解答标准测9(专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

解答标准测9　“18题、19题”　34分测学生用书P225 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18．(2025·唐山模拟)若一个数列各项的倒数成等差数列，则这个数列称为调和数列，如数列1，，，就是一个调和数列． (1)在集合{1,2,3,4,5,6}中从小到大取三个数，使其构成调和数列(只需写出一个数列即可)； (2)若A，C，B，D四点共线，顺次排列，且＝，则称此四点构成了一个调和点列． ①求证：三个线段长度AC，AB，AD构成一个调和数列； ②直线l过点P(－4,0)与椭圆Γ：＋＝1相交于M，N两点，已知四点P，M，Q，N构成一个调和点列，求点Q的轨迹长度． 解　(1)由题意，这三个数的倒数成等差数列，就能构成调和数列，则这三个数为2,3,6或3,4,6. (2)①证明：由＝，得＝，即＝，则＋＝2，即＋＝，则AC，AB，AD构成一个调和数列． ②设l：y＝k(x＋4)，代入3x2＋4y2－12＝0，得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)＝144(1－4k2)，由Δ>0得－<k<.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.则＋＝＝＝＝＝.设Q(x，y)，如图，则|PQ|＝＝(x＋4)，同理，|PM|＝(x1＋4)，|PN|＝(x2＋4)．依题设，得＋＝，则＋＝.则x＋4＝3，得x＝－1，且－<y<.因此，点Q的轨迹为一条线段(不含端点)，长度为3. 19．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分．已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小明答4道题后积分小于5的概率． (2)设小明答5道题后积分为X，求E(X)． (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为i(i＝0,1,2，…，10)时最终积分为10的概率为Pi，则P0＝0，P10＝1. (ⅰ)证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2，…，9)为等比数列； (ⅱ)求P5的值． 解　(1)小明答4道题后积分小于5，说明小明答错的题目数多于答对的题目数．设小明答4道题，答对k道题(k＝0,1,2,3,4)，则答错4－k道题，积分5＋k－(4－k)＝1＋2k，积分小于5，即1＋2k<5，解得k<2，所以k＝0或k＝1，当k＝0时，P(0)＝C·0·4＝，当k＝1时，P(1)＝C·1·3＝，所以小明答4道题后积分小于5的概率为P(0)＋P(1)＝. (2)设小明答对的题数为Y，则答错的题数为5－Y，所以X＝5＋Y－(5－Y)＝2Y.由题意知Y～B，所以E(Y)＝5×＝，所以E(X)＝2E(Y)＝. (3)(ⅰ)设小明的积分为i(i＝1,2，…，9)时，若小明接下来一题答对，则积分变为i＋1，若小明接下来一题答错，则积分变为i－1.由全概率公式有Pi＝Pi＋1＋Pi－1.整理可得Pi＋1－Pi＝(Pi－Pi－1)．又P1－P0＝P1≠0，所以{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2，…，9)为等比数列． (ⅱ)由(ⅰ)可得Pi＋1－Pi＝P1，所以P10＝(P10－P9)＋(P9－P8)＋…＋(P2－P1)＋P1＝＝P1，又P10＝1，所以P1＝.所以P5＝(P5－P4)＋(P4－P3)＋(P3－P2)＋(P2－P1)＋P1＝＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $