 任务2：如图3，线段即为所求； 任务3：存在． ∵点为一次函数图像上一点，且点在第一象限， ∴，即，，， 如图，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接， 则， ，， ∴，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度， 过A作交延长线于F， 则，，， ∴， ∴的最小值为10． 即． 由得，则， 代入得， ∴， 两边平方,整理得, 再两边平方,整理得,即, ∴,解得,此时, ∴点P的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4实际问题与一次函数寒假预习讲义 （3知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 分配方案问题】 4 【题型2 最大利润问题】 6 【题型3 行程问题】 7 【题型4 阶梯计价问题】 8 【题型5 其它问题】 10 【题型6 一次函数与几何综合】 11 1. 回顾一次函数的解析式（，）及图象性质，能结合实际问题情境，列出一次函数关系式，掌握列函数关系式的基本方法。 2. 初步掌握常见的一次函数实际应用题型（分配方案、最大利润、行程、阶梯计价等），理解每种题型的数量关系，能结合一次函数性质分析简单问题。 3. 初步了解一次函数与几何图形（线段、三角形等）的综合应用思路，能结合几何性质列出一次函数关系式，感知“数形结合”思想的延伸应用。 4. 能运用一次函数的增减性，解决实际问题中的简单最值、方案选择等问题，为课堂深入解题铺垫基础。 模块三 知识点梳理 知识点一、一次函数定义、性质 1. 一次函数基本形式：（、为常数，），其中决定增减性，决定与轴交点。 2. 一次函数增减性：①，随的增大而增大；②，随的增大而减小。 3. 核心思想：建模思想（将实际问题、几何问题转化为一次函数模型）、数形结合思想（结合函数图象分析问题）。 4. 列一次函数关系式的关键：找到问题中的“自变量”和“因变量”，分析两者之间的线性数量关系（含常量、变量），列出等式并整理为的形式。 知识点二、常见实际问题与一次函数（重点预习） 1. 分配方案问题 1. 题型特点：题目给出两种（或多种）分配方式、资源总量（如材料、人数、资金等），要求列出不同分配方案对应的一次函数关系式，分析方案的合理性或选择最优方案。 2. 核心数量关系：总资源量 = 第一种分配方式的消耗量 + 第二种分配方式的消耗量（结合自变量取值范围，自变量通常为分配的数量，需为非负整数或符合实际的数值）。 3. 预习要点：①确定自变量（如“分配给甲的数量”），因变量（如“总消耗量、剩余量”）；②根据资源总量列出一次函数关系式；③结合自变量取值范围（实际意义），分析可行方案。 4. 简单示例：用A、B两种材料制作零件，A材料每件用2kg，B材料每件用3kg，现有A、B材料共50kg，设制作A材料零件x件，列出剩余材料总量y与x的函数关系式（，需补充总零件数条件，预习时重点找此类等量关系）。 2. 最大利润问题 1. 题型特点：结合商品销售、生产加工等场景，给出进价、售价、销售量与售价的关系（或固定销售量），求最大利润，核心是利润与自变量（售价、销售量）的一次函数关系（注意：预习阶段重点是列关系式，课堂将深入学习最值求解，预习时结合增减性初步判断）。 2. 核心数量关系（必记）：①利润 = 总售价 - 总成本；②总售价 = 售价 × 销售量；③总成本 = 进价 × 进货量（或固定成本 + 变动成本）。 3. 预习要点：①确定自变量（通常为售价，或销售量）；②根据题意表示出销售量、总成本；③代入利润公式，整理为一次函数关系式；④结合自变量取值范围（售价不低于进价、销售量为非负），结合增减性初步分析利润变化。 4. 易错提醒：区分“单件利润”与“总利润”，避免直接用单件利润作为因变量，忽略销售量的影响。 3. 行程问题 1. 题型特点：涉及相遇、追及、匀速行驶等场景，核心是路程、速度、时间的关系，结合一次函数表示路程与时间的关系，分析相遇、追及时刻或位置。 2. 核心数量关系（必记）：路程 = 速度 × 时间（），分三种常见场景： · 同向行驶（追及）：路程差 = 速度差 × 追及时间，列函数关系式时，因变量通常为“两车距离”，自变量为“行驶时间”。 · 相向行驶（相遇）：总路程 = 速度和 × 相遇时间，因变量通常为“剩余路程”，自变量为“行驶时间”。 · 单人/单车匀速行驶：路程是时间的一次函数，即（为初始路程，如出发时已距离某地）。 3. 预习要点：①明确运动方向、速度、初始位置；②确定自变量（时间）和因变量（路程或距离）；③根据运动场景列出一次函数关系式，结合图象（直线）初步判断相遇、追及时刻。 4. 阶梯计价问题 1. 题型特点：结合生活中的水费、电费、燃气费、打车费、话费等场景，收费标准分“阶梯”（不同用量/里程对应不同单价），核心是分段列一次函数关系式（预习重点是理解分段逻辑，列出各段关系式）。 2. 核心数量关系：总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + ... + 第n段费用（每段费用 = 该段单价 × 该段用量/里程，注意区分“分段节点”，如打车费3公里内起步价，超过3公里按里程计费）。 3. 预习要点：①找出分段节点（如“不超过10吨”“超过10吨不超过20吨”）；②确定每段的自变量取值范围和对应单价；③分阶段列出一次函数关系式（注意：自变量取值范围不重复、不遗漏）；④能根据自变量（用量/里程）判断对应路段，代入关系式计算总费用。 4. 易错提醒：忽略分段节点，混淆各段单价；未标注自变量取值范围，导致计算错误。 5. 其它问题（补充常见题型） 1. 题型分类：主要包括租金问题、计费对比问题、生产配比问题等，本质仍是“找数量关系→列一次函数关系式→分析问题”，与前4类题型思路一致。 2. 常见示例： · 租金问题：租两种类型的设备，给出总租金预算、每种设备的租金，设租用一种设备的数量为自变量，列出总租金的函数关系式，分析可行租用方案。 · 计费对比问题：给出两种计费方式（如手机套餐），列出两种方式的总费用函数关系式，对比不同用量下的最优计费方式。 3. 预习要点：无论哪种题型，核心是“抓变量、找等量”，将实际问题转化为一次函数模型，套用前4类题型的分析思路即可。 知识点三、一次函数与几何综合（预习重点） 1. 题型特点：结合平面直角坐标系、线段、三角形、四边形等几何图形，给出几何条件（如顶点坐标、边长、位置关系），用一次函数表示线段所在直线的解析式，或结合函数图象分析几何图形的边长、面积等。 2. 核心关联：①平面直角坐标系中，直线上的点的坐标满足对应一次函数关系式；②已知两点坐标，可求出过这两点的一次函数解析式（预习阶段重点是理解“点在直线上→坐标代入解析式”）。 3. 预习要点： · 牢记：若点在一次函数的图象上，则（代入法的核心）。 · 常见场景：已知三角形两个顶点坐标，且边平行于x轴/y轴，求第三条边所在直线的一次函数解析式；结合直线的增减性，分析几何图形的顶点坐标变化。 · 预习思路：①根据几何条件确定关键点的坐标；②将关键点坐标代入一次函数解析式，求出和，得到函数关系式；③结合函数性质和几何性质，分析图形的相关问题（如边长、交点位置）。 4. 易错提醒：忽略几何图形的位置限制（如顶点在某一象限），导致自变量取值范围错误；代入点的坐标时，横、纵坐标混淆。 预习易错点梳理 1. 列函数关系式时，遗漏常量或找错等量关系（如最大利润问题中，忽略固定成本）； 2. 阶梯计价、分配方案问题中，未标注自变量的取值范围，或取值范围不符合实际意义（如人数、件数为负数）； 3. 一次函数与几何综合中，代入点的坐标时出错，或忽略几何图形的位置限制； 4. 混淆一次函数的增减性，分析最值、方案最优时判断错误（如时，误判“x越大，y越大”）； 5. 行程问题中，混淆“相向”“同向”运动的数量关系，导致函数关系式列错。 模块四 题型汇总 【题型1 分配方案问题】 【典例1】．某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【变式1-1】．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【变式1-2】．综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【题型2 最大利润问题】 【典例2】．某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式2-1】．2025年成都世界运动会期间，某纪念品商店花费600元批发了两种纪念徽章共50枚，其中种徽章的批发价与零售价分别为10元/枚和15元/枚，种徽章的批发价与零售价分别为15元/枚和23元/枚． (1)该商店卖完这些徽章可获利多少元？ (2)卖完这些徽章后，该商店计划再次按原批发价购进两种徽章共100枚，并按原零售价售卖．设第二次批发了种徽章枚，卖完这批徽章的利润是元，求关于的函数关系式，并求利润的最大值． 【变式2-2】．武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； (2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； (3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 【题型3 行程问题】 【典例3】．在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【变式3-1】．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【变式3-2】．一辆汽车加满油后从甲地出发匀速行驶去往乙地，距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间单位：小时)的函数关系如图1所示，油箱剩余油量(单位：升)与距甲地的路程(单位：千米)满足一次函数关系，其部分数据如表，结合图表信息，回答下列问题： /千米 … … /升 … … (1)直接写出距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间(单位：小时)的函数关系式　　，并说明点表示的实际意义； (2)求与的函数关系式，并求出汽车从甲地出发时，油箱油量是多少升； (3)行驶多长时间时，油箱剩余油量为升？ (4)从甲地到乙地预计需要花小时，则到达前至少需要额外补充　　升油． 【题型4 阶梯计价问题】 【典例4】．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【变式4-1】．某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【变式4-2】．小明在学习了“一次函数”后，从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，还进一步分析和解决了问题，请将小明分析、解决问题的过程补充完整． 【促销信息】 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折． 【发现问题】 小明根据【促销信息】发现：分别在甲、乙两家商场的购物金额是分别购买商品原价的一次函数． 【提出问题】 在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 【分析问题】 （1）小明在【提出问题】中的条件下，设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请根据【促销信息】直接分别写出与x，与x之间的表达式； （2）小明按照下表中自变量x的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 0 100 200 300 400 500 600 … 元 0 80 160 m 320 400 480 … 元 0 100 200 300 360 420 n … 则表格中，_____，_____； （3）在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象． 【解决问题】 （4）根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请帮助小明写出购物更省钱的方案． 【题型5 其它问题】 【典例5】．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共24个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【变式5-1】．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距 ．（光传播所用的时间忽略不计） 【变式5-2】．小温将某种家用凳整齐地叠放在一起． 【测量发现】叠在一起的高度与凳子数量（张）之间是一次函数关系． 【获取数据】下表是测量过程中的两组数据． 凳子数量/张 4 8 高度 69 97 【问题解决】 (1)求关于的函数表达式． (2)求15张这种凳子叠在一起的高度． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】．综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【变式6-1】．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【变式6-2】．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 模块五 过关检测 1．甲、乙两家商店销售同一种产品，每件产品的售价（单位：元）与数量（单位：件）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．买2件时，甲、乙两家售价一样 B．买1件时，买乙家的合算 C．买3件时，买甲家的合算 D．买1件时，乙商店的售价约为3元 2．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（    ） A．二楼离地面的高度为6米 B．乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C．当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D．乙先到达一楼地面 3．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，若点使得的值最大，点使得的值最小，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 6．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．综合实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式可能为（   ） 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，是轴上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为 ． 8．已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值 ． 9．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知等边和等边都有一条边在x轴上，并且点A、C的坐标分别为．若过点D有一条直线把两个三角形的面积和分为相等的两部分，则这条直线的解析式为 ． 11．一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的距离（单位：）与两车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．两车出发 h时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为 ． 13．小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 14．某商店销售一种文具，每件成本为10元，售价y（元）与销售量x（件）之间的关系为一次函数，已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若该商店某天销售量为50件，求当天的利润．利润（售价成本）销售量 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，为中点，为直线上任意一点． (1)当点的横坐标为1时，求直线的表达式； (2)当直线将的面积分为两部分时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．在平面直角坐标系中，如图，长方形的顶点分别在轴和轴上，为坐标原点，为上一点，且为长方形边上一动点（不与点重合），作点关于直线的对称点，已知． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求直线的表达式； (3)是否存在点，使是直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 18．综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】 任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $